对勾函数详细分析

对勾函数的性质及应用一、对勾函数yaxb(a0,b0)的图像与性质：xbf(x)在x=b时，取最小值2ab且仅当x取等号），即 a a由奇函数性质知：当x<0时，f(x)在x=b时，取最大值2abaab5.单调性：增区间为（,），（,b）,减区间是（0，b），（b,0）a a aab1.定义域：)1.定义域：),0()0,(2.值域：),2[]2,(abab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即0)()(xfxf4.图像在一、三象限,当0x时，byaxxab2（当类型一：函数byaxx)0,0(ba的图像与性质1.定义域：),0()0,(2.值域：),2[]2,(abab3.奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状.4.图像在二、四象限,当x<0时，)(xf在x=ab时，取最小值ab2；当0x时，)(xf在x=ab时，取最大值ab25.单调性：增区间为（0，ab），（ab,0）减区间是（,ab），（ab,）,①0,0ba作图如下1.定义域：),0()0,(2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：增区间为（-，0），（0，+）.二、对勾函数的变形形式b(ab0)类型二：斜勾函数yaxx类型三：函数f(x)ax2bxc(ac0)。x此类函数可变形为f(x)axcb，可由对勾函数yaxc上下平移得到x xx2x1练习1.函数f(x)的对称中心为 x a类型四：函数f(x)x(a0,k0)xk a a此类函数可变形为f(x)(xk)k，则f(x)可由对勾函数yx左右平移，上下平移得到xk x1 x3 的草图练习1.作函数f(x)x与f(x)x x2 x2 1 (2,)上的最低点坐标2.求函数f(x)x在2x4x3.求函数f(x)x的单调区间及对称中心x1时，)(时，)(xf在x=b时，取最小值ba25.单调性：减区间为（,b），（b,）；增区间是],[bb②0,0ba作图如下：1.定义域：),0()0,(2.值域：R3.奇偶性：奇函数4.图像在二、四象限，无最大值也无最小值.5.单调性：减区间为（-，0），（0，+）.ax R，且可变形为f(x)a a 类型五：函数f(x)(a0,b0)。此类函数定义域为x2b x2bbxx xa.若a0，图像如下：11．定义域：(,)2.值域：[a,a]b 2b3.奇偶性：奇函数.4.图像在一、三象限.当x0时，f(x)在xb时，取最大值a，当x<0bb2xf(x)练习1.函数 x21的在区间2,上的值域为2x1,2，则的取值范围是练习1.如a1x x24 类型六：函数f(x)ax2bxc(a0).可变形为f(x)a(xm)2s(xm)ta(xm)ts(at0)，xm xm xmt则f(x)可由对勾函数yax左右平移，上下平移得到x x2x1 1b.若0a，作出函数图像：1．定义域：),(b.若0a，作出函数图像：1．定义域：),(2.值域：]21,21[baba3.奇偶性：奇函数.4.图像在一、三象限.当0x时，)(xf在bx时，取最小值ba2，当x<0时，)(xf在x=b时，取最大值ba2.5单调性：增区间为（,b），（b,）；减区间是],[bb（填“上”、“下”）平移单位.2.已知x1，求函数f(x)x27x10的最小值；x13.已知x1，求函数f(x)x29x9的最大值x1类型七：函数f(x)xm(a0)ax2bxcx1练习1.求函数f(x)在区间(1,)上的最大值；若区间改为[4,)则f(x)的最大值为x2x2 2.求函数f(x)x22x3在区间[0,)上的最大值x2x2类型八：函数f(x)xb.此类函数可变形为标准形式：f(x)xabaxaba(ba0)xa xa xa练习1.求函数f(x)x3的最小值；x12．求函数f(x)x5的值域；x13.求函数f(x)x2的值域x3类型九：函数f(x)x2b(a0)。此类函数可变形为标准形式：f(x)(x2a)2bax2aba(bao)x2a x2a x2ax25练习1.求函数f(x)的最小值；x24x212.求函数f(x)的值域x217三、关于求函数yx1x0最小值的十种解法x1.均值不等式 1 1x0，yx2，当且仅当x，即x1的时候不等式取到“=”。当x1的时候，x xy2min法 1 yxx2yx10x若y的最小值存在，则y240必需存在，即y2或y2（舍）找到使y2时，存在相应的x即可。通过观察当x1的时候，y2min单调性定义设0x1x2fx1fx2x1x2112x1x21x11x2x1x2x1xx1x221 xx 1当对于任意的x,x，只有x,x0,1时，fxfx0，此时fx单调递增； 1 2 1 2 1 2当对于任意的x,x，只有x,x1,时，fxfx0，此时fx单调递减。 1 2 1 2 1 2当x1取到最小值，yf12min复合函数的单调性 1 12yxx2xxtx1在0,单调递增，yt22在,0单调递减；在0,单调递增x又x0,1t,0x1,t0,原函数在0,1上单调递减；在1,上单调递增即当x1取到最小值，yf12min求一阶导 1 1当x0,1时，y'0，函数单调递减；当x1,时，y'0，函yxy'1x x2数单调递增。当x1取到最小值，yf12min三角代换令xtan，0,，则1cot 2 xyx1xtancotsin220,220, sin21，y2，显然此时x1当，即2时， 4 2 max min的投影，显然当ab时，acos取得最小值。此时，x1，y222minxxxxy11，即y表示函数xy和xy1两者之间的距离求miny，即为求两曲线竖直距离的最小值平移直线xy，显然当xy与xy1相切时，两曲线竖直距离最小。xy1关于直线xy轴对称，若xy与xy1在1x处有一交点，根据对称性，依据直角三角形射影定理，设x1，则x1显然，xx1为菱形的一条边，只用当ADAB，即AD为直线AB和CD之间的距离时，xx1取得最小值。即四边形ABCD为矩形。此时，xx1，即1x，2y1在0x1处也必有一个交点，即此时yx与y相交。显然不是距离最小的情x况。所以，切点一定为1,1点。此时，x1，y2min9.平面几何 AEx,EB ABADxmin10.对应法则设fxtfx2x21 min x2x0,，x20,，对应法则也相同fx2 tminfxx1f2xx212x x2左边的最小值右边的最小值t2t2t1（舍）或t2当xPx2，即x1时取到最小值，且y2min对勾函数练习： 1 t t20,2上恒成立，则a的取值范围是1．若x>1.求yx 的最小值.11.若a 在t x1 t29 t2 x22x2 xx116xx1的最值。若x>1.求y的最小值12.求函数f x1 xx21 x2x1 2x若x>1.求y的最小值13.当x(0，1)时，求f(x) 的值域x1 4x1 2 1若x>0.求y3x的最小值14.求f(x)x2x 的值域x x2x3x22xa5.已知函数y(x[1,))x1（1）求a时，求f(x)的最小值2(2)若对任意x∈[1,+∞],f(x)>0恒成立,求a范围6.:方程sin2x－asinx+4=0在