第二讲随机变量基础演示文稿

第二讲随机变量基础演示文稿当前1页，总共50页。优选第二讲随机变量基础当前2页，总共50页。投掷骰子出现1点{1，2，3，4，5，6}投掷骰子出现偶数点样本空间随机事件基本事件当前3页，总共50页。关于样本空间的注释：DiscreteSampleSpace:Tossadie:S={1,2,3,4,5,6}连续的样本空间:由多次子试验构成的样本空间:－－看下例Tossacoin：S={Head,Tail}={H,T}当前4页，总共50页。IFwetossacointhreetimesandletthetripletxyzdenotetheoutcome“xonthefirsttoss,yonthesecondtoss,zonthethirdtoss”,thenthesamplespaceoftheexperimentisS={HHH,HHT,HTH,HTT,THH,THT,TTH,TTT}Theevent“oneheadandtwotails”isdefinedby

E={HTT,THT,TTH}当前5页，总共50页。由多次子试验构成的样本空间可数无穷的样本空间S=S1S1…={HH…,HT…,TH…,TT…,…}S1={H,T}当前6页，总共50页。利用频率估计概率n次重复试验中，事件A发生的次数为nA，比值称为事件A发生的频率。频率反映了事件A发生的频繁程度，若事件A发生的可能性大，那么相应的频率也大，反之则较小。概率当前7页，总共50页。计算机模拟：投掷一枚均匀硬币，模拟计算出现正面的概率。number=0;fori=1:N%setupsimulationfor4cointosesifrand(1,1)<0.5%tosscoinwithp=0.5x(i,1)=1;%headelsex(i,1)=0;%tailendnumber=number+x(i,1);%countnumberofheadsendP=number/N;当前8页，总共50页。1.2随机变量的定义(Definitionofarandomvariable)设随机试验E的样本空间为S={e}，如果对于每一个eS，有一个实数X(e)与之对应，这样就得到一个定义在S上的单值函数X(e)，称X(e)为随机变量，简记为X。随机变量是定义在样本空间S上的单值函数1.定义当前9页，总共50页。Interpretationofrandomvariable:S●●eReallineRandomvariableisafunctionthatassignsanumericalvaluetotheoutcomeoftheexperiment.当前10页，总共50页。AcointossS●●e1Realline1●0●e2Mappingoftheoutcomeofacointossintothesetofrealnumber当前11页，总共50页。Adiscreterandomvariableisarandomvariablethatcanbetakeonatmostacountablenumberofpossiblevalues根据随机变量取值的不同可以分为：连续型随机变量(Continuousrandomvariable)

离散型随机变量(Discreterandomvariable)当前12页，总共50页。2.概率分布列Xx1x2...xnpkp1p2...pnProbabilitymassfunction(PMF)当前13页，总共50页。(0,1)分布指示型随机变量随机变量的可能取值为0和1两个值，PMF为PMF:01当前14页，总共50页。(0,1)分布的随机变量；指示型随机变量；贝努里随机变量；当前15页，总共50页。BernoullirandomvariableLetAbeaneventofinterestinsomeexperiment,e.g.,adeviceisnotdefective.Wesaythata“success”occursifAoccurswhenweperformtheexperiment.BernoullirandomvariableIAisequalto1ifAoccursandzerootherwise.当前16页，总共50页。例：信息传输问题（MessageTransmissions）LetXbethenumberoftimesneedstobetransmitteduntilitarriverscorrectlyatitsdestination.FindtheprobabilitythatXisanaevennumber.XisadiscreterandomvariabletakingonvaluesfromS={1,2,3,….}当前17页，总共50页。Theevent{X=k}occursifk-1consecutiveerroneoustransmissions(failures)followedbyaerror-freeone(success)Xiscalledthegeometricrandomvariable当前18页，总共50页。Example:Transmissionerrorinabinarycommunicationschannel.LetXbethenumberoferrorsinnindependenttransmissions.FindthePMFofx.Findtheprobabilityofoneorfewererrors01011-1-当前19页，总共50页。Xtakesonvaluesintheset{0,1,…,n}Ifthereisnoerror,eachtransmissionresultsina‘0’Ifthereisanerror,eachtransmissionresultsina‘1’TheprobabilityofkerrorsinnbitstransmissionsisgivenasfollowsWecallXthebinomialrandomvariable当前20页，总共50页。当前21页，总共50页。贝努里试验随机试验只有两种结果。产品合格或不合格元件没有失效或失效信息发送成功或失败打靶命中或脱靶目标检测或漏检当前22页，总共50页。贝努里序列（BernoulliSequence）N次连续的独立的贝努里试验称为贝努里序列ConsecutiveindependentBernoullitrialscompriseaBernoullisequence.贝努里试验----N重贝努里试验(0,1)分布------二项式分布信息传输当前23页，总共50页。泊松分布(Poissondistribution)当前24页，总共50页。1.3分布函数和概率密度函数ProbabilityDensityFunction,（PDF）

DistributionFunctionorCumulativeDistributionFunction,(CDF)1.定义当前25页，总共50页。2.分布函数的性质（PropertiesoftheCDF）分布函数是右连续的不减函数，在负无穷处为零，正无穷处为1。对于连续型随机变量，取某一特定值的概率是为零的。即P{X=x}=0当前26页，总共50页。对于离散型随机变量，分布函数为阶梯函数。○当前27页，总共50页。概率密度当前28页，总共50页。对于离散型随机变量，它的概率密度函数是一串函数之和。当前29页，总共50页。当前30页，总共50页。

CheckYourselfSupposeX=c,WherecisconstantWhichoffollowingiscorrect?A.B.C.D.E.NoneofAbove当前31页，总共50页。

CheckYourselfSupposeX=c,WherecisconstantWhichoffollowingiscorrect?A.B.C.D.E.NoneofAbove当前32页，总共50页。3.常见概率分布正态分布（Normal），也称高斯（Gauss）分布-4-3-2-10123400.10.20.30.40.50.60.70.8N(0,1)正态分布概率密度标准正态分布函数当前33页，总共50页。瑞利分布（Rayleigh）瑞利分布概率密度＝2

02468101200.050.10.150.20.250.30.350.4当前34页，总共50页。指数（Exponential）分布指数分布概率密度0123456700.511.5当前35页，总共50页。指数分布可以用来表示独立随机事件发生的时间间隔，比如，旅客进机场的时间间隔，维基（wikipedia)新条目出现的时间间隔，电话呼叫的时间间隔等，是一个率（Rate)参数。当前36页，总共50页。对数正态分布（LogNormal）高分辨率雷达杂波分布01234567891000.10.20.30.40.5对数正态分布概率密度为尺度参数为形状参数当前37页，总共50页。1.4多维随机变量及其分布

MultipleRandomVariablesandDistributions1.定义S●●e当前38页，总共50页。比如：同时投掷一个1元硬币和一个1角硬币，样本空间为S={HH,TH,TT,HT}。HHTHTTHTxy当前39页，总共50页。2.二维分布函数和概率密度

BivariateCDFandPDF二维分布函数图解定义：性质：参看教材当前40页，总共50页。二维概率密度：当前41页，总共50页。对于二维离散随机变量，定义联合概率质量函数（JoinPMF)当前42页，总共50页。二维概率密度：当前43页，总共50页。3.条件分布(ConditionalDistribution)条件分布函数条件概率密度称随机变量X、Y独立当前44页，总共50页。条件概率质量函数（ConditionalPMF):当前45页，总共50页。以随机事件为条件的概率密度:当前46页，总共50页。几个重要的贝叶斯公式:全概率公式:贝叶斯公式:当前47页，总共50页。概率分布与概率密度的全概率公式:当前48页，总共50页。当前49页，总共50页。Example:CommunicationCh