有限单元法复习参考题

数，这就增加了求解的复杂性，而且由于试探函数定义于全域，因此不可能根据问题的要求在求解域的不同部位对试探函数提出不同精度的要求，往往由于局部精度的要求使整个问题求解增加许多困难。收敛的条件：①试探函数N,N,...,N应取自完备函数系列， 1 2 n②试探函数N,N,...,N应满足C连续性要求。 1 2 n m1什么是最小位能原理？该原理在有限单元分析中的作用是什么？对场函数的试探函数有什么要求？如此公式所示0，是系统的总位能，它是弹性体变形位能和外力位能之和。该式明，在所区域内连续可导的并在边界上满足给定位移条件的可能位移中，真实位移使系统的总位能取驻值。在所有的可能位移中，真实位移使系统总位能取得最小值，因此0所表达的称为最小位能原理。利用最小位能原理求得位移近似解的弹变形能是精确解变性能的下界，即近似的位移场在总体上偏小，也就是说结构的计算模型显得偏于刚硬。要求：最小位能原理的试探函数-位移，应事先满足几何方程和给定的位移的边界条件。有限单元法中单元的位移模式为什么通常采用多项式作为近似函数？选择广义坐标有限元位移模式的一般原则是什么?因为多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线，多项式的选择应由低次到高次。一般原则：广义坐标是由结点场变量确定的，因此它的个数应与结点自由度数相等。选取多项式时，常数项和坐标的一次项必须完备。多项式的选取应由低阶到高阶，尽量选取完全多项式以提高单元的精度。在有限单元法中，保证有限元解收敛有哪些准则?六节点三角形单元是收敛的单元吗？为什么？完备性要求。如果出现在泛函中的场函数的最高阶导数是m阶，则有限元解收敛的条件之一是单元内场函数的试探函数至少是m次完全多项式。协调性要求。如果出现在泛函中的最高阶导数是m阶，则试探函数在单元交界面上必须具有C连续性，即在相邻单元的交界面上函数应有直至m-1阶的m-1连续导数。不是收敛单元，因为不满足完备性要求和协调性要求。何谓位移元？为什么位移元解具有下限性？请给出力学上的解释。位移元：以位移为基本未知量，并基于最小位能原理建立的有限元称之为位移元。位移元解具有下限性可以解释如下：单元原是连续体的一部分，具有无限多个自由度。在假定了单元的位移函数后，自由度限制为只有以结点位移表示的有限自由度，即位移函数对单元的形变进行了约束和限制，使单元的刚度较实际连续体加强了，因此连续体的整体刚度随之增加，离散后的K~较实际的K为大，因此求得的位移近似解总体上将小于精确解。什么是拉格朗日单元和Serendipity单元？比较这两种单元的各自特点。拉格朗日单元特点：（1）插值函数构造方便；（2）内部结点较多，单元的次数越高相应自由度越高；（3）单元阶次增高，非完全高次项增加。Serendipity单元作用是：不改变精度的条件下，减少内部结点，即对Lagrange单元简化。什么是阶谱单元？如何在有限单元法中采用阶谱单元？相对于通用的标准单元有何好处？阶谱单元：特点：（1）插值函数（阶谱函数）不再具有“0-1特性”。（2）高阶单元的单元特性矩阵可承袭低阶单元的单元特性矩阵。在用于自适应分析中可以节省编程的工作量。10、什么是等参变换？在有限单元法中，等参数单元的主要优点是什么?等参变换是指单元的几何形状和单元内的场函数采用相同数目的结点参数及相同的插值函数进行变换。优点是借助于等参元可以对于一般的任意几何形状的工程问题方便地进行有限元离散。等参元的插值函数是用自然坐标给出的，等参元的一切计算（如单元刚度矩阵、单元载荷列阵等）都是在自然坐标系中规格化的母单元内进行，相关运算大大简化。不管各个积分形式的矩阵的被积函数如何复杂，都可以采用标准化的数值积分方法计算，从而使工程问题的有限元分析纳入了统一的通用化程序。11、等参元计算中数值积分阶次的选择应遵循哪些原则？如何检查所采用的积分方案是否满足所述的原则？1.保证积分的精度。2.保证结构总刚度矩阵k是非奇异的。对于一个给定形式的单元,如果采用精确积分,则插值函数中所有项次在1J=常数的条件下能被精确积分,并能保证刚度矩阵的非奇异性。如果采用减缩积分,因为插值函数中只有完全多项式的项次能被精确积分,因此需要进行刚度矩阵非奇异必要条件的检查。若能通过检查,则可以考虑采用减缩积分方案,以减少计算工作量,并可能对计算结果有所改进。L)x(L/20L/2)x(01)(xQ，边界条件为：0)0(；10Lxdxd。假设近似函数为332210)(xaxaxaax，试用配点法，子域法和伽辽金法求解。3、某问题的微分方程是in02222Qcyx，边界条件为21nnoqno，其中，c和Q仅是坐标的函数，证明此方程的微分算子是自伴随的，并建立相应的自然变分原理。4、弹性薄板的控制方程为：Dqywyxwxw44224442，建立周边固支时的自然变分原理。5、如有一问题的泛函为LdxqwkwdxwdEIw02222]2)(2[)(，其中，kIE,,是常数，q是给定函数，w是未知函数，试导出原问题的微分方程和边界条件。6、考虑如图1所示悬臂梁，设其跨长为l，抗弯刚度为EI，在梁的中部2lx及端点lx处受集中荷载P作用。（1）若用Ritz（里兹）法计算粱的挠度曲线方程，试问：是否可取如下表达式?)cos1(lxaw，其中，a为待定常数。（2）若是可以，试利用最小位能原理求出相应的挠度曲线方程。图17、证明三节点三角形单元的形状函数满足jijiyxNijjji,0,1),(，及1mjiNNN8、设有一弹性平面问题，厚度为8、设有一弹性平面问题，厚度为t，弹性模量为E，泊松比0，对于如图2所示的三节点三角形单元，试计算其单元刚度矩阵。图29、对如图3所示四边形单元，试计算其单元刚度矩阵，写出其基本思路即可。图310、试用“试凑法”构造图4各节点形函数，要求写出详细的计算过程。图图411、利用构造变结点数单元插值函数的方法，构造如图5所示8结点单元的插值函数。图512、（1）图6所示为二次四边形单元，试计算xN/1和yN/2在自然坐标为)2/1,2/1(的点Q的数值（因为单元的边是直线，可用4个结点定义单元的几何形状）。（（2）图7所示为二次三角形单元，试计算xN/4和yN/4在点)0.2,5.1(P的数值。图6图713、对如13、对如图8所示的四边形单元（见左图）（1）写出将该单元变换到一边长为2的正方形单元（见右图）的坐标变换。（2）计算该单元的雅可比（Jacobi）矩阵。要求写出详细计算过程。图814、有一个三角形单元，受有如图9所示的分布载荷，试计算该单元的等效节点载荷列阵。要求写出详细的计算过程。图9图1015、图10为一给定的六节点三角形单元，在jm边上作用有线性分布的面载荷（x方向），假设单元厚度为t，试用两种不同的方法求单元等效节点载荷列阵。要求写出详细的计算过程。16、16、图11为一边长为2的八节点正方形单元，它的边界平行于整体坐标轴，在边152上受有均布表面荷载，0PPy，假设单元厚度为t，试求单元等效节点载荷。要求写出详细的计算过程。图1117、考虑如图12所示受均布载荷作用的悬臂梁，将其剖分成两个单元，单元和节点编号如图所示，设节点位移和节点力分别为T),(jjv和T),(jjMF，3,2,1j，已知平面梁单元单元刚度矩阵为2222346266126122646612612][lllllllllllllEIeK，其中，l为长度，EI为抗弯刚度，试求节点2和节点3的位移值，要求写出详细计算过程。图12 1 0 0 0 1 000.50.500.50.5Et00.50.500.50.5K1K2 20 0 0 1 0 110.50.501.50.5 00.50.510.51.5得到总体刚度矩阵 1.5 0 1 00 1.50.50.510.51.50.5Et0 0.50.51.5K20.50 0 0 0.51 0 00 0.50.50.5 0.5 0 0 1几何边界条件：u2=u3=u4=v2=v3=v40PP总体载荷列阵： 1y0.50.51 10 000.50.51.51.50 00.50.500.50.50.5101.500.50010.50.501.5求结点位移0Et1.50u0uvEt14P201.5·v1P1 1 1 3求应力 b 0SEt10i1ci（i,j,m）icb2i2iSSiSjSm对于单元①，i=4,j=1,m=3, 10 001S1Et00 01 000.50.500.5 1 10 001