数学物理方法综合试题及答案

复变函数与积分变换综合试题（一）一、单项选择题(本大题共10小题，每题2分，共20分)在每题列出的四个备选项中只有一个是切合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1．设zcosi，则（）A．Imz0B．RezC．z0D．argz2．复数z3(cos,isin)的三角表示式为（）55A．3(cos4,isin4)B．3(cos4,-isin4)C．3(cos4,isin4)555555D．3(cos445,-isin)53．设C为正向圆周|z|=1，则积分dz等于（）c|z|A．0B．2πiC．2πD．－2π4．设函数fzzed，则fz等于（）0A．zezez1B．zezez1C．zezez1D．zezez1解答：5．z1是函数cotz的（）(z1)4A．3阶极点B．4阶极点C．5阶极点D．6阶极点6．以下映照中，把角形域0argz保角映照成单位圆内部|w|<1的为（）4A．wz41z4-1C．wz4iz4iz41B．w1z4iD．wiz4z47.线性变换izzi[eiza](）zizizaA.将上半平面Imz>0映照为上半平面Imω>0B.将上半平面Imz>0映照为单位圆|ω|<1C.将单位圆|z|<1映照为上半平面Imω>0D.将单位圆|z|<1映照为单位圆|ω|<18.若fzu(x,y)iv(x,y)在Z平面上分析，v(x,y)ex(ycosyxsiny)，则uxy(,)=（）A.ey(ycosyxsiny))B.ex(xcosyxsiny)C.x(ycosyysiny)D.ex(xcosyysin)eyvex(ycosyxsiny)exsinyxvex(cosyysinyxcosy)yuzxexcosyexcosyexeiy

vvviyixxysinyxcosyiycosyixsinyisinyisinyxcosyixsinyiycosyysinyxeiyiyeiyez(1z)zzezezzez1zezwzezxiyexiyexxiycosyisinyexxcosyysinyixsinyycosyuivuxxcosyysinye9.fz1在0z21的罗朗睁开式是（）(z2)(z1)A.(1)nznB.1znC.(z2)nD.(1)n(z2)n1n0(z2)n0n0n010.3zcosz2dz=（）0A.1sin9B.1cos9C.cos9D.sin922二、填空题(本大题共6小题，每题2分，共12分)请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。11．方程Lnzi的解为_________________________。312．幂极数n!n的收敛半径为________________________。nnzn113．设z(1i)100，则Imz＝______________________。14．设C为正向圆周|z|=1，则(1z)dz=___________________________。zsin15．设C为正向圆周2，f(z)3d，此中z2，则c-z'(1)=___________________。16．函数fz1[11115]在点z=0处的留数为__________________。zz(z1)三、计算题(本大题共8小题，共52分)17.计算积分Iez2dz的值，此中C为正向圆周|z-1|=3。c(z-i)2(z3i)函数f(z)(z1)n1(n为正整数)在哪处求导？并求其导数19.求ux22xy-y2的共轭调解函数v(x,y)，并使v(0,0)＝1.20.计算积分Izzdz的值，此中C为正向圆周|z|=2.c|z|21.试求函数f(z)=ze-2d在点z=0处的泰勒级数，并指出其收敛地区.01z22.求出f(z)ez在全部孤立奇点处的留数.23.求级数(1)n1nzn的和函数.n124.函数6sinz3z3(z66)在z0点为零，用级数睁开法指出该零点的级.四、综合题(以下3个小题中，第25题必做，第26、27题中只选做一题。每题8分，共16分)25．利用留数求积分I＝cosxdx的值042x10x926．设Z平面上的地区为D：|zi|2,|z-i|2，试求以下保角映照（1）w1f1(z)把D映照成W1平面上的角形域D1：＜argw13；44(2)w1f2(w1)把D1映照成W2平面上的第一象限D2：0＜argw2;2（3）wf3(w2)把D2映照成W平面的上半平面：Imw>0;（4）wf(z)把D映照成G。y''2y'y127．利用拉氏变换解常微分方程初值问题：0,y'(0)1y(0)综合试题（一）答案一、1.A2.C3.A4.D5.C6.C7.B8.D9.D10.A1(1i二、11．zi3),或e312．e13．0214．4πi153．i,或2icos16．6333三、17．解：因在C内f(z)ez有二阶级点z=I，因此(z-i)2(z3i)22ilimd2f(z)2ilimez2ez(-12i)cf(z)dz(z-i)2-31!zidzzi(z3i)(z3i)1618.解：由于n为正整数，因此f(z)在整个z平面上可导.f(z)n(z1)n1.19．解1：u2x2y，u2x-2y，xy由C－R条件，有vx,v-u，yxxyvvdy(2x2y)dy2xyy2(x)。再由xu2y'(x)-2x2y-u，xy得'(x)-2x，于是(x)-x2C，v2xyy2-x2C。由v(0,0)1,得。C＝1故v2xyy2-x21解2：(x,y)vvv(xy)(0,0)dxydyCx(x,y)(2y-2x)dx(2x2y)dyC(0,0)-x22xyy2C以下同解1。20．解1：zzdz12Rezdz2cos2i(cosisin)dc|z|2c-4i(1cos2)d4i。0解2：zzdz-ii2ieid2e2e2c|z||z|022＝2i(20)4i。21．解：由于f'(z)e-z2(-z2)n(-1)n2n｜)，（2分）n0n!n0n!因此由幂级数在收敛圆内逐项求积性质，得z(-1)nz2n1f(z)f'()d(|z)0n!2n1n0z1，并且在0z22.解：函数f(z)ez有孤立奇点0与式：

内有以下Laurent睁开z1ez1(1z1z21z3)(111111)ezez2!3!z2!z23!z3(111111)12!2!3!3!4!z11故c1z,0]Res[ezk0k!(k1)z11Res[ez,]k0k!(k1)23.解：Cn1limn11limnCnnn故收敛半径R=1,由逐项积分性质，有：z(1)nnzn-1dz(1)nznz01n11zn因此(1)nnzn-1(z)(112,z1n11zz)于是有：(1)n1nznz(1)nnzn1zz1n1n1(1z)2解：f(z)6sinz3z3(z66)6sinz3z96z36(z31z91z15)z96z33!5!故z=0为f(z)的15级零点四、25.解：在上半平面内，f(z)eiz有一阶极点z=i和z=3i。1))(z29)(z2I1(x2cosx1Re(x2eixdx2-1)(x29)dx2-1)(x29)1Refsz(i),i2，21Refs(zi)，,16eiResf(z),3i1-3i，48eI48e3(3e2-1)。26.解：（1）由zi2解得交点z1+1,z2=-1。－i2z设wz1，则它把D映照成W1平面上的43：argw11z1D14i2）设w2e4w1，则它把D1映照成W平面上的第一象限D2：0argw2。22（3）设ww22，则它把D2映照成W平面的上半平面G：Imw>0。-i4z-12z-12（4