小学奥数讲义5年级-整除问题-难版

第8整除问题知梳1.整除一般地，如a、、为整数，≠，且÷b=c即整数a除以除b（不于0），除得的商正好整数而没有余数（或者说余数是0，我们就说a能被b整（或者说b能除a），记作b｜2.数的整除性质性质1：如果a、b都被c整，那么它们的和与差也能被c整除。性质2：如果b与c的能整除a，那么bc都能整除a.性质3：如果b、c都整除a，和互质那么与积能整除a。性质4：如果c能除b，能除，那么整除。3.数的整除特征①能被2整的数的特征：个位数字是、、4、6、整.“特征”包含两方面的意义：一方面，个位数字是偶数（包括）的整数，必能被除；另一方面，能被2整的数，其个位数字只能是偶数（包括）下面“特征”含义相似。②能被5整的数的特征：个位是0或。③能被3（或9）整除的数的特：各个数位数字之和能被3或9）整除。④能被4（或25）整除的数的特：末两位数能被4或25）除⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125整除。⑥能被11整除数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的数。⑦能被7（11或）除的数特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被711或13整除。

典例【1★断123456789九数否11整除？【解析个奇数位上的数字和是＋＋531=25偶数位上的数字之和是8＋＋＋＝因25—20＝5，又因115，所以11123456789。【试刀判13574是是11的倍？【解析】这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是＋＋（＋）0.因为0是何整数的倍数，所以｜0.此13574的倍。【2★老师学一买28支价相的笔共人币eq\o\ac(□,9)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,.2)元已eq\o\ac(□,知)数相，问支笔少？【解析】∵eq\o\ac(□,9)eq\o\ac(□,)eq\o\ac(□,.2)元=eq\o\ac(□,9)□28＝4×，∴根据整除“性质2”可知4和7均整除9□eq\o\ac(□,2)4｜□可知□处能填0或4或8因为79020，9424，所以处不能填0和4因为7｜9828，叫□处应该填8。又∵分98.28元98.28÷28＝（）【试刀一马的购买72只，衣将货票烂了只依看：只，□67eq\o\ac(□,9)元□的数洗了请帮算算他共了多钱【解析】将eq\o\ac(□,67)eq\o\ac(□,)．eq\o\ac(□,9)看做□□分，这是72只的总价，因为单价72=□679□所以□679□能被整除。×，所以679□应该能被8和9整除如果□679□被8整，那么的末三位一定能被除，即8|79□，容易算eq\o\ac(□,出)是2。因为6792能9整，以其各数之和能被9整除+6+7+9+2=□+24，然eq\o\ac(□,，)eq\o\ac(□,)中的数只能是3。所以这笔账是36792元。【3★（国望数学请）四数是．

9a8a

能15整除则a代表的字

xxxx【解析】因为15是和5的数，所以

既能被3整，也能被5整除．被5整的数的个位数字是0或5，能被除的数的各位数字的和是3的数．当a=0时9＋a＋＋a=17，不是3倍数；当a=5时9＋a＋＋a=27，是的倍数．所以，代的数字是5．【试刀若位

能11整除那a代的字.【解析】若四位数能被11整除那么9+8-2a就是11的倍，那么时使该四位数符合条件【例4】★知45整除

x

，所满条的位。【解析】因为45=5×，以根据整除性质5一数能被两个互质数的积整除，那么这个数也能分别被这两个互质数整除，可知5除

x1993

且9整。所以y可取0或5。当y=0时，根据9整

x

及数的整除特征可知x=5。y=5时，根据9除

x

及数的整除特征可知x=9。综上所述，满足条件的六位数是或919935。【试刀一6位A2008B能被72整除，么A的为少【解析】72=7×，所以，如果

2008B

能被8整除，那么B的为0或8而各位数数字之和为的数，所以对应的A的值或90排除.【5★某七数1993口口口够时23，，56789整，么的最三数依是少【】为这个数能被5整所末位只能是或又能被2除所以其末位为偶数，所以只能是0．在满足以上条件情况下，还能被4整除，那么末两位只能是20、40、60或80．又因为还能同时被9整除，所以这个数的数字和也应该是9的倍，1993A20，1993B40，1993C60，的字和分别为24+A26+B28+C30+D，对应的AB、C、只能3，，，．末位可能是，140860680．而只有320，是8的倍，验证只有1993320，1993680中只是7的数．因为有同时能被24，，，9除的数，一定能同时被23，4，，，7，，9这个数整除，所以1993320为求这个数．

显然，其末三位依次为3，2，．【试刀如六数1992口能整，么的后位是少?【解析】用199200试除，199200105=1897…15，余15可看成不足(105-15=)90．以补上90，在末两位的方格内填人90即．【6★★个位能被19和91整除，2009为少【解析】因19与91互，此数能被1729整。20090001161，1631，个七位数是2009098。【7★已七数92427能99整除那两数AB＝______【解析】99=9×，虑9|92AB427则A+B为3或12考虑11|92AB427，（）（4+B=11或22差11时得B-A=5，符合条件，当差为22时得A-B=6与奇性一致时A=9这是符合条件的唯一解。AB93。【试刀如有个位

A1999311B

能整，试A、两的(大减)分：×9由意，

能8整，B=2．A+B+1+9+9+9+3+1+1)能9整除则＋B6能9整．由B=2知，．以R-A=2-1=1.【8★★要15ABC6能被36整而所的最那ABC分别多？【解析】因为×，以

C6

能被整除，从而C只可能是13579.使商最小，A、应尽能小，先取A=0，又，所以3+B+C是9的数，B=1，C=5时取得最小值【试刀在后面上个字组一六数使能别3、、5整除，且这数可小【解析】不妨设补上三个数字后的位数为，由于这个六位数被4、整，因为被4整，所以c不是5而只能是0，且只可能是、、、、。

bc又因

3|568

，所以（5+6+8+a+b+0以：当b=2时3|（5+6+8+a+2可为、、6、9；当b=4时3|（5+6+8+a+4可为、、7；当b=6时3|（5+6+8+a+6可为、、8；当b=8时3|（5+6+8+a+8可为、369；

568abcabc568abcabc当b=0时3|（5+6+8+a+0可为、58。为了使六位数尽能小，则a应、取2c应0。故能被3、、整除的最小六位应为568020【9★已四一数5599…其中5和9各有20个)被7整，么间格的字多?【解析】【10】★★★全小数奥匹如n个2么的最值.

200501

能整，【解析20052005n个2

200501

中奇数位减偶数位的差5－2＋＋1,当时(3n＋是11的数，所以n的小值是7.【试刀n个2

200808

能11整除那，的最值多【解析20082008n个2

200808

中奇位数减偶位数的差8-2n+8=6n+8时是的倍，所以n的小值是6.【11】★46305乘以个然a，积一整的方求小a和个数.【解析】46305=3××，以小为3××7=105，个整数是3××=2205.小试刀46305除以个自数a乘是个数平.最a和个数.【解析】只要使46305各因数的指数减去对应a的质因数的指数的差为偶数a最小3××7=105，个整数为3×7=2205105=21.【12】★一数倍减1能97整除这的然中小是.【解析】设这样的数为x，则40x-1=97aa是整，即＋，为40x的位数一定是0，40x-1的末尾数一定是，所以最小7从而最小是17.【13】★★★1至1997这个自数次下，一多数…1994199519961997，求个位除以的余。【解析】因为1至9这个数之和为45所以101920至，30至，，至89，至99这个数的各位数位上的数字和分别为45+1045+20，45+30，45+40，，45+80，45+90。以1至99这99个自数各位数字之和为：45+55+65+…+125+135=900因为1至99这99个自数各数上数字之和为900所以100至，至，，800至899900至999这些100数各位数位上的数字和分别为900+100900+200，…，

810810900+800，。以1至999这999自然数各位上数字之和为：900+1000+…因为1至999这999个然数各上数字和为13500所以至1999这1000个然数各数位上的数字和为，样1至这1999个自然数各数位的数字和为：13500+14500=28000。1998、1999这个数各数位上的数字和为27、。28000－27－28=27945，能除27945，以多位数除以9余【试刀1至2000这1997个然依写来一多位12345678910111213…，试这多数以9余。【解析】余数为3课作1.将然12、、456789依重写去成个1993位数，问这数否3整？【解析】∵＋＋＋＋9=453｜45又∴除9余4，∴这个位的最末4位字是1234∵1+2+3+4=10，10，∴这个位不能被3整。2.一陈老上着：72只共67.9□元这□处迹不.处字上并桶单。【解析】□为3、2共元每只桶元。3.六自数1082□□被12整除，末位有

种况【解析】因为被12除余是2，能被12整除且首位数字是2的位数中，最小的数是12×17=204，大的数是1224=288所以末两位数有－17＋1=8(种情．4.六自数1082□□被23整除，末位有

种况【解析】因为108200÷余8，以，方框中的数为61、四种况时，六位数能被整除5.四数

8A1

能时235整，这四位是少【解析】要使

8A1

能同时被2和5整，个位数字能是B=0又要使能被整，所以各位数字之和8+A+1+0=9+A应能被整除可以看出，当A取0、、、时各位数

33字之和9+A可以被3整除所求的四位数是、8310、8610、8910。6.一三数同被457整，样三数按小大顺排一，间个是少【解析】这样的三位数最小是4×7=140最大是1407=980，中间一个是×4=560.7.有堆果第堆513块，第二有块，一可平分9个朋而剩？【解析】各上数字之和是5+1+3=9能被整除；各位上数字的和是6+3+3=12，不能被整所以第堆可以平均分给个小朋友而无剩余第二堆平均分给9个朋友还剩余块。8.有个位是9的数求A的。【解析）当和是9时3+A+A+1=9即2A=5所以A=25（舍（）和是18时，，2A=14，；（）和是27时，，2A=23，可见A=11