2019版数学（理）培优增分一轮全国经典版培优讲义：第10章 第7讲离散型随机变量及分布列 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第7讲离散型随机变量及分布列板块一知识梳理·自主学习［必备知识]考点1离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量,常用字母X，Y，ξ，η，…表示．所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量．考点2离散型随机变量的分布列及性质1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2，…,xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n）的概率P（X＝xi）＝pi,则表Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P（X＝xi）＝pi，i＝1,2,…，n表示X的分布列．2．离散型随机变量的分布列的性质（1）pi≥0(i＝1,2,…，n)；（2）eq\a\vs4\al（\i\su（i＝1，n，p)i＝1).考点3常见离散型随机变量的分布列1．两点分布若随机变量X服从两点分布，即其分布列为X01P1－pp,其中p＝P(X＝1）称为成功概率．2．超几何分布在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则事件｛X＝k｝发生的概率为P（X＝k）＝eq\f(C\o\al（k,M)C\o\al(n－k，N－M），C\o\al（n，N）)，k＝0,1,2，…，m，其中m＝min{M,n},且n≤N，M≤N,n，M，N∈N＊，称分布列为超几何分布列．X01…mPeq\f(C\o\al(0,M)C\o\al(n－0，N－M)，C\o\al(n,N））eq\f（C\o\al(1，M）C\o\al（n－1，N－M),C\o\al（n，N))…eq\f（C\o\al（m,M）C\o\al（n－m，N－M),C\o\al(n，N））[必会结论］1．随机变量的线性关系若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量．2．分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值．（2）随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率．[考点自测]1．判断下列结论的正误．（正确的打“√"，错误的打“×”)(1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．（）(2)离散型随机变量的分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．()（3）离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．（）（4)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X服从超几何分布．(）(5)某人射击时命中的概率为0.5,此人射击三次命中的次数X服从两点分布．()答案(1)√（2）√（3）√(4）√(5）×2．袋中装有10个红球、5个黑球．每次随机抽取1个球后,若取得黑球则另换1个红球放回袋中，直到取到红球为止．若抽取的次数为ξ，则表示“放回5个红球"事件的是（）A．ξ＝4 B．ξ＝5C．ξ＝6 D．ξ≤5答案C解析“放回五个红球”表示前五次摸到黑球，第六次摸到红球，故ξ＝6.3．［课本改编］已知随机变量X的分布列为P（X＝k）＝eq\f（1，2k）,k＝1,2，…，则P（2<X≤4）等于（)A。eq\f（3，16） B。eq\f（1，4）C.eq\f(1，16) D。eq\f(5,16)答案A解析P(2〈X≤4)＝P（X＝3)＋P（X＝4)＝eq\f(1，23)＋eq\f（1,24）＝eq\f（3,16）.4．[2018·山西联考］从一批含有13件正品，2件次品的产品中,不放回地任取3件，则取得次品数为1的概率是()A。eq\f(32，35) B。eq\f(12,35)C.eq\f（3,35) D。eq\f（2,35）答案B解析设随机变量X表示取出次品的个数,X服从超几何分布，其中N＝15，M＝2，n＝3，它的可能的取值为0,1，2，相应的概率为P(X＝1）＝eq\f（C\o\al(1，2）C\o\al（2,13），C\o\al（3,15）)＝eq\f(12,35)。5．一实验箱中装有标号为1,2，3，3，4的5只白鼠，若从中任取1只，记取到的白鼠的标号为Y，则随机变量Y的分布列是________．答案Y1234Peq\f(1,5）eq\f（1,5)eq\f(2，5)eq\f（1,5）解析Y的所有可能值为1，2，3，4。P(Y＝1)＝eq\f(1，5)，P（Y＝2)＝eq\f(1，5),P(Y＝3)＝eq\f（2，5),P（Y＝4）＝eq\f（1，5）.∴Y的分布列为Y1234Peq\f(1，5)eq\f（1,5)eq\f（2,5）eq\f（1,5)板块二典例探究·考向突破考向离散型随机变量分布列的性质例1设随机变量ξ的分布列Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)）)＝ak（k＝1,2，3,4,5)．（1）求常数a的值；(2)求Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（ξ≥\f(3,5））)；（3）求Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1,10)<ξ〈\f(7,10））).解由已知分布列为：ξeq\f（1，5）eq\f(2,5)eq\f(3，5)eq\f(4,5）eq\f(5，5）Pa2a3a4a5a（1)由a＋2a＋3a＋4a＋5a＝1，得a＝eq\f（1,15)。（2）Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(ξ≥\f（3，5）)）＝Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(3，5）)）＋Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(ξ＝\f（4,5）））＋P(ξ＝1）＝eq\f(3，15）＋eq\f(4，15）＋eq\f（5,15)＝eq\f（4，5)，或Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（ξ≥\f（3，5)）)＝1－Peq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1(ξ≤\f(2,5）)）＝1－eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(1,15)＋\f（2,15)）)＝eq\f(4,5）.（3）因为eq\f(1,10）<ξ〈eq\f(7,10）,只有ξ＝eq\f(1,5)，eq\f(2,5)，eq\f（3，5)满足，故Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f（1，10）〈ξ<\f（7，10))）＝Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（ξ＝\f(1，5)))＋Peq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(2,5)))＋Peq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（ξ＝\f（3，5))）＝eq\f(1,15）＋eq\f（2,15)＋eq\f（3，15）＝eq\f（2,5）。触类旁通离散型随机变量分布列性质的应用(1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．(2）求随机变量在某个范围内取值的概率时，根据分布列，将所求范围内随机变量的各个取值的概率相加即可,其依据是互斥事件的概率加法公式．【变式训练1】(1)离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n）＝eq\f（a，nn＋1)（n＝1,2，3，4），其中a是常数，则Peq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1,2）〈X〈\f(5，2））)的值为（）A.eq\f(2，3） B。eq\f（3，4）C。eq\f(4,5) D.eq\f（5,6)答案D解析由eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,1×2)＋\f（1，2×3）＋\f（1，3×4)＋\f(1,4×5）))·a＝1，知eq\f(4,5）a＝1.∴a＝eq\f(5,4）。故Peq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1,2）<X〈\f（5，2)））＝P（X＝1)＋P(X＝2)＝eq\f(1,2）×eq\f(5，4）＋eq\f(1，6)×eq\f（5,4）＝eq\f(5,6)。(2）随机变量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1）＝________，公差d的取值范围是________．答案eq\f(2,3）eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f(1，3），\f(1,3）)）解析∵a,b，c成等差数列，∴2b＝a＋c。又a＋b＋c＝1，∴b＝eq\f(1，3)，∴P（|ξ|＝1)＝a＋c＝eq\f(2，3)。又a＝eq\f（1,3)－d，c＝eq\f（1，3)＋d,根据分布列的性质，得0≤eq\f（1,3）－d≤eq\f（2，3）,0≤eq\f（1，3)＋d≤eq\f(2，3），所以－eq\f(1,3)≤d≤eq\f（1，3），此即为公差d的取值范围．考向求离散型随机变量的分布列命题角度1与互斥事件有关的分布列问题例2［2015·安徽高考]已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；(2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列．解(1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A,P（A）＝eq\f(A\o\al（1,2)A\o\al(1,3),A\o\al（2，5)）＝eq\f(3,10）。（2）X的可能取值为200，300，400。P(X＝200)＝eq\f（A\o\al（2,2),A\o\al(2,5））＝eq\f(1,10）,P（X＝300)＝eq\f(A\o\al（3,3)＋C\o\al(1，2)C\o\al(1,3）A\o\al(2,2),A\o\al（3,5））＝eq\f(3,10）,P(X＝400)＝1－P(X＝200）－P（X＝300）＝1－eq\f（1，10)－eq\f（3,10)＝eq\f（3，5).故X的分布列为X200300400Peq\f(1，10）eq\f（3,10）eq\f(3,5）命题角度2与独立事件有关的分布列问题例3[2018·正定模拟］某中学根据2005～2017年期间学生的兴趣爱好，分别创建了“摄影”“棋类”“国学"三个社团，据资料统计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立。2018年某新生入学，假设他通过考核选拔进入该校的“摄影”“棋类”“国学”三个社团的概率依次为m、eq\f(1,3）、n,已知三个社团他都能进入的概率为eq\f（1，24)，至少进入一个社团的概率为eq\f（3，4）,且m>n.（1)求m与n的值；(2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“摄影”社的同学增加校本选修学分1分，对进入“棋类"社的同学增加校本选修学分2分，对进入“国学"社的同学增加校本选修学分3分．求该新同学在社团方面获得校本选修课学分分数的分布列．解(1)依题，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(1,3）mn＝\f(1,24)，1－1－m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f（1,3））)1－n＝\f(3，4),)）解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝\f(1,2)，,n＝\f(1,4)。）)(2)令该新同学在社团方面获得校本选修课学分的分数为随机变量X,则X的值可以为0，1,2，3,4，5，6.而P（X＝0）＝eq\f（1，2）×eq\f（2,3)×eq\f（3,4)＝eq\f（1,4）;P（X＝1）＝eq\f(1,2）×eq\f（2,3)×eq\f（3，4)＝eq\f(1,4）；P(X＝2）＝eq\f（1，2）×eq\f(1,3）×eq\f(3，4）＝eq\f（1，8）;P(X＝3)＝eq\f(1，2)×eq\f（2,3）×eq\f(1,4)＋eq\f(1，2)×eq\f（1，3）×eq\f(3,4）＝eq\f(5,24）；P（X＝4）＝eq\f（1,2)×eq\f（2,3)×eq\f(1，4）＝eq\f（1,12)；P(X＝5)＝eq\f(1,2)×eq\f（1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f（1,24）；P(X＝6)＝eq\f（1,2)×eq\f(1，3）×eq\f（1,4）＝eq\f（1,24)。X的分布列为：X0123456Peq\f（1，4)eq\f(1，4)eq\f（1,8)eq\f(5,24)eq\f（1，12）eq\f(1,24)eq\f(1,24）命题角度3与统计有关的分布列问题例4［2016·全国卷Ⅰ］某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得出下面柱状图：以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．（1)求X的分布列；（2）若要求P（X≤n)≥0。5，确定n的最小值．解(1）由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9，10，11的概率分别为0.2,0.4,0。2,0。2，从而P(X＝16)＝0。2×0。2＝0。04；P(X＝17)＝2×0。2×0。4＝0。16;P(X＝18)＝2×0。2×0.2＋0。4×0.4＝0。24；P（X＝19)＝2×0。2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；P（X＝20)＝2×0.2×0。4＋0。2×0.2＝0。2；P（X＝21）＝2×0.2×0.2＝0。08；P（X＝22)＝0。2×0.2＝0。04.所以X的分布列为X16171819202122P0。040.160。240。240。20.080.04(2）由(1）知P（X≤18）＝0。44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.触类旁通求随机变量的分布列的三个步骤（1）找:找出随机变量ξ的所有可能的取值xi(i＝1，2，…，n)，并确定ξ＝xi的意义．（2）求:借助概率的有关知识求出随机变量ξ取每一个值的概率P（ξ＝xi)＝pi（i＝1，2，…，n)．(3）列：列出表格并检验所求的概率是否满足分布列的两条性质．考向超几何分布问题例5[2017·山东高考]在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用．现有6名男志愿者A1，A2,A3，A4，A5,A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示．（1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;（2)用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列．解(1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的事件为M,则P(M）＝eq\f（C\o\al（4，8)，C\o\al（5,10））＝eq\f(5,18）.(2)由题意知X可取的值为0，1,2，3，4,则P(X＝0）＝eq\f（C\o\al(5,6），C\o\al(5,10））＝eq\f(1,42)，P(X＝1)＝eq\f（C\o\al(4,6)C\o\al（1,4)，C\o\al(5，10)）＝eq\f(5,21),P(X＝2)＝eq\f(C\o\al（3,6）C\o\al(2,4），C\o\al(5，10)）＝eq\f（10，21)，P（X＝3）＝eq\f(C\o\al(2，6)C\o\al(3,4)，C\o\al（5,10)）＝eq\f（5,21），P（X＝4）＝eq\f（C\o\al(1，6）C\o\al(4,4）,C\o\al（5,10）)＝eq\f(1,42）.因此X的分布列为X01234Peq\f(1，42）eq\f(5，21）eq\f（10，21）eq\f(5,21）eq\f(1，42)触类旁通超几何分布的特点(1）超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．（2)超几何分布的特征是：①考查对象分两类；②已知各类对象的个数；③从中抽取若干个个体,考查某类个体个数X的概率分布．（3)超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型．【变式训练2】某大型汽车城为了了解销售单价（单位：万元）在[8，20]内的轿车的销售情况，从2016年上半年已经销售的轿车中随机抽取100辆，获得的所有样本数据按照[8,10),［10,12），[12，14)，[14，16)，［16,18)，[18,20]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图．已知样本中销售单价在[14，16）内的轿车数是销售单价在[18，20］内的轿车数的2倍．(1）求出x与y,再根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；(2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆，求至少有1辆轿车的销售单价在［14,16）内的概率;(3）用分层抽样的方法从销售单价在[8,20]内的轿车中共抽取20辆，再从抽出的20辆轿车中随机抽取2辆，X表示这2辆轿车中销售单价在［10,12）内的轿车的数量,求X的分布列．解(1)样本中轿车的销售单价在［14,16）内的轿车数是x·2×100＝200x，样本中轿车的销售单价在[18，20］内的轿车数是y·2×100＝200y，依题意,有200x＝2×200y，即x＝2y，①根据频率分布直方图可知（0.1×2＋0.025＋x＋0。05＋y)×2＝1，②由①②得x＝0.15，y＝0。075.根据频率分布直方图估计这100辆轿车销售单价的平均数为eq\f（8＋10,2）×0。025×2＋eq\f（10＋12，2)×0.05×2＋eq\f（12＋14,2）×0.1×2＋eq\f（14＋16，2）×0.15×2＋eq\f(16＋18,2)×0。1×2＋eq\f(18＋20,2)×0。075×2＝0.45＋1。1＋2.6＋4.5＋3。4＋2.85＝14。9（万元）．（2)若将频率视为概率，从这批轿车中有放回地随机抽取3辆,则至少有1辆轿车的销售单价在［14，16)内的概率为1－Ceq\o\al（0，3）（0。3）0×（0。7）3＝1－0。343＝0。657.(3）因为销售单价在［8,10),[10，12)，［12，14）,［14,16），［16,18），［18，20］的轿车的分层抽样比为1∶2∶4∶6∶4∶3，故在抽取的20辆轿车中，销售单价在[10，12)内的轿车有20×eq\f（2,20）＝2（辆），X的所有可能取值为0,1,2，则P（X＝0）＝eq\f(C\o\al(0,2）C\o\al(2,18）,C\o\al(2,20))＝eq\f(153，190)，P(X＝1）＝eq\f（C\o\al（1,2)C\o\al(1,18）,C\o\al（2，20）)＝eq\f（36，190)＝eq\f（18，95)，P（X＝2）＝eq\f（C\o\al（2,2)，C\o\al（2，20））＝eq\f（1，190).所以X的分布列为X012Peq\f(153，190)eq\f（18，95)eq\f(1,190)核心规律离散型随机变量的分布列的性质主要有三方面的作用：(1）利用“总概率之和为1”可以求相关参数的取值范围或值;(2）利用“离散型随机变量在某一范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率；（3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确．满分策略1.求离散型随机变量的分布列的关键,是分析清楚随机变量的取值有多少,并且正确求出随机变量所取值对应的概率．2.在求解随机变量概率值时，注意结合计数原理、古典概型等知识求解。板块三启智培优·破译高考规范答题系列5--离散型随机变量分布列的答题技巧[2015·四川高考］某市A,B两所中学的学生组队参加辩论赛，A中学推荐了3名男生，2名女生,B中学推荐了3名男生，4名女生，两校所推荐的学生一起参加集训，由于集训后队员的水平相当,从参加集训的男生中随机抽取3人，女生中随机抽取3人组成代表队．（1）求A中学至少有1名学生入选代表队的概率；（2)某场比赛前，从代表队的6名队员中随机抽取4人参赛，设X表示参赛的男生人数，求X的分布列和数学期望．解题视点对于(1)可利用对立事件的概率；对于（2)先求出每一个随机变量X对应的概率，然后列出分布列，利用公式求数学期望．解(1)由题意,参加集训的男、女生各有6名．参赛学生全从B中学抽取(等价于A中学没有学生入选代表队)的概率为eq\f(C\o\al(3，3）C\o\al（3，4)，C\o\al(3，6）C\o\al(3,6))＝eq\f(1，100）。因此，A中学至少有1名学生入选代表队的概率为1－eq\f(1,100）＝eq\f（99，100）。（2)根据题意,X的可能取值为1,2，3.P(X＝1)＝eq\f(C\o\al(1，3）C\o\al(3,3）,C\o\al（4，6))＝eq\f(1,5），P（X＝2)＝eq\f(C\o\al(2，3）C\o\al(2,3），C\o\al(4，6)）＝eq\f(3，5）,P(X＝3)＝eq\f（C\o\al(3,3）C\o\al(1，3）,C\o\al（4，6))＝eq\f(1，5），所以X的分布列为X123Peq\f（1，5）eq\f（3,5)eq\f（1，5）因此，X的数学期望为E（X）＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2）＋3×P(X＝3)＝1×eq\f（1,5)＋2×eq\f(3，5)＋3×eq\f（1,5)＝2.［答题模板］概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现,其解题的一般步骤为：第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意,确定离散型随机变量的所有可能值；第二步：利用排列、组合知识或互斥事件、独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率;第三步：画出随机变量的分布列；第四步：明确规范表述结论．第五步：反思回顾．易错点主要在于：第一，确定离散型随机变量的取值；第二,写出分布列以后忽略检验这一环节．跟踪训练一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1,2，3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．（1）求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率；(2)在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列与数学期望．解(1)设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P（A）＝eq\f(C\o\al（1，2）C\o\al（3，5）＋C\o\al（2,2)C\o\al(2，5）,C\o\al（4,7）)＝eq\f(6，7)。所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为eq\f(6，7)。（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3,4.P（X＝1)＝eq\f(C\o\al(3，3），C\o\al（4,7))＝eq\f(1，35），P(X＝2）＝eq\f(C\o\al(3，4），C\o\al（4,7）)＝eq\f(4,35),P（X＝3)＝eq\f（C\o\al（3，5），C\o\al（4,7))＝eq\f(2，7),P（X＝4）＝eq\f（C\o\al(3，6），C\o\al（4,7）)＝eq\f（4,7）.则随机变量X的分布列是X1234Peq\f(1,35）eq\f(4，35）eq\f（2，7）eq\f(4,7）故随机变量X的数学期望E（X）＝1×eq\f（1,35）＋2×eq\f(4,35）＋3×eq\f（2,7）＋4×eq\f(4,7)＝eq\f（17,5).板块四模拟演练·提能增分［A级基础达标]1．袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1，2，3，4,5五个号码,任意抽取2个球，设2个球号码之和为X，则X的所有可能取值个数为()A．25 B．10C．7 D．6答案C解析X的可能取值为1＋2＝3,1＋3＝4，1＋4＝5＝2＋3，1＋5＝6＝4＋2，2＋5＝7＝3＋4，3＋5＝8,4＋5＝9。2．若随机变量X的分布列为X－2－10123P0.10.20。20.30.10。1则当P(X<a)＝0。8时，实数a的取值范围是(）A．(－∞，2] B．[1,2］C．（1，2] D．（1,2)答案C解析由随机变量X的分布列知：P(X〈－1）＝0.1，P(X〈0）＝0。3，P（X<1）＝0。5，P（X<2）＝0。8，则当P（X<a）＝0。8时，实数a的取值范围是(1，2]．3．[2018·邯郸模拟］从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P（ξ≤1）等于(）A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C。eq\f(3,5） D。eq\f（4,5）答案D解析P（ξ≤1)＝1－P（ξ＝2)＝1－eq\f（C\o\al（1,4)C\o\al(2,2)，C\o\al(3,6）)＝eq\f(4，5)。4．［2018·安庆一中模拟]离散型随机变量X的分布列中部分数据丢失，丢失数据以“x"“y”(x,y∈N）代替，其表如下：X＝i123456P（X＝i)0。200。100。x50.100。1y0。20则Peq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f(3,2）〈X<\f(11,3)）)等于()A．0.25 B．0.35C．0.45 D．0。55答案B解析由于0.20＋0.10＋0.x5＋0.10＋0。1y＋0.20＝1.得0。x5＋0。1y＝0.4,于是两个数据x＝2,y＝5。所以Peq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f（3,2)〈x〈\f（11,3)))＝P(x＝2)＋P（x＝3）＝0.1＋0。25＝0.35.5．一次骨干教师培训中，共邀请了15名教师，其中男、女教师使用教材情况如下表:版本人教A版人教B版性别男教师女教师男教师女教师人数6342从中随机选2名代表发言．记X＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（0，发言者中使用B版教材的女教师至多1人，,1，发言者中使用B版教材的女教师为2人。))则X的分布列为（）答案D解析P(X＝0）＝eq\f(C\o\al（0,2)C\o\al(2，13），C\o\al(2，15)）＋eq\f（C\o\al(1，2)C\o\al（1,13)，C\o\al（2，15)）＝eq\f（104，105）。P（X＝1)＝eq\f（C\o\al（2，2)，C\o\al(2，15))＝eq\f(1，105).6．[2018·安康质检]设随机变量X的概率分布列为X1234Peq\f(1,3）meq\f（1，4）eq\f（1，6）则P(|X－3｜＝1)＝________。答案eq\f（5，12）解析由eq\f（1，3）＋m＋eq\f(1，4）＋eq\f(1,6）＝1,解得m＝eq\f(1，4），P(｜X－3|＝1）＝P（X＝2)＋P（X＝4)＝eq\f（1，4）＋eq\f（1,6)＝eq\f（5,12)。7．[2018·临汾联考]口袋中有5只球，编号为1，2,3,4，5，从中任意取3只球,以X表示取出的球的最大号码，则X的分布列为________．答案X345P0.10.30。6解析X的取值为3，4，5.又P（X＝3）＝eq\f（1，C\o\al（3,5）)＝eq\f（1，10)，P(X＝4)＝eq\f（C\o\al(2,3），C\o\al（3，5))＝eq\f（3,10），P(X＝5）＝eq\f（C\o\al（2，4）,C\o\al（3，5)）＝eq\f(3，5)。∴随机变量X的分布列为X345P0。10.30。68．盒中有9个正品、3个次品零件，每次取1个零件,如果取出次品不再放回，则在取得正品前已取出次品数ξ的分布列为________．答案ξ0123Peq\f（3,4)eq\f(9，44)eq\f（9,220)eq\f（1,220）解析ξ可能取的值为0,1,2，3这四个数，而ξ＝k(k＝0，1，2，3）表示取k＋1次零件,前k次取得的都是次品，第k＋1次才取到正品．P（ξ＝0)＝eq\f（C\o\al（1，9),C\o\al（1,12)）＝eq\f(3，4），P（ξ＝1）＝eq\f（C\o\al（1，3）,C\o\al(1,12））·eq\f（C\o\al(1，9）,C\o\al(1,11)）＝eq\f（9,44),P(ξ＝2)＝eq\f（C\o\al(1,3）,C\o\al(1，12)）·eq\f(C\o\al(1，2)，C\o\al(1，11))·eq\f(C\o\al（1，9)，C\o\al（1，10)）＝eq\f(9,220)，P（ξ＝3）＝eq\f(C\o\al（1,3)，C\o\al（1，12)）·eq\f(C\o\al（1,2),C\o\al（1,11））·eq\f（C\o\al（1，1），C\o\al(1,10））＝eq\f（1,220).故ξ的分布列为ξ0123Peq\f（3,4）eq\f(9，44）eq\f（9，220）eq\f(1，220）9．[2018·成都模拟]甲、乙两人参加某电视台举办的答题闯关游戏，按照规则，甲先从6道备选题中一次性抽取3道题独立作答，然后由乙回答剩余3题，每人答对其中2题就停止答题，即闯关成功．已知在6道被选题中，甲能答对其中的4道题，乙答对每道题的概率都是eq\f（2,3）.（1)求甲、乙至少有一人闯关成功的概率；(2)设甲答对题目的个数为ξ，求ξ的分布列．解(1）设甲、乙闯关成功分别为事件A，B，则P(eq\x\to(A))＝eq\f（C\o\al(1,4)C\o\al（2,2）,C\o\al(3,6)）＝eq\f(4,20）＝eq\f（1,5),P（eq\x\to(B)）＝eq\b\lc\(\rc\）(\a\vs4\al\co1（1－\f（2，3))）3＋Ceq\o\al（2,3)eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1－\f（2，3)))2eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（2,3))）1＝eq\f（1，27)＋eq\f(2,9）＝eq\f（7,27)，则甲、乙至少有一人闯关成功的概率是1－P(eq\a\vs4\al（\x\to（A））eq\a\vs4\al(\x\to（B）))＝1－P(eq\x\to(A））P（eq\x\to(B）)＝1－eq\f（1,5)×eq\f(7,27)＝eq\f（128,135）。(2）由题知ξ的可能取值是1，2.P（ξ＝1）＝eq\f（C\o\al（1,4）C\o\al(2,2),C\o\al(3,6））＝eq\f（1，5),P（ξ＝2)＝eq\f(C\o\al（2，4)C\o\al(1,2）＋C\o\al（3,4）,C\o\al（3，6）)＝eq\f（4，5），则ξ的分布列为ξ12Peq\f(1,5）eq\f(4，5）10．［2018·重庆模拟]甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球．约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜或每人都已投球3次时投篮结束．设甲每次投篮投中的概率为eq\f(1,3），乙每次投篮投中的概率为eq\f（1,2）,且各次投篮互不影响．（1）求甲获胜的概率；(2）求投篮结束时甲的投篮次数ξ的分布列．解设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投篮投中，则P(Ak）＝eq\f（1,3)，P（Bk)＝eq\f（1，2），（k＝1,2,3)(1）记“甲获胜”为事件C，由互斥事件有一个发生的概率与相互独立事件同时发生的概率计算公式可得P（C）＝P（A1)＋P(eq\x\to(A1）eq\x\to（B1）A2)＋P（eq\x\to(A1)eq\x\to（B1）eq\x\to（A2)eq\x\to（B2）A3)＝P(A1）＋P（eq\x\to（A1))P（eq\x\to（B1）)P(A2）＋P（eq\x\to（A1）)P(eq\x\to（B1))P（eq\x\to（A2)）·P(eq\x\to(B2）)P(A3）＝eq\f(1,3）＋eq\f(2,3)×eq\f（1,2)×eq\f（1，3)＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(2，3)））2×eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（1，2）)）2×eq\f（1,3)＝eq\f(1,3）＋eq\f（1,9）＋eq\f（1，27）＝eq\f（13，27)。(2)ξ的所有可能值为1，2，3,由独立性可知P（ξ＝1）＝P(A1)＋P（eq\x\to(A1）B1）＝eq\f(1,3)＋eq\f(2,3）×eq\f（1，2)＝eq\f（2,3)，P(ξ＝2)＝P（eq\x\to（A1）eq\x\to（B1）A2)＋P(eq\x\to(A1)eq\x\to(B1)eq\x\to（A2)B2）＝eq\f(2，3)×eq\f(1,2）×eq\f(1,3)＋eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(2,3))）2×eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)2＝eq\f（2，9)，P(ξ＝3)＝P（eq\x\to(A1）eq\x\to（B1)eq\x\to(A2）eq\x\to(B2))＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（2,3））)2×eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（\f(1，2)）)2＝eq\f(1，9),综上可知，ξ的分布列为ξ123Peq\f(2，3）eq\f（2，9）eq\f（1，9）[B级知能提升]1．［2018·淄博一中模拟]设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量ξ描述一次试验的成功次数，则P(ξ＝0)等于(）A．0 B。eq\f（1，3)C。eq\f(1，2) D.eq\f（2，3)答案B解析设P（ξ＝1)＝p，则P(ξ＝0）＝1－p。依题意知，p＝2（1－p），解得p＝eq\f(2，3).故P(ξ＝0）＝1－p＝eq\f（1,3)。2．已知离散型随机变量X的分布列P（X＝k)＝eq\f（k，15)，k＝1,2，3，4,5,令Y＝2X－2，则P（Y〉0)＝(）A。eq\f（7，15) B.eq\f(8，15）C.eq\f（11,15) D。eq\f（14，15)答案D解析由已知Y取值为0,2,4,6,8，且P(Y＝0）＝eq\f（1，15),P(Y＝2)＝eq\f(2,15），P（Y＝4)＝eq\f(3，15）＝eq\f（1,5），P（Y＝6）＝eq\f(4，15)，P（Y＝8）＝eq\f（5,15）＝eq\f（1,3)。则P(Y〉0）＝P(Y＝2)＋P（Y＝4）＋P（Y＝6）＋P（Y＝8)＝eq\f(14，15)。3．已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球,乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球，现从甲、乙两个盒内各任取2个球．设ξ为取出的4个球中红球的个数，则P（ξ＝2)＝________.答案eq\f(3，10)解析ξ可能取的值为0，1，2,3，P（ξ＝0）＝eq\f(C\o\al（2，3）C\o\al(2，4），C\o\al（2，4)C\o\al（2,6））＝eq\f(1，5），P(ξ＝1)＝eq\f（C\o\al(1，3)C\o\al（2,4)＋C\o\al（2,3）C\o\al(1，2)C\o\al(1,4),C\o\al(2,4）C\o\al(2，6))＝eq\f(7，15)，又P(ξ＝3）＝eq\f（C\o\al（1，3），C\o\al