最优控制问题求解方法综述

最优控制问题求解方法综述摘要：主要阐述了关于最优控制问题的基本概念，最优控制理论是研究和解决从一切可能的控制方案中寻找最优解的一门学科，解决最优控制问题的主要方法有变分法、极小值原理和动态规划法。本文着重讲解各种方法的特点，适用范围，可求解问题的种类以及各方法之间的联系等。关键词：最优化；最优控制；极值正文：最优控制是系统设计的一种方法，是现代控制理论的核心之一，是从大量实际问题中提炼出来的。它尤其与航空航天的制导、导航和控制技术密不可分。最优控制理论所研究的问题可以概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标最优。这类问题广泛存在于技术领域或社会问题中。例如，确定一个最优控制方式使空间飞行器由一个轨道转换到另一轨道过程中燃料消耗最少，选择一个温度的调节规律和相应的原料配比使化工反应过程的产量最多，制定一项最合理的人口政策使人口发展过程中的老化指数、抚养指数和劳动力指数为最优等，都是一些经典的最优控制问题。常用的最优化求解方法有变分法、极小值原理以及动态规划法等。与解析法相比，用最优控制理论设计系统有如下的特点：（1） 适用于多变量、非线性、时变系统的设计。（2） 初始条件可以任意。（3） 可以满足多个目标函数的要求，并可用于多个约束的情况。1变分法变分法是求解泛函极值的一种经典方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。掌握变分法的基本原理，还有助于理解以最小值原理和动态规划等最优控制理论的思想和内容。但是，变分法作为一种古典的求解最优控制的方法，只有当控制向量u（t）不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。2最小值原理最小值原理是由庞德亚金提出来的，它对于解决受约束的最优控制问题是很有效的。当u（t）不受约束时，可以用变分法成功地解决最优控制的求解问题。实际上，u（t）一般都是有约束的。当要求u（t）在一个m维的密闭集中取值时，变分法就不再适用了。这如同要求闭区间上连续可微函数的极值一样，令其倒数为零，求解时可能无解，但这不是真正意义上的无解，而是解可能出现在边界上。例如，y=kx在闭区间上存在最大值与最小值，但令v=k=0，得不到有关最值的任何信息，问题是最值出现在边界上。与此类似，用变分法求解带有约束的最优控制，有时也是行不通的，因为最优控制往往要求在闭集的边界上取值。极小值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。虽然最小值原理为解决带有闭集约束的最优控制问题提供了有效的方法，但遗憾的是它只是一个必要条件。3动态规划动态规划又称为多级决策理论，是贝尔曼提出的一种非线性规划方法。动态规划的核心是贝尔曼的最优性原理，它将一个多级决策问题化为一系列单极决策问题，从最后一级状态开始到初始状态为止，逆向递推求解最优决策。动态规划法原理简明，适用于计算机求解，在许多理论问题的研究中，都应用到动态规划的思路。动态规划是求解最优化问题的重要方法，在应用动态规划时，有一个前提条件是系统的状态变量必须满足“无后效性”。所谓无后效性的概念是：在任一时刻\，系统状态为x（七），以后的状态仅决定于x（1）以及x（七）到达终点时刻‘1的状态X（‘1）的控制策略，而与以前的状态和以前的控制策略无关。因此，在应用动态规划方法时，要注意状态变量的选取，使之满足“无后效性”的条件。例如，讨论物体在空间运动时，不仅选用物体的空间位置座位状态变量，而且要将速度变量也包括在状态变量之内，以便满足“无后效性”的条件。动态规划法的局限性还表现在所谓的“维数灾难”问题：当状态变量的维数增加，要求计算机内存成指数倍增长，计算工作量也大大增加。此外，求解连续决策过程采用的动态规划法得到的哈密顿唯克比方程是偏微分方程，求解X（匕）也是相当困难的。动态规划虽然提供的是充分条件，但是，由于连续型系统的哈密顿-雅克比方程难于求解而不能满足实际需要。4三种方法之间的相互关系动态规划法、极小值原理和变分法，都是求解最优控制问题的重要方法。由动态规划的哈密顿-雅克比方程，可以推得变分法中的欧拉方程和横截条件：也可以推得极小值原理的必要条件。变分法对解决开集约束的最优控制问题十分有效，但对于处理闭集性约束就无能为力了。变分法与极小值原理都可以解微分方程所描述的变分问题作为目标，结果得出了一组常微分方程所表示的必要条件。这三种方法要求的条件不同，其中属动态规划要求最高。在所要求的条件都满足的情况下，使用这三种方法所得结论相同。随着社会科技的不断进步，最优控制理的应用领域十分广泛，如时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题和伺服机构问题等。但它在理论上还有不完善的地方，其中两个重要的问题就是优化算法中的鲁棒性问题和最优化算法的简化和实用性问题。大体上说，在最优化理论研究和应用方面应加强的课题主要有：（1）适合于解决工程上普遍问题的稳定性最优化方法的研究；（2）智能最优化方法、最优模糊控制器设计的研究；（3）简单实用的优化集成芯片及最优化控制器的开发和推广利用；（4）复杂系统、模糊动态模型的辩识与优化方法的研究；（5）最优化算法的改进。相信随着对这些问题的研究和探索的不断深入，最优控制技术将越来越成熟和实用，它也将给人们带来不可限量的影响。参考文献胡寿松-最优控制理论与系统[M].（第二版）北京：科学出版社，2005.张莲-现代控制理论.北京：清华大学出版社，2008.1于长官-现代控制理论及应用.哈尔冰工业大学出版社，2005.1舒欣梅-现代控制理论基础.