初中数学拔高辅导(求最值的几种常见方法)

初中数拔辅导（最值的种常见法）一、据对的何义最实数的绝对值具有非负性，，a的小值为0，但根据绝对值的代数意义求一些复杂问题的最值就要采用分类讨论法较麻烦根据绝对值的几何意义求最值就能够把一些复杂的问题简单化。例：已知

Mx

，则

M

的最小值是。【思路点拨用分类讨论法求出

的最小值是此

x

如我们从绝对值的几何意义来看此就是在数轴上求一点使它到点1和点

的距离之和为最短。显然若

,距离之和为

[);若x

,距离之和为

1

;若

,距之和为

[1

。所以,当

x

时,距之和最短最值为。

M

的最小值为4。二利配法最完全平方式具有非负性

2一个代数式若能配方成(a)2

的形式，则这个代数式的最小值就为k。例2：设a,为数，求

a

2ab

b

的最小值。【思路点拨】一是将原式直接配方成与a的完全平方式有关的式子可以求出最小值。二是引入参数设

a

2ab

b

将等式整理成关于

的二次方程用方法利用判别式求最值。解：(方法一配方得：ab

2

2

b)b24

b3)2(b24当

a

b2

b

即

ab

时，上式中不等号的等式成立，故所求的最小值为

。（方法二）令

a2ab2

，整理得

a2abb)

，由题可知此关于a的二次方程有实数解，

b2)

2

t33tb2421

t

34

(b2

当时上式中不等号的等式成立，故t的小值为即式的最小值为例3：若

z2

，则

x

2

2

2

的最小值为（）A．3B.

5914

C.

92

D.6【思路点拨入数设

z23

则

x

2

2

2

就可用含的数式表示，再通过配方求最小值。解：令

z23

，则

x

，

2

2

2kk2559)1414

2当

514

时，上式中不等号的等式成立。故

xy2

59的最小值为。14三利对图求值根据两点之间线段最短可以求出两条线段之和的最小值两条线段在某条直线的同侧时，可以利用轴对称的性质将在某条直线同侧的两条线段转化成在该直线异侧的两条线段，进而求出最值。例4、下图，已知边长为的方形ABCD，点E在上且2cm

。在对角线

BD

上求作一点

P

，使

AP

最短，并求出它的最小值。【思路点拨】此题是要在

BD

上找一点

P

，使

APEP

的和最小。根据“两点之间线段最短需

AP

和

EP

转化到一条线段上，这就需要找到

E

点关于

BD

的对称点。正方形是轴对称图形，对角线所在的直线是它的对称轴，而点E的称点形边BC上连结AEBD于P连结PE所PE

，

AE则点就所求作的点要想求AP最小值，只要求可。与该图形类似的还有菱形、圆。解：如上图，作出点

E

关于

BD

的对称点

，在连接

AE

交

BD

于点

P

，则点

P

就是所求作的点。由图可知

PE

即EP的小值为10。例5、如下图，在平面直角坐标系中，已知

,点

(6,3)

，分别在

轴、

y

轴上求作点C,D，四边形ABCD的长最短？并出周长的最小值。2

【思路点拨】已知点

,B

为定点，所以

AB

的长固定不变，这样只要求出DCCB

的最小值即可。要想求出它的最小值，设法把这三条线段构造在一条线段上，分别作出点A,B的对称点

，连接

，与轴轴别交于点D，A

B

D

DC于点C,D就所求作的点。然后分别以ABA

B

为斜边构造

和

，易知点

E

坐标为（6，4

坐标为(，BE，以

17

，同理可得，

B113

，则四边形

ABCD

的周长的最小值是

17

＋

113

。四根垂段短最例、如图，等腰梯形

ABCD

中，

//,AD

是

BC

的中点。（1求证：

MDC

是等边三角形）

MDC

绕点

M

旋转，当

MD

(即

)与

AB交于一点MC即MCAD交一点F时，点,F和构成AEF.探究AEF

的周长是否存在最小值。如果不存在，请说明理由；如果存在，请计算出AEF周长的最小值。【思路点拨】易证

AMF

.由此可推出

AEAB2,

同时可推出MEF

为等边三角形得到

EFMF

,根线段最短”可得

MF

的最小值为点

M到的离3,即EF的小值是。此可得到AEF周的最小值为2。解）

AEF

的周长存在最小.理由如下：连接

AM

,由（）可得

是菱形，

MAB,MAD,

是等边三角形，3

AME60EMFAMF60在

与

AMF

中，

BMAMEBMFAM60(ASABEMEAEAEBEEMF

,故

EMF

是等边三角形，EFMF∵

MF

的最小值为点

M

到

AD

的距离

3

，即

的最小值是

3

。AEF周长AEAFABAEF

的周长的最小值为2+

3

.五利一函与次数性求值一次函数

y

的图像是一条直线自变量x取切实数时数y不在值。但当自变量x定在某一区间内时，存着最值，函数也存着最值。二次函数

y

bx

的图像是一条抛物线自量取切实数时物线顶点的纵坐标就是函数

y

的最值自变量

定义在某一区间的条件限制时数

y

的最值有以下两种情况：(1)抛物线的顶点在该区间内时，顶点的纵坐标就是函数y的值）当抛物线的顶点不在该区间内时，函数的值在区间内两端处取得。例7：1206060

124

13

142【思路点拨】根据题意，可分别令生产空调器

台，彩电

y

台，冰箱

台，总产值M(千元得总产值

M(千元冰

台成一次函数关系。

M

存在最值。解：分别令生产空调器台彩电台冰箱

台，总产值为M(千元由题可得：4

y360

yz4xzz60

整理得：

11Mzz，为kM2

随z增大而减小以当60时M有大值即M的大值为

12

10801050

(千元.当

60

时

72022

.故：每周应生产空调器30台，电270，冰箱60台才能使产值最高，最高产值为1050千。例8：

x,x1

是方程

2m

m

的两个实根，当为值时，x2

x

有最小值，并求这个最小值。【思路点拨】由韦达定理可知

x2x2

是关于

的二次函数，从判别式入手，根据

的取值范围可分析出

x2

x

的最小值。解：由题可知

m)

2

m，解得：

23

令

yx2

，则x)2x1

2m)222

即

m

2

22(m)3

由数像可知，当

m

23

时，有小值，最小值为222)233

故：当

m

23

时，

x2x2

8有最小值，最小值为9例：某工厂在生产过程中要消耗大量电能，消耗每千度电产生利润与电价是一次函数关系经测算工厂每千度电产生利润(元千度)与电价x元/度的函数象如图当电价为600元千度时厂消耗每千度电产生利润是多少2了实现节能减排目标，有关部门规定，该厂电价x(/度)与每天用电量千度的函数关系为=10m+500，且该工厂每天用电量不超过千，为了获得最大利润，工厂每天应安排使用多少千度电？工厂每天消耗电产生利润最大是多少元？5

【思路点拨】根据图像易求出每千度电产生利润

y

（元/千）与电价

（元/千）的函数解析式为

15

300(x

。令工厂每天消耗电产生利润为W

元，易得11Wmym(x300)m500)5根据二次函数的性质即可求出W的最大值。解：(1)略（）工厂每天消耗电产生利润元，由题意得：11Wmym(x300)m500)5

22

m60)m60)

，化简配方，得：

Wm50)

5000(0m∴当

时，

W最大

。即当工厂每天消耗50千电，工厂每天消耗电产生利润最大为5000元六利均定求值当

a,

均为正实数，且

a

（定值）时，

a2

（定值）当且仅当

a时取等号，定理称为均值定。运用均值定理求最值要同时满足“一正、二定、三相等”三个条件。多数运用均值定理求最值的问题的条件具有隐蔽性，需要适当地变形才能用均值定理求解。例10：知正数xy满

8，

的最小值。【思路点拨】把

xy

看作

()用知条件整体代换，再用均值定理可以求解。解：

8yy)y)(

1x16yy)1010yx题可知，当且仅当

16y1，且x

时等号成立，又

x,y

，解得x12,y

，

x

的最小值为18.例11：知

51,求数yx4x

的最大值。【思路点拨】由题可知

4x

，首先需调整符号；又

(4x

14x

不是定值，需对

进行凑项才能求出定值。解：

111x))4x5x5

6

当且仅当

5x

15x