名师伴你行人教A版数学必修五学案3二元一次不等式组与平面区域

名师伴你行人教A版数学必修五学案3二元一次不等式组与平面区域第1页/共31页学点一学点二学点三学点四第2页/共31页返回目录

1.我们把含有

个未知数,并且未知数的次数是

的不等式称为二元一次不等式.

2.我们把由几个

组成的不等式组称为二元一次不等式组.

3.二元一次不等式解集的几何意义

（1）已知直线l:Ax+By+C=0,它把坐标平面分为

部分，每个部分叫做

，开半平面与l的并集叫做闭半平面.两1二元一次不等式两开半平面第3页/共31页返回目录不等式表示的区域或不等式的图象

（2）以不等式解（x,y）为坐标的所有点构成的集合，叫做

.

4.直线l:Ax+By+C=0把坐标平面内不在直线l上的点分为两部分，直线l的同一侧的点的坐标使式子Ax+By+C的值具有

的符号，并且两侧的点的坐标使Ax+By+C的值的符号

，一侧都大于0，另一侧都小于0.相同相反第4页/共31页返回目录学点一二元一次不等式表示的平面区域分别画出下列不等式表示的平面区域.（1）3x-4y+12>0；（2）4x+3y≤0.【分析】先在平面直角坐标系中作出二元一次不等式对应的直线，然后取特殊点，判断不等式所表示的平面区域.【解析】（1）先画出直线3x-4y+12=0(画成虚线).取原点(0,0)，并代入3x-4y+12,得12>0.

∴原点在3x-4y+12>0所表示的平面区域内.第5页/共31页返回目录

故不等式3x-4y+12>0表示的平面区域如图3-3-2中甲所示.

（2）先画出直线4x+3y=0（画成实线）.

取点(1,0)，并代入4x+3y,得4>0.

∴点(1,0)在4x+3y>0所表示的平面区域内.

故不等式4x+3y≤0表示的平面区域如图3-3-2中乙所示.图3-3-2第6页/共31页返回目录

【评析】在画二元一次不等式表示的平面区域时，应用“直线定界，点定域”的方法来画平面区域.即先作直线Ax+By+C=0，再在它将平面分成的两个区域中任一个区域内选取一个点的坐标，将它代入Ax+By+C,确定它的符号，从而确定二元一次不等式所表示的区域.在取点时,若直线不过原点，一般用“原点定域”,这样做能简化运算过程.画直线时线的虚实要分清.第7页/共31页返回目录解：（1）先画出直线2x+y-10=0（画成虚线），取点(0,0),代入2x+y-10，有2×0+0-10=-10<0,

∴2x+y-10<0表示的区域是直线2x+y-10=0的左下方的平面区域，如图甲阴影部分所示.画出下列不等式表示的平面区域.（1）2x+y-10<0;（2）y≤-2x+3.第8页/共31页

(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0，首先画出2x+y-3=0（画成实线），取点(0,0),代入2x+y-3，有2×0+0-3=-3<0,

∴2x+y-3<0表示的平面区域是直线2x+y-3=0的左下方的平面区域.

∴2x+y-3≤0表示的区域是直线2x+y-3=0以及左下方的平面区域，如图乙阴影部分所示.返回目录第9页/共31页返回目录学点二二元一次不等式组表示的平面区域

【分析】本题的关键在于正确地描绘出边界直线，然后根据给出的不等式，判断出所表示的平面区域.为此必须分别画出每个不等式所表示的平面区域，然后取各平面区域的公共部分.画出下列各不等式组所表示的平面区域.第10页/共31页返回目录

【解析】(1)x-2y≤3,即x-2y-3≤0,表示直线x-2y-3=0上及左上方的区域;

x+y≤3,即x+y-3≤0,表示直线x+y-3=0上及左下方区域;

x≥0表示y轴及其右边区域;

y≥0表示x轴及其上方区域.

综上可知,不等式组(1)表示的区域如图3-3-3所示的阴影部分.图3-3-3图3-3-4第11页/共31页

(2)x-y<2,即x-y-2<0,表示直线x-y-2=0左上方的区域;2x+y≥1,即2x+y-1≥0，表示直线2x+y-1=0上及右上方的区域;

x+y<2表示直线x+y=2下方区域.

综上可知,不等式组(2)表示的区域如图3-3-4所示的阴影部分.

(3)不等式x<3表示直线x=3左侧点的集合；

不等式2y≥x,即x-2y≤0,表示直线x-2y=0上及左上方点的集合；

不等式3x+2y≥6,即3x+2y-6≥0,表示直线3x+2y-6=0上及右上方点的集合；

不等式3y<x+9,即x-3y+9>0,表示直线x-3y+9=0右下方点的集合.返回目录第12页/共31页

综上可得，不等式组表示的平面区域如图3-3-5所示的阴影部分.

【评析】（１）不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示平面区域的公共部分,解决类似本题的问题时，先应对每一个不等式所表示的平面区域作出正确的判断，保证不因某一个不等式所表示的平面区域产生失误，其次应注意所表示的平面区域是否包括了边界.在画这一部分区域时，应分清边界的虚实.

（２）画二元一次不等式表示的平面区域常用的方法是：“直线定界，原点定域”，即先画出对应的直线，再将原点坐标代入直线方程中，看其值比零大还是比零小；不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面点集的交集，是它们平面区域的公共部分.图3-3-5返回目录第13页/共31页返回目录

解:(1)不等式x+y-6≥0表示在直线x+y-6=0上及右上方的点的集合，x-y≥0表示在直线x-y=0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y=3上及其下方的点的集合，x<5表示直线x=5左方的点的集合，∴不等式组画出下列不等式组表示的平面区域.第14页/共31页返回目录

表示的平面区域如图阴影部分所示.(2)如图所示，其中的阴影部分便是不等式组表示的平面区域.x+y-6≥0x-y≥0y≤3x<5第15页/共31页学点三平面区域的综合应用

【分析】先画出不等式组表示的平面区域，即可求出其面积.求不等式组表示的平面区域的面积.x-y+6≥0,x+y≥0,x≤3图3-3-６

【解析】不等式x-y+6≥0表示直线x-y+6=0及右下方的平面区域.x+y≥0表示直线x+y=0及右上方的平面区域.x≤3表示直线x=3及左方的平面区域.所以不等式组

表示的平面区域如图3-3-6所示.因此其区域面积也就是△ABC的面积.x-y+6≥0,x+y≥0,x≤3返回目录第16页/共31页返回目录

显然，△ABC为等腰直角三角形，∠A=90°，

AB=AC，B点坐标为（3，-3）.

由点到直线的距离公式：

故不等式组

表示的平面区域的面积等于36.x-y+6≥0,x+y≥0,x≤3,第17页/共31页返回目录

【评析】解本题时注意到△ABC为等腰直角三角形，点B到直线AC的距离即为△ABC的长|AB|，由点到直线的距离公式

求得|AB|，面积便可求出.第18页/共31页返回目录由y≤2及|x|≤y≤|x|+1围成的几何图形的面积是

.3

解：先作出y=2,y=|x|,y=|x|+1的图象，再作出y≤2,y≥|x|,y≤|x|+1的区域.它们围成两个面积相等的梯形，如图所示，可求出各点坐标为A(-2,2),B(2,2),C(-1,2),D(1,2),E(0,1),∴|CE|=,|AO|=,

可求得CE与AO两直线间距离为,∴,∴所求面积

.第19页/共31页返回目录学点四平面区域的实际应用

【分析】本题考查实际应用题.有粮食和石油两种物资，可用轮船与飞机两种方式运输，每天每艘轮船和每架飞机的运输效果见下表现在要在一天内运输至少2000t粮食和1500t石油，分别用数学关系式和图形表示上述限制条件.轮船运输量/t轮船运输量/t粮食300150石油250100方式效果种类第20页/共31页返回目录

【解析】设需安排x艘轮船和y架飞机，则用图形表示这个限制条件，得如图3-3-7所示的平面区域（阴影部分）.图3-3-7第21页/共31页返回目录【评析】解决这类问题，应先列表分析数据，从而找出量与量之间的关系，设出变量，列出不等式组，再画出平面区域.第22页/共31页返回目录某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1t需耗A种矿石10t，B种矿石5t，煤4t;生产乙种产品1t需耗A种矿石4t，B种矿石4t，煤9t.每1t甲种产品的利润是600元，每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300t，B种矿石不超过200t，煤不超过360t，请列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域.

解：从已知条件建立数学模型，即列出不等式组.

将已知数据列成下表：第23页/共31页返回目录甲产品（1t）乙产品(1t)资源限额（t）A种矿石(t)104300B种矿石(t)54200煤(t)49360利润(元)6001000消耗量产品资源设生产甲、乙两种产品分别为xt,yt,利润总额为z元,那么第24页/共31页

10x+4y≤300，

5x+4y≤200，

4x+9y≤360，

x≥0,

y≥0，

z=600x+1000y,

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图所示的阴影部分）.返回目录第25页/共31页返回目录

1.如何理解二元一次不等式表示的平面区域？一般地，二元一次不等式Ax+By+C>0所表示的平面区域为在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0的某一侧所有点组成的平面区域，我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线，当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线.因为对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，实数Ax+By+C的符号相同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0)，根据Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点.第26页/共31页

2.用二元一次不等式组表示平面区域的方法是怎样的？（1）解决此类问题时，应先对每一个不等式所表示的平面区域作出正确的判断，保证不因某一个不等式所表示的平面区域的错误而产生错误；其次，应注意所表示的平面区域是否包括边界.包括边界时，边界用实线表示，不包括边界时，边界用虚线表示.（2）不等式组所表示的平面区域应是各个不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.（3）若干条直线把坐标平面划分为若干个区域，若返回目录第27页/共31页返回目录某个区域内的一点均在不等式组的每个不等式所表示的区域内，则此区域即为不等式组所表示的区域.（4）画平面区域的步骤是：①画线——画出不等式所对应的方程所表示的直线（如果原不等式中带等号，则画成实线，否则，画成虚线）；②定侧——将某个区域位置明显的特殊点的坐标代入不等式，根据“同侧同号、异侧异号”的规律确定不等式所表示的平面区域在直线的哪一侧；③求“交”——如果平面区域是由不等式组决定的，则在确定了各