应用建模2利用导数研究生活中的应用问题

应用建模2 利用导数研究生活中的应用问题 对应学生用书第60对应学生用书第60生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题通常称为优化问题生活中的优化问题的常见类型如下:费用最省问题;利润最大问题;面积、体积最大(小)问题.利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x);求函数的导数f(),解方程f)比较函数在区间端点和使f()0的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.解决生活中的优化问题应当注意的问题(1)在求实际问题的最大(小)值时,一定要考虑实际问题的意义,不符合实际意义的值应舍去.f()0的情形如果函数在这点有极大(小)值,那么不与端点比较,也可以知道这就是最大(小)值.在解决实际优化问题中,不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示,还应确定出函数关系式中自变量的定义区间.得或.【概念辨析】1.(,”)生活中常见到的收益最,用料最省等问题就是数学中的最大、最小值问. ( )解决应用问题的关键是建立数学模. ( )某产品的销售收入1(万元是产量(千)的函:112x0),生产成本2(万)是产量(千)的函数:2321x0),大,产6台. ( 答案 (1)√ (2)√ (3)√【对接教材】2教A修14题31编)为2段,形,那么这两个正三角形的面积之和的最小值是( ).3c24c2 32c2 23c22答案 D解析 设细铁丝的两段长分别为xcm,(12-x)cm,则这两个正三角形的边长分别为ᵆe3

cmᵆe,3()3[(ᵆe)2+(4ᵆe)23(2ᵆe2e16,S()3(4)0,6x6),4 3 3

4 9

4 9 3,()min=(63.3人教A版选修14题32编)已方底无盖为256,水箱,且用料最省,则它的高为( ).4 45 6 8答案 A解析 设该水箱底面边长为高为,则水箱体积2·h256∴h6,表ᵆe2()=426=24×256,()2x4×25.ᵆe2 ᵆe

ᵆe2令S()0,解得x8,当 x8时,()取到最小,∴h64.82【易错自纠】底直棱柱为,当其表时底为( )..V.2ᵄI

.4ᵄI

2ᵄI答案 C析 直棱柱底为,表积3243(x0),3(34)令,得4,可判断当 x4ᵄ时,S取到最小.

2 ᵆe

ᵆe2某公司生产一种产品,20000,每生产一单位的产品,100,若总收入R与年产量900x的关系是({-ᵆe3+400x,0≤x≤390则当总利润()最大,是( ).90090090,ᵆe>390,0 0 0 答案 D解析 由题意得,900()900

+300x-20000,0≤x≤390,70090-100ᵆe,ᵆe>390,0≤0,令()0,300,又当x0,)010x为减函,所以300,总利润最大故选.【真题演练】6.(2020年江苏卷)某地准备在山谷中建一座桥梁,桥址位置的竖直截面图如图所示,谷底O在水平线MNBN平行,为铅垂线(在B上)经测,左侧曲线O上任点D到N距离1(米)点D1 到距离(米)之间满足式h=12;右侧曲线O上任点F到N距离h(米)点F到1 402的距离b(米)之间满足关系式h=-12800

3b已知点B到的距离40米.求桥AB的长度;计划在谷底两侧建造平行于桥墩D和,且E80米,其中点,E在AB上(不包括端点)桥墩F米造价(万桥墩D米造价(万k0)求E米,桥墩DF造价2低.析 (1)由题意得12=-143680,

40 8008040米).(2)设总造价为f(x)万元,|O'O|=1×802=160,1800ᵆe3-6xk160-1(80)21240=k(160+800 80ᵆe3-3ᵆe20令f()=(3800

ᵆe2-6

)0,20x0舍去.0<x20f()02040,f(因此当x=20时,f(x)取到最小值,61费用、用料最省问题【题组过关】O'E20,CD61费用、用料最省问题【题组过关】1定,省,为( ).2∶1 1∶2 1∶4 4∶1答案 A解析 设其体积为,高与底面半径分别为,,则Vπ2,即=ᵄIπᵅ_2

知,S最小时所用材省,2π2πrh2π22rᵄI2π2I令4πrI0,得r=√ᵄI,当=√ᵄI时,h=

=,πᵅ_2 ᵅ_

ᵅ_2

2π

3ᵄI2 ππ(√2π)∶1,表S最小.2(2021山东月考)在某次水下科研考察活动中,需潜水员潜入水深60水进行作业,根据以往经验,潜水员下潜的平均速度为ᵆc1]1010每单位时间用氧量为0.9(升),返回水面的平均速度为ᵆc(米/单位时间),每单位时间用氧量为1.5(升),记该潜水2员在此次考察活动中的总用氧量为.yv;≤(c0),下潜平均速度v,氧量.解析 (1)由题意,下潜用时为60(单位时间),用氧量为[(ᵆc+升),水底作业时的用氧量为ᵆc 10 ᵆc 50 ᵆc1009(升),返回水00(单位间),氧量0150升),ᵆc 2总用氧量y209(v0).

ᵆc ᵆc50 ᵆc(2)由(1)得y'032000,50令y'0得v0.0<v10时,y'0,单调递减;v0时,y'0单调递增.0<c10√时,函数在(,10√),在(10√,15),v10√时,总用氧量最少;≥0√时,该[,15],此c时,.综可知,若010√,则v10√时,总用氧量最少;若≥0√,则v=c,.面积(或容积)最大问题【典例迁移】请你设计一个包装盒,如图所示,是边长为0m的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使,,,D四个点合面积(或容积)最大问题【典例迁移】请你设计一个包装盒,如图所示,是边长为0m的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使,,,D四个点合图中的点,正形一个正四形的包装盒点,F边B,是切去的一个等腰直角三角形边的个点设).要求包装盒的容积 (c3)最大,试问x应取何值?求此包装盒的面边长的值.解析 ()√2)2(60)√22=√2x2×(60-2x)=-2√2x3+60√2x2(0<x<30),()=√2212√2x=√2(x20).V()0,得x0(舍去或x0.0<x20,V()200∴V(x)在x=20时取到极大值,也是唯一的极值,故为最大值.底面边长为√2x=20√2(cm)√2(30-x)=10√2(cm),即高与底面边长的比值为1.2点拨 面积、体积(容积)最大,周长最短,距离最小等实际几何问题,求解时先设出恰当的变量,将待求解最值的问题表示为变量的函数,再按函数求最值的方法求解,最后检验.,a的正六边形纸板剪去相同的六个角,做成一个底面为正六边形的无盖六棱,,().写出体积V与高h的函数关系式;h为多少时,体积V最大解析 (1)依题,该六棱柱的底边长(ᵄN-23),为63(ᵄN-3)2,积积3(ᵄN-23)·h3 33a22h.2234(2)由(1)得 3(3ℎ2-23ah+3ᵄN2),4令 得 或 舍去).经检经检验 既是函数的极大值点又是它的最大值点,64h3a时,V取到最大值,ᵄ3.利润(或产值利润(或产值)最大问题【题组过关】已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元,每生产 1千件需另投入 万元公司一年内生产品牌服装 x千件并全部销售完,每千件销售收入为()万元,且

10.8-1

ᵆe20<x≤10,108-1000,x>10.求年利润 (万元)于年产量 (千件)式

ᵆe 3ᵆe2当年产量为多少千件,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最?并求出最大值.解析 (1)当时,W=x()078xᵆe330x0,()02798027x.3ᵆe所以W={

8.1ᵆe-ᵆe3-10,0<x≤10,3098-1000-2.7x,x>10.3ᵆe(2)当0<x≤10时,由 81ᵆe20,得 10(0,9),W'0,(9,10时,W'x9,W取到最大值,30且 max19-193036.30x0,W98(02.7x)≤980×2.738,3ᵆe 3ᵆe027,0时,W,max3ᵆe 9,x9,W,38.故当年产量为9千件时,该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最,最大利润为38.6万元.点拨 解决此类有关利润的实际应用,应灵活运用题设条,建立利润的函数关,常见的基本等量系如下:利润收入成本.26利润26x小时,原油温度(()3-28(0≤5),( ).38 3

.1.8案 C析 为f()=22(x121(0≤当x1,取到最小值,最小值为-1.一,母线长为20cm,使体积最,则高应为( ).33

m 33案 D

m633

m033解析 设的高为hVπ(2022)·hπ(4002h3 3π(40032V()03.3 3(0,3)时,0,(03,20),3 3故当h=20√3时,体积最大.3某商场从生产厂20价格购进一批商该品售价定为P元,销售量为Q件,且销量Q与零售价P有如下关:0170P-2,则最大毛利润( )(毛利销售收进货支出30000元 20000元28000元 23000元案 D析 由意商毛为(20),(()(20)(8300170P-2f()=323000=3(P130)(P30.f()0,P0P=130).[20,故()max=(),,,()max=0.用总长为6m架,为3∶4,那么器容积最大,高为( ).A.0.5m B.0.8m C.1m D.1.5答案 A解析 设容器底面相邻两边长分别为3xm、4xm,e-e(3-7x)积积34(3-7x)1283 0<x<3 ,21436x2,由V'=0得x=1或x=0(舍去).7(0,时,0,(13)时,0,7 714所以在x处,V,05.7内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高( R.RR 2R4 3答案 C析 为,为则2(h-)2+2,22Rh-2,π2hπ(2Rh-2)π2π3,3 3 3 3πRhπ20hRh0().3 30<hR时,0;ᵄE<h2R时0.3 3因hR时,圆锥体积最大故选.3某银行准备新设一种定期存款业务,经预算,存款量与存款利率的平方成正,比例系数为已知贷款的利率为0.0486,且假设银行吸收的存款能全部放贷出去设存款利率为x,x∈(0,0.0486),若使银行获得最大收益,则x的取值为( ).0203040答案 C析 意,是k2银行支付的利息是k3,是0048k,其中0益y0048k2300则y'=0.0972kx-3kx2.令y'=0,得x=0.0324或x=0(舍去).0<x04y'0406,y'.y取到最大值,即当存款利率为0.0324时,银行获得最大收益.某公司一年购买某种货物400吨,每次都购买x吨,运费为4万元次,一年的总存储费为4x万元,要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x= .答案 20析 买n物,则0,ᵆe总运费与总存储费之和()n4x04,ᵆef()400,x0x=20(ᵆe2.x件的总成本()0+23,又该产品每件售价的平方与产品件数x,生产10075件这样的产品,每件售价为50元,大为 件.答案 25解析 设该产品每件的售价为a元,x,2,x100a50k250000a0,√ᵆe故该产品的总利润y=500√ᵆe-2x3-1200(x>0),75y'0-22,y',x√ᵆe25)时,y',,+)时,y'y25.已知矩形的两个顶点,D位于x轴上,另两个顶点C位于抛线y42在x轴上曲线上,个矩形的面积的最大值为 .答案 32√9析 意,矩形边长2,则42,矩形面积8620,1√3,2√3().3 30<x3时,0,2<x2,0.3 3x3时,S,3.3 9已知某生产厂家的年利润:万元)与年产量:)3产厂家获取最大年利润的年产量( ).13万件11万件9万件 7万件答案 C析 为y'=-81,所以当(9,+)时,y'0当(0,9时,y'0,所以函数y=381x234在,+)上3(0,9)又因为该函数在以函数在x9.统计表明:某种型号的汽车在匀速行驶中,每小时的耗油量)关于行驶速度时的函数解析式可以表示为y= 1 3-3x8,距100千,以 米128000 80行驶时,从甲地到乙地的耗油量最少.答案 80解析 由题意知,当速度为x千米时时,汽车从甲地到乙地行驶了100小时,设从甲地到乙地的耗油量为mᵆe升,则1

-

x+8·0=

2050<120).128000

ᵆe

ᵆe 4=ᵆe0383(0<≤120.640令m'=0,得x=80,)时,0,;(80,120],0,.所