垂径定理优秀教案

垂径定理【学标一、教学知识点。圆的轴对称性。垂径定理及其逆定理。运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明。二、能力训练要求。经历探索圆的对称性及相关性质的过程进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。培养学生独立探索，相互合作交流的精神。三、情感与价值观要求。通过学习垂径定理及其逆定理的证明使学生领会数学的严谨性和探索精神培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。【学点垂径定理及其逆定理。【学点垂径定理及其逆定理的证明。【学法指导探索和自主探索相结合。【学程一、创设问题情境，引入新课。[]前面我们已探讨过轴对称图形，并且通过折叠研究出圆是轴对称图形，今天我们继续用前面的方法来进一步研究圆的对称性。二、讲授新课。下面我们一起来按下面的步骤做一做：（一）在一张纸上任意画一个⊙，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合。1/5得到一条折痕CD．在⊙上任取一点A，过点A折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M是两条折痕的交点，即垂足。（四）将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B如图。[]老师和大家一起动手。（教师叙述步骤，师生共同操作）[]通过第一步，我们可以得到什么？[齐声]可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴。[]很好。在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？[]我发现了，AM＝BM，弧AC=弧BC，弧弧BD。[]为什么呢？[]因为折痕AM与BM互相重合，点与D点重合。[]还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？[生共析]如右图示，连接OA、得到等腰OAB，即OA。因⊥ABeq\o\ac(△,)OAM与OBM都是Rt，又OM为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM＝BM。⊙O关于直径CD对称，所以A和关于对称当圆沿着直径CD对折时点A与点B合弧AC与弧重合。因此，弧AC=BC，弧弧。[]在上述操作过程中，你会得出什么结论？[]垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。[]同学们总结得很好。这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性——垂径定理。在这里注意1．条件中的“弦”可以是直径2结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦。下面，我们一起看一下定理的证明：（教师边板书，边叙述如上图，连结、OB，则OA。在RtOAM和RtOBM中，∵OA=OB，OMOM，∴Rt≌RtOBM∴AM＝BM。∴点A和点B于对称。2/52222222∵⊙关于直径对称，∴当圆沿着直径CD对折时，点A点B合，弧AC与弧重合，弧AD与弧BD重合。∴弧AC=弧BC，弧BD。[]为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：1．过圆心2垂直于弦，那么可推出）平分弦）平分弦所对的优弧）平分弦所对的劣弧。即垂径定理的条件有两项，结论有三项。用符号语言可表述为：如上图，在⊙O中，AM=BM，是直径⊥ABM

弧AD=弧BD弧AC=弧下面，我们通过求解例1来熟悉垂径定理：[1]如右图所示条公路的转弯处是一段圆即图中弧，是的圆心CD=600m为上一点⊥CD，垂足为F，。求这段弯路的半径。[生共析]要求弯路的半径，连结OC，只要求出OC的长便可以了。因为已知⊥，1所以CF＝＝，OF＝，此时就得到了一RtCFO，哪位同学能口述一下2何求解？[]连结OC，设弯路的半径为，则＝（），∵OE⊥，∴＝＝（据勾股定理，得OC＝+OF，即R＝300（）．解这个方程，得R＝∴这段弯路的半径为545m。[]在上述解题过程中使用了列方程的方法，用代数方法解决几何问题，这种思想应在今后的解题过程中注意运用。3/5下面我们来想一想。1．如下图示，AB是⊙的弦（不是直径条平分的直径CD交AB于点M。师右图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？生它是轴对称图形，其对称轴是直径CD所在的直线。师很好，你是用什么方法验证上述结论的？大家互相交流讨论一下，你还有什么发现？生通过折叠的方法，与刚才垂径定理的探索方法类似，在一张纸上画一个O，一条不是直径的弦AB将圆对折，使点A与D重，便得到一条折痕CD与弦AB交于点。CD就是⊙O的对称轴，点、B点关于直径CD对称。由轴对称可知，，AC=弧BC弧AD=弧BD师大家想想还有别的方法吗？互相讨论一下。生如上图，连OA、OB便可得到一个等腰OAB，OA＝OB，AM＝MB，M点为等腰△OAB

底边上的中线。由等腰三角形三线合一的性质可知又CD是⊙O的对称轴当圆沿CD对折时A与点B合AC与弧BC重合AD与弧BD重合。师在上述的探讨中，你会得出什么结论？生平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。师为什么上述条件要强调“弦不是直径”？生因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的。师我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理。师同学们，你能写出它的证明过程吗？生如上图，连结OA，OA＝OB在等eq\o\ac(△,腰)OAB中，∵AM＝MB，∴CD⊥AB（腰三角形的三线合一∵⊙O于直径CD对称。∴当圆沿着直径CD对折时，A点B重合，AC与弧BC重合，AD与弧重合。∴弧AC=弧BC弧AD=弧BD2．如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？为什么？答：相等。理由如右图示过圆心O作直于弦的直径由垂径定理设弧AF=弧弧CF=弧DF，用等量减等量差相等，得弧CF=弧弧即弧弧BD故结论成立。422222222符合条件的图形有三种情况）圆心在平行弦外）在其中一条线弦上在平行弦内，但理由相同。三、课时小结。本节课我们利用圆的轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题。四、活动与探究。银川市某居民区一处圆形下水管道破裂修理人员准备更换一段新管道如图所示污水水面宽度为60cm，水面至管道顶部距离为，问修理人员应准备内径多大的管道？[程]让学生在探究过程中，进一步把实际问题转化为数学问题，掌握通过作辅助线构造垂径定理基本结构图，进而发