华师大版九年级上册数学导学案

第21章二次根式

第21章二次根式单元教学计划

单元要点分析

—.教材内容

1.本单元教学的主要内容：二次根式的概念；二次根式的加减；二次根式的乘除；最简二次根式.

2.本单元在教材中的地位和作用：

二次根式是在学完了八年级下册第十七章《一次函数》、第十八章《平行四边形》等内容的基础之

上继续学习的，它也是今后学习其他数学知识的基础.

二.教学目标（三维目标）

1.知识与技能：（1）理解二次根式的概念.

（2）理解夜（a20）是一个非负数，（五）=a（a^O）.

（3）掌握右,>Jh=4ab（a20,620）,y[ab,\[b；

（a>0,Z>>0）,=（a>0,Z?>0）.

（4）了解最简二次根式的概念并灵活运用它们对二次根式进行加减.

2.过程与方法：（1）先提出问题，让学生探讨、分析问题，师生共同归纳，得出概念.再对概念

的内涵进行分析，得出几个重要结论，并运用这些重要结论进行二次根式的计算和化简.

（2）用具体数据探究规律，用不完全归纳法得出二次根式的乘（除）法规定，并运用规定进行计

算.

（3）利用逆向思维，得出二次根式的乘（除）法规定的逆向等式并运用它进行化简.

（4）通过分析前面的计算和化简结果，抓住它们的共同特点，给出最简二次根式的概念.利用最

简二次根式的概念，来对相同的二次根式进行合并，达到对二次根式进行计算和化简的目的.

3.情感、态度与价值观:通过本单元的学习培养学生：利用规定准确计算和化简的严谨的科学精神，

经过探索二次根式的重要结论，二次根式的乘除规定，发展学生观察、分析、发现问题的能力.

三.教学重点：1.二次根式6（a20）的内涵.G«20）是一个非负数；（G）z=a（a20）；

=a（a>0）及其运用.

2.二次根式乘除法的规定及其运用.3.最简二次根式的概念.4.二次根式的加减运算.

四.教学难点：1.对右（a20）是一个非负数的理解；对等式（G）z=a（a》0）及G=a（a20）

的理解及应用.

2.二次根式的乘法、除法的条件限制.

3.利用最简二次根式的概念把一个二次根式化成最简二次根式.

五.教学关键:L潜移默化地培养学生从具体到一般的推理能力，突出重点，突破难点.

2.培养学生利用二次根式的规定和重要结论进行准确计算的能力，培养学生一丝不苟的科学精神.

六.单元课时划分

本单元教学时间约需14课时，具体分配如下：

22.1二次根式3课时

22.2二次根式的乘法3课时

22.3二次根式的加减3课时

教学活动、习题课、小结2课时

单元自测、评讲3课时

第一课时21.1.1二次根式(1)

导

课题二次根式(1)主备雁江二中数学组

者

课型新授课使用时间

课标要求二次根式的概念及其运用.

知识目标⑴理解二次根式的定义，⑵二次根式G中字母a的实际内涵.

经历“抽象出二次根式概念的过程”理解学习二次根式的意义，培养思

能力目标

导学目标维能力以及二次根式的概念的应用方法.

让学生经历探究的过程、交流的过程，激发学生的学习兴趣，培养学生

情感目标

分析问题的能力，提高数学的应用意识.

导学重点：理解二次根式的概念和性质.

重难点难点：对二次根式G中字母a的意义的认识.

导法教师诱思

学法学生探究独立学习与小组合作相结合,用具多媒体.

导学准备多媒体课件.

导学环节导学过程个性设计

(1)提出以下问题供学生复习.①什么叫做有理数？什么叫做无

理数？什么叫做实数？请同学们举例说明.②什么叫做算术平方

根？在正数、零、负数中哪些数有算术平方根？哪些数没有算术平

方根？为什么？

创设问题(2)归纳：①我们知道，正数a有两个平方根，即“±&"，其

情景中正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根，记作6.0的平方

根也叫做0的算术平方根，即6=0.②注意：当a是正数或0(又

叫做非负数)时，右表示a的算术平方根.③负数没有平方根，

因此负数的算术平方根也不存在.也就是说：在G中，a必须大于

或等于0,a<0无意义.

学生自主将图片展示给学生，同时引入新知.如课本P1中实际的问题以及所

学习收集的有关事例.引导学生形成二次根式的概念.

我们已经遇到过如瓦、网、五这样的式子，知道符号

叫做二次根式，二次根号下的数叫做被开方数，因为在实数范围内，

负数没有平方根，所以被开方数只能是正数或0,也就是说：被开方

师生合作

数只能是非负数，一般地，式&(a20)叫做二次根式，即有①

探究

NO(a20)；②(&)2=a(a20).

例i、下列哪些是二次根式，哪些不是二次根式：6、驯、1、

X

y/x(x>0)>Vo>y/2>一亚、1、“+y(x>0,y>0).

x+y

例2、x是怎样的实数时，式子G7有意义？分析：若要使得

Jx-7有意义，被开方数x-7必须大于或者等于0,即x-720,

由此得xN7.解：被开方数x-720,解之x27.

思考x是怎样的实数时，二次根式Jx-1有意义？必等于

什么？

我们不妨取a的一些值，如2,-2,3,-3,……分别计算对应的

a2的值，看看有什么规律：

概括:当a20时，^=a;当a<0时，必=-a.

这是二次根式的又一重要性质.如果二次根式的被开方数是一

个完全平方，运用这个性质，可以将它“开方”出来，从而达到化

简的目的.例如：=J(2x)2=2x(x20)；

例3、当X是多少时，J2X+3+」一在实数范围内有意义？

X+1

分析：要使j2x+3+—L在实数范围内有意义，必须同时满

X+1

足j2x+3中的20和」一中的x+l#0.解：依题意，得！2x+3?°

x+11*0

3

由①得：x2・—由②得：xW・l

2

3_____1

当X2-—且xW-l时，V21-+3+——在实数范围内有意义.

2x+1

例4、(1)已知y=J2-X+Jx-2+5,求上的值.(答案:2)

y

(2)若Ja+l+"-l=O,求a2°°4+b2°°4的值.

知识方法1.形如G(a^O)的式子叫做二次根式，“、厂”称为二次根号.

小结

2.要使二次根式在实数范围内有意义，必须满足被开方数是非负数.

1.课本P4习题21.1第1题.

2练习：1.下列式子中，是二次根式的是()A.一布

作业布置

B•拒C.qDx

2.已知一个正方形的面积是5,那么它的边长是（）A.5B.V5

C.-D.以上皆不对

5

3.某工厂要制作一批体积为1毋的产品包装盒，其高为02",按设

计需要，底面应做成正方形，试问底面边长应是多少？

4.当x是多少时，在实数范围内有意义?

X

5.若+3有意义，则77、_______.

6.使式子J—（x—5）2有意义的未知数》有（）个.A.0B.1

C.2D.无数

7.已知b为实数,且J10-24=方+4,求〃、人的值•

板书设计导学反思

二次根式的概念1、本节亮点：

例1、例2、例3、例42、待改进处：

第二课时22.1.2二次才根式（2）

导

课题二次根式（2）主备雁江二中数学组

者

课型新授课使用时间

课标要求4a（a20）是一个非负数；（&）2=a（aNO）.

理解理解右（a20）是一个非负数和（右）2=a（a,0）,并利用它们进

知识目标

行计算和化简。

导学目标用逻辑推理的方法推出夜（a20）是一个非负数，最后运用结论严谨

能力目标

解题。

T青感11标培养学生观察、迁移、交流的意识，体会知识的内在价值.

重点：yfa（a20）是一个非负数；（、向）2=a（a20）及其运用.

导学

重难点

难点：用分类思想的方法导出右（aNO）是一个非负数.

导法采用自主探究的方式，通过类比、联想、迁移来完成本节课的学习

学法学生探究独立学习与小组合作相结合

导学准备多媒体课件.

导学环节导学过程个性设计

创设问题1.什么叫二次根式？2.当a20时，JZ叫什么？当a<0时，JZ有

情景

意义吗？

1.8（a20）是一个什么数呢？：根据学生讨论和上面的练习，

我们可以得出：

、万（a30）是一个非负数.|做一做：根据算术平方根的意义

学生自主

学习

填空：（V4）2=；（V2）2=；（79）2=；（V3）

"；（R）2=______；（&）2=_______；（C）2=•

、后是4的算术平方根，根据算术平方根的意义，“是一个平方等

于4的非负数，因此有（4）2=4.同理可得：（逝）2=2,（V9）

2=9,(G)=3,(J-)2=-,(J-)2=-,(VO)2=0,所以|(J1)

V33V22--------

2=a(a20)

例1计算I.(舟22.(3右)23.(。)2

师生合作分析：我们可以直接利用(JZ)2=a(a'O)的结论解题.

探究

巩固练习计算下列各式的值：

(V18)2(/1)2(返产(VO)2(4区)

V3478

2(3百)2-(5厉)2

例2计算1.(jm)2(x>0)2.(")23.(yja2+2a+i)

24.(-12X+9)2

解：(1)因为x20,所以x+l>0,(y/x+1)2=x+l(2)Va2

20,/.()2=a2

22

(3)Va+2a+l=(a+1)又：(a+l)^0,AaMa+l^O,

\/a2+2a+\=a2+2a+1

(4)V4X2-12X+9=(2X)2-2-2x«3+32=(2x-3)2,又：(2x-3)

220

.".4X2-12X+9>0,二(>/4x2-12x+9)2=4x2-12x+9

例3在实数范围内分解下列因式：(1)X2-32)X4-4(3)2X2-3

1.y/a(a2O)是一个非负数；2.(4a)2=a(a20);反之:a二

知识方法

小结

(&)2(a>0)o

1.教材P4习题22.1第2题

2练.习L若贝ljx二_____,而3二2,贝！Jy二______.

2计算：(口处——,斤——"舟卮——"

3.若Jx—6有意义，则x取值范围是________.

4.)2=的值为()A.aB.-aC.4aD.~4a

5当.a<0时，化简|a-"|为()A.2aB.OC.-2aD.以

上答案都不对

6.若叵三有意义，则x的取值范围是()A.x>2且x¥3B.x

作业布置|x|-33

7

C.xN*且xW3D.xW2且xW-3

333

7.若一个有理数的平方根与立方根相同，这个有理数是()A.0

B.1C.0或1D.1或-1

8.a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？

(1)-^a(2)77+^(3)JV+7

x-12

9.计算：(1)

(V1T)2(2)7(-13)2(3)-7(2X3)2(4)(阮>(5)(85/5)2(6)(-7^)2

10.已知式子有意义，化简Jf_i0x+25+|x+1|.

y/x-1

板书设计导学反思

、份(aNO)是一'个非负数；2.()2待改进良

-a(a》O);反之：a=(>fa)"(a》O)

例1;例2;例3

第三课时22.1.3二次才限式(3)

导

课题二次根式(3)主备雁江二中数学组

者

课型新授课使用时间

课标要求=a(a20).

知识目标理解必=a(a20)并利用它进行计算和化简.

导学目标能力目标经历探索理解过程，得出好=|a|.

情感口标培养学生观察、归纳的能力。

导学重点：C=a(a20).

重难点

难点：探究结论.

导法自主探究的方式，通过类比、联想、迁移来完成本节课的学习

学法学生探究独立学习与小组合作相结合

导学准备多媒体课件.

导学环节导学过程个性设计

1.形如八(a20)的式子叫做二次根式；2.4a(a20)是

创设问题一个非负数；3.(Va)2=a(a20).

情景

那么，我们猜想当a20时，J/=a是否也成立呢？下面我们

就来探究这个问题.

填空：应二:Vo.oi2=_；^F=_；—;

后=—；J(|7=_.根据算术平方根的意义，我们可以得到：

学生自主

学习

=2；Jo.or=0.01；J(5)2=—；J(§)2=~；=0；

.一般地：(a，0)

例1.化简(1)a(2)J(-4)2(3)V25(4)J(-3)2

分析：因为(1)9=-32,(2)(-4)2=42,(3)25=52,(4)(-3)

师生合作

探究2=32,所以都可运用(a20)去化简.

解：(1)V9=V?=3(2)J(—4>=J?=4(3)V25=A/S^'=5

(4)J(-3>=V?"=3

例2.填空：当a20时，=_____；当a<0时，,

并根据这一性质回答下列问题.

(1)若"=a,贝IIa可以是什么数？(2)若J?=-a,则a可

以是什么数？

(3)J/>a,则a可以是什么数？

例3.当x>2,化简J(x—2)2-J(l—2x)2.

知识方法本节课应掌握：C=a(aNO)及其运用，同时理解当a<0时，后

小结

=-a的应用拓展。

教材P4习题22.［第3题

1.先化简再求值：当a=9时，求a+Jl-2a+〃的值，甲乙两人的

解答如下：甲的解答为：原式=a+J(l—a)2=a+(1-a)=1；乙的解

作业布置答为：原式=a+J(l—of=a+(a・l)=2a-l=17.两种解答中，_______

的解答是错误的，错误的原因是_________.

2.若|1995-a|+V«-2000=a,求a-19952的值.

3.若-3Wx<2时，试化简|x-2|+J(X+3)2+V?-10x+25。

板书设计导学反思

77=a(a>0)例1；例2；例31、本节亮点：

2、待改进处：

第四课时21.2.1二次根式的乘法(D

导

课题二次根式的乘法(1)主备雁江二中数学组

者

课型新授课使用时间

课标要求二次根式的乘法法及积的算术平方根.

会进行简单的二次根式的乘法运算，能够利用积的算术平方根的性质进

导学目标知识目标

行二次根式的简写运算。

经历探究二次根式乘法法则以及积的算术平方根的过程，掌握应用的方

能力目标

法.

培养学生数感和逆向思维，感受二次根式乘法的实际应用价值，形成良

情感目标

好的思维品质.

重点：会进行简单的二次根式的乘法运算，会利用积的算术平方根的性质化简二次根

导学式.

重难点

难点：二次根式的乘法与积的算术平方根的关系及应用.

导法自主探究的方式，通过类比、联想、迁移来完成本节课的学习

学法学生探究独立学习与小组合作相结合

导学准备多媒体课件.

导学环节导学过程个性设计

请同学们完成下列各题.1.填空.(1)4义血=_,V4x9=_.

(2)V16X>/25=_,V16x25=—o(3)V100x>/36=_

V100x36=_.

参考上述结果，用或“="填空.

创设问题

V4xV974x9，屈X标716x25,

情景

7100x736____7100x36.

2.利用计算器计算填空.(填入或“=”)

(1)V2XV3V6(2)V2X75V10(3)V5X

V6屈⑷也义用V21

学生活动：先独立完成上述复习题，再与同伴一起讨论，寻找其规

学生自主律.实际上，从计算中容易得出"x®=J而，巫义亚=

学习716x25,7100x736=7100x36；运用计算器同样可以得到

5/2x^3=V6,5/2xV5=V10.

(2)两个二次根式的乘除等于一个二次根式，并且把这两个二次

根式中的数相乘，作为等号另一边二次根式中的被开方数.一般

地，对二次根式的乘法规定为无•&=.(壮0，处0)

师生合作反过来|(生0,桓0)

探究

例1.计算(1)号行⑵卜g⑶必炳(4)4x庭

分析：直接利用五〃=疝(«>0,b>0)计算即可.

解：(1)亚xypj=^35(2)xM(3)

V9xV27=>/9x27=792X3=9V3

例2化简(1)V9X16(2)716x81(3)781x100(4)

yj9x2y2(5)V54

分析：利用=〃(”K),h>0)直接化简即可.

解：(1)V9x16=^9xV16=3x4=12

巩固练习1、计算

①V16xV8@3V6x2>/10③.Jay

(2)化简：而；加；V24;V54;2a2b22、P9练

习1、⑴(2)2、⑴

例3.判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：

(1),J(-4)x(-9)=(2)

725=4x^x5/25=4^x725=4712=873

知识方法本节课应掌握：（1）\[a-=（«>0,色0）,\[ab=\[a-亚

小结

（6/>0,b沙）及其运用.

1.课本P9习题22.21（1）（2）2、（1）（2）（3）

2.选用课时作业设计.

1.若直角三角形两条直角边的边长分别为尼C”和

那么此直角三角形斜边长是（）.

A.3yHemB.3V3cmC.9cmD.27cm

作业布置

2.化简ajll的结果是（）.A.J二B.yJaC.~

yj—aD.一\[a

3.等式Jx+lW无-1=，/一1成立的条件是（）4.忘1B.x>

-1C.-1<X<1D.x>l或x<-l4.下列各等式成立的是

（）.A.4V5x2V5=8x/5B.573x472=2075

C.45/3X3V2=7A/5D.5VJx472=2076

4.71014=______.5.自由落体的公式为S=；g/（g为重力加速

度，它的值为10//2/52）,若物体下落的高度为720m,则下落的时间

是_________.

6.一个底面为30cmx30cm长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水

例入一个底面为正方形、高为10c巾铁桶中，当铁桶装满水时，容器

中的水面下降了20cm,铁桶的底面边长是多少厘米？

7,计算.⑴,36x256（2加7（3）^V12aC3>/3^（4）2而口；扪

板书设计导学反思

1、本节亮点：

(1)4a-4b=y[ab=(a>0,

2、待改进处：

/?>0),\fab=\/a•\[b(应0,

feO);例1;例2;例3

第五课时21.2.2二次根式的乘法（2）

导

课题二次根式的乘法（2）主备雁江二中数学组

者

课型新授课使用时间

课标要求二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质.

会利用二次根式的除法法则进行二次根式的除法运算，会运用商的算术

知识目标

平方根的性质化简二次根式.

导学目标能力目标经历探索二次根式除法以及商的算术平方根的过程，掌握其应用方法.

培养学生分析问题和逆向思维的能力，体会合作交流的乐趣，感悟数学白

情感目标

应用价值.

重点：理解经=聆（生°，/7>0））聆=%（介O'b>0）及利用它们进行计算和

导学

重难点化简.

难点：二次根式的除法法则以及商的算术平方根性质的关系及应用.

导法由特殊到一般，通过类比、归纳，结合练习，条理分明.

学法学生探究独立学习与小组合作相结合

导学准备多媒体课件.

导学环节导学过程个性设计

创设问题

请同学们完成下列各题.1.填空：

情景

7100(100

V36

用或“="填空.n

京

并

算

算

利用il器计

及2

学生自主⑵

国

-V2一

学习空.（1）3

75垂

正-⑷

50

卡-

（3）6

中找寻其中的规律.

引入法则：二次根式除法法则器=聆（a20,b>0）

教师说明：同学们应该注意a>0,b>0这个条件，若没有这个条

件，上述法则是不能成立，因为a<0,b<0时，虽然♦有意义，

但啜

都无意义了,和乘法法则不同的是，这里的b是不可以取

0的，这是因为，分母不能为0.一般地，对二次根式的除法规定:

a,、ayJa、

一(aK),力>0)t反过来，厂存3z。，b>0)

b

师生合作

探究例1.计算：（1）贷⑷华

册

fTJ3J3164/J64bz_8b

解：⑴,(2),

=V64=屈~3a

巩固练习教材P9练习1.(3)(4)2.(2)

lx2-5x+4

例3.已知、0-_、且X为偶数，求（1+x）,

Vx-6、Vx2-l

的值.

本节课要掌握*=J|(«>0,z»o)和，|=亨(«>0,b>0)及

知识方法

小结

其运用.

1.教材B习题22.21.(3)(4)2.(4)2.选用课时作业设计.

1.计算出+6+，1的结果是().

A.-y/5B.-C.y/2D.—

777

2.阅读下列运算过程：3=户「二皂,

V3V3xV33

之=3==毡数学上将这种把分母的根号去掉的过程称

V5V5xV55

2

作“分母有理化”，那么，化简笈的结果是().4.2B.6

C.-V6D.V6

3

作业布置

3.分母有理化:(1)」=•=____；(2)-i==;(3)1"=.

3V2V122V5

4.已知x=3,)=4,z=5,那么JE+ja的最后结果是______.

5.等式匚1二=、叁成立的条件是()A.a20

Va+2J〃+2

B.a>-2.aW-2D.^0

a+2

6.计算•⑴笔⑵卮，耳⑶卑(4)4^=

\J2x53y]xy2j〃+2

(5)2L叵・(-11—)^-1-^-(m>0,n>0)(6)—3M-3»2

mV2m3\2miV2/

(2l^+E)x(a>0)

2\a2vm-n

板书设计导学反思

余《(⑼,.)和、_4a1、本节亮点：

by/b2、待改进处：

(«>0,b>0);例1;例2;例3

第六课时21.2.3二次根式的乘法(3)最简二次根式

导

课题最简二次根式主备雁江二中数学组

者

课型复习课使用时间

课标要求最简二次根式的概念及利用最简二次根式的概念进行二次根式的化简运算.

知识目标理解最简二次根式的概念，并且会运用它进行二次根式的化简.

经历计算或化简的过程，提炼出最简二次根式的概念，学会检验最简二

能力目标

导学目标次根式的方法.

培养学生严谨的数学思想，合作交流的意识，体会数学在实际生活中的

情感目标

应用价值.

导学重点：掌握化简一个二次根式成最简二次根式的方法.

重难点难点：判断二次根式是否是最简二次根式.

导法自主探究的方式完成本节课的学习

学法学生探究独立学习与小组合作相结合

导学准备多媒体课件.

导学环节导学过程个性设计

请同学们完成下列各题1.计算(1)里，(2)整，(3)柢

创设问题V5V2741a

情景

2.现在我们来看本章引言中的问题：如果两个电视塔的高分别是

h\km,h2km,那么它们的传播半径的比是_________.

观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有

如下两个特点：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得

学生自主尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最

学习简二次根式.那么上题中的比是否是最简二次根式呢？如果不

是，把它们化成最简二次根式.

学生分组讨论，推荐3〜4个人到黑板上板书.

例1.化简：⑴3后；Q)y)x2y4+x4y2;(3)^x2y3

例2.如图，在Rf/MBC中，ZC=90°,AC=2.5cm,BC=6cm,求AB

师生合作

的长.

探究

解：因为AB^ACf+BC2所以

AB=V2.52+62=J(*)2+36==12=6.5(cm)

巩固练习教材尸9练习3

例3.观察下列各式，通过分母有理数，把不是最简二次根式的化成

最简二次根式：

]=lx(V2-l)_V2-1=&_1

V2+1(V2+1)(72-1)-2-1

1一以(6-1)_也-6=m闩种市

[―/—{—/—(―1——73>/2,3J理可

V3+V2(V3+V2)(V3-V2)3-2

得：•尸1一下="一百，……从计算结果中找出规律，并利

V4+V3

用这一规律计算

(]+]+[+])

V2+1V3+V2V4+V3V2002+V2001

(V2002+1)的值.

将一个二次根式化简成最简二次根式只有以下两种情况：(1)

如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根

知识方法

的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.(2)如果

小结

被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开得

尽方的因式或因数开出来，从而将式子化简.

1.教材B习题22.2第3题2.选用课时作业设计.

1.如果#(y>°)是二次根式，那么，化为最简二次根式是().

A.(y>0)B.yjxy(_y>0)C.''(y>0)D.以

上都不对

2.把(a—1)J中根号外的(a—1)移入根号内得().

Va-\

作业布置

A.—\B.V1~ciC.—Ja-1D.—>/l—ci

3.在下列各式中，化简正确的是()

A.=3y/15B.=±；V2C.yIa4b=a2\[b

D.yjx3—X2=xyjX-\

..小-3V2mR/、yfi2

4.化间।—的结果是()A.B.1―

y/273V3

C.-逅D.-V2

3

5.化筒)/+尤2卜2=________.(后0).1±2化简二次根式

Va

号后的结果是_________.

6.已知。为实数，化简：归-ap,阅读下面的解答过程，

请判断是否正确？若不正确，请写出正确的解答过程：解：

J—/—aI—ayJ-a-a-J—a=(a—1)《一a

+

7.若x、y为实数，且尸心~4+"——-.求“+yW%-y

x+2

的值.

板书设计导学反思

最简二次根式1、本节亮点：

1.被开方数不含分母；2.被开方数2、待