五年级下册数学扩展专题练习：数论.因数个数(A级)全国通用

因数个课前预习富翁打有两个富翁，一个头脑精明，一个吝啬刁钻。贪财好利是他们的共同特点。一天，两个富翁遇到了一起，双方争强好胜，话不投机，竟然打起赌来。精明的富翁说可每天给元，只收回你1分吝啬的富翁以为对方吹牛皮，便说真的每天给我1万元，别说我给你分钱，就是再给你千我也干“明富翁说只是第一天，你我1分“道你第二天还要给我1万？”“的明富翁说你第二天收了我的1，要给我分第天…没等精明的富翁说完，吝啬的富翁急切地问天你再给我，我给你“4分！就是说，我每天得到的钱都是一天的两倍吝啬的富翁心想家伙可能神经出了毛病天我下去的钱够送多少天呢？“是人人都知道的百万富翁明的富翁打算都送给你，只拿出30万，先送你一个月足够了。但是你给我的钱也1分能少吝啬的富翁怕精明的富翁反悔，提出要签协议。吝啬的富翁说敢订协议？于是他们找来了几个公证人，签了协议。吝啬的富翁回到家，高兴得一夜没合眼。天刚亮，对方提着万元送上门来，按约定他给了对方1钱。第二天，对方仍然如约送来了1万。他简直像做梦一般，这样下去一个月，便可以有万元的收入了！想着，想着，数钱的手都颤抖了！于是自己也如约给了对方2分。对方高高兴兴地拿走了2分，还叮嘱了，明天给我分可是，多天以后，吝啬的富翁突然要求终止打赌。对方以及一些证人当然不会同意30天时间已经过去大半了一方都无权不执行协议最，吝啬的富翁竟把全部家当都输光了。聪明的小朋友，你们说这是为什么？原来呀，吝啬的富翁在1个内共得到元他需要付给对方的钱，总数是：＋＋4＋8＋1632…＋＝1073741823（分）（即：一千零七十三万七千四百一十八元二角三分。这是一个何等大的数目呀，吝啬的富翁当然会把全部家当都输光了。知识框架一、约数的概念与最大公约数排除在约数与倍数之外

．求最大公约数的方法①解因法先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来．例如：231，

，所以(231,252)；218②除：找出所有共有的约数，然后相乘．例如：6，以(12,18)；3③转除：一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数就是所求的最大公约数．用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用一个余数去除前一个余数到余数是0为那么最后一个除数就是所求的最大公约数如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质)例如，求600和1515的大公约：1515315；315；31528530；285301530；所以和600的大公约数是15．

．最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数n，得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以．求一组分数的最大公约数先把带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数；求出各个分数的分子的最大公约数b

即为所求二、倍数的概念与最小公倍数1.求最小公倍数的方法①分解质因数的方法；例如：231，

，所以

2772；②短除法求最小公倍数；218例如：3963

，所以；③[a,]

a(a)

．2.最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数．两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积．两个数具有倍数关系，则它们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数．3.求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数出个分数分子的最小公倍数3515即为所求．例如：[]412

b出个分数母的最大公约数b；a4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整.如：32,3三、最大公约数与最小公倍数的常用性质．两自数别以们的大约，得商质

如果m为的大公约数Ama么、b互质以AB最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：①Amb即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；②最大公约数是A、B、、A及小倍数的约数．．两数最公和小公的积于两数乘。即ab),]，此性质比较简单，学生比较容易掌握。．对任3连续的然，果个续的偶为a奇奇那么三数乘等这个的小倍例如：5，就的小公倍数)偶偶那这个的积于三数小倍数倍例如：6，而的最小公倍数为168性质（不是一个常见考点，但是也比较有于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积”四、求约数个数与所有约数的和

．求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指(次数)加1后得的乘积。如1400严格分解质因数之后

，以它的约数(包括和1400本)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在篇讲过的数字唯分解定形基础之，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原“原构出来，者“造出可能的最”

．求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：

，以21000所约数的和为

3)(1

此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许多步提取公因式，建议帮助学生找规性的记忆即可。重难点重点：

本讲中的知识点并不难理解，对于约数、最大公约数；倍数、最小公倍数的定义我们在学校的课本上都已经学习过，所以重点在于一些性质的应用，完全平方数在考试中经常出现，所以于平方差公式还有一些主要性质一定要记难点：

核心目标是让孩子对数字的本质结构有一个深入的认识，即所谓的整数唯一分解定理，教师可以在课前让学生练习几个两位或三位整数的分解，然后帮学生做一个找规律式的不完全归纳让学生自己初步领悟原来任何一个数字都可以表示为

eq\o\ac(△,☆)

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的结构例题精讲【例】数360的数有多少?这约数的和是多少?【巩固】数160的数个数是多少？它们的和是多少？它们的积【例】求在到中，恰好有0个约数的所有自然.【巩固】在到1中恰好有6个数的数有多少个？1【例】甲、乙两个自然数的最大公约数是7并且甲数除以乙数所得的商是乙是8【巩固】甲数是，甲、乙两数最大公约数是4，最小公倍数是288那么乙数是多少？（★★）【例】如图，鼹鼠和老鼠分别从长米的小两端AB始向另一端挖洞。老鼠对鼹鼠说你完后，我再挖。”这一来，由于老鼠原来要挖的一些洞恰好是鼹鼠要挖的洞，所以老鼠可以少挖多少个洞？【巩固有些小朋友排成一行，从左面第一人开始每隔人一个苹果；从右面第一人开始每隔人发一个桔子，结果有10个朋友苹果和桔子都拿.那么这些小朋友最多有多少人？（★★）【例】已知正整数a之差为，它们的最小公倍数是其最大公约数的05倍那么a较大的数是多少？【巩固】已知两个自然数的和为，它们的最小公倍数与最公约数的差为114，求这两个自然数．【例2008第届IMC国数学邀请赛（加坡）年级复赛）如图A、BC是三个顺次咬和的齿轮，当A转4圈，B恰好转3圈当转圈，恰转5圈，则A、B、C的数的最数分别是多少？A

B

C【巩固】一个两位数有6个数，且这个数最小的约数之和为，么此数为几？【例】恰有个约数的两位数有个．【巩固】能被整且恰有个数的数有

个．【例】已知偶数A不4的数倍，它的约数的个数为12求4A的数的个.【巩固】自然数N有45正约数N的小值为。【例知A数个约数B数12约数A的小公倍数则B

．【巩固】如果你写出的所有约数1除外，你会发现最大的约数是最小约数的倍现有一个整数，除掉它的约数n外剩下的数中，最大约数是最小约数的15，那么满足条件的整数哪些？课堂检测、24有多少个约数？这些约数的和是多少？、筐里有300个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，要求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？、在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成等，第二种刻度线把木棍分成等份，第三种刻度线把木棍分成等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？、在三位数中，恰有9约数的数有多少个？、1001的倍中，共有

个数恰有1001个约数．A,B两都仅含有质因数和它们的大公约数是已数A有12个数数B有10约数那么数的和等于多少?复习总结、最公约数与最小公倍数的常用性质、求一整数的所有约数的和、求一整数约数的个数家庭作业、筐里有个桃子，如果不是一次全部拿出，也不一个一个地拿，求每次的个数同样多，拿到最后正好不多不少，问共有多少种不同的拿法？、马和李虎计算、乙两个两位数的乘积，马鹏把甲数的个位数字看错了，得乘积473李虎把甲数的十位数字看错了，得乘积，那么甲、乙两数的乘积应、能