2023年中考数学复习专题：尺规作图设计

中考数学复习专题--尺规作图设计一、三角形作图（高，角平分线，中线及中垂线，平行线等）1．如图，已知△ABC，请用尺规过点A作一条直线，使其将△ABC分成面积相等的两部分．（保留作图痕迹，不写作法） 2．如图，已知△ABC，CA=CB，∠ACD是△ABC的一个外角.请用尺规作图法，求作射线3．如图，已知△ABC.⑴作中线AD；⑵尺规作出角平分线BE；⑶作BC边的高线.4．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，E为AB的中点，请仅用无刻度直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹）．（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA=BD，画出△ABD的AD边上的高．5．为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（△ABC）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；①圆心在边BC上，②该半圆面积最大．请你帮忙设计这一花坛．6．两个城镇A，B与一条公路CD，一条河流CE的位置如图所示，某人要修建一避暑山庄，要求该山庄到A，B的距离必须相等，到CD和CE的距离也必须相等，且在∠DCE的内部，请画出该山庄的位置P．（不要求写作法，保留作图痕迹．）7．按要求作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹.（1）如图1，A为圆E上一点，请用直尺（不带刻度）和圆规作出圆内接正方形；（2）我们知道，三角形具有性质，三边的垂直平分线相交于同一点，三条角平分线相交于一点，三条中线相交于一点，事实上，三角形还具有性质：三条高交于同一点，请运用上述性质，只用直尺（不带刻度）作图：①如图2，在□ABCD中，E为CD的中点，作BC的中点F；②图3，在由小正方形组成的网格中，的顶点都在小正方形的顶点上，作△ABC的高AH8．下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线“的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线l外一点P．求作：直线PQ，使直线PQ//直线l．作法：如图，①在直线l上任取一点A，作射线AP；②以P为圆心，PA为半径作弧，交直线l于点B，连接PB；③以P为圆心，PB长为半径作弧，交射线AP于点C；分别以B,C为圆心，大于12BC长为半径作弧，在AC的右侧两弧交于点④作直线PQ；所以直线PQ就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图中的图形；（2）完成下面的证明：证明：由作图可知PQ平分∠CPB，∴∠CPQ=∠BPQ=1又∵PA=PB，∴∠PAB=∠PBA．(▲)(填依据1)．∵∠CPB=∠PAB+∠PBA，∴∠PAB=∠PBA=1∴∠CPQ=∠PAB，∴直线PQ//直线l．(▲)(填依据2)．二、平面直角坐标系作图（位似，轴对称，平移等）9．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，2)、B(4，⑴请画出△ABC绕点A顺时针旋转90°得到的△AB⑵若点D在线段B1C1上，且直线AD将△AB110．如图、在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（4，1），B（2，3），C（1，2）.⑴画出与△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；⑵以原点O为位似中心，在第三象限内画一个△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为2：1，并写出点B11．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标是A（0，﹣2），B（6，﹣4），C（2，﹣6）.⑴请画出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1.⑵以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2B2C2，请在y轴左侧画出△A2B2C2⑶在y轴上存在点P，使得△OB2P的面积为6，请直接写出满足条件的点P的坐标.12．如图，在直角坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(3，3)（1）请画出与△ABC关于x轴对称的△A（2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A2（3）在y轴上存在点P，使得△OA13．如图，在平面直角坐标系中，已知点A(−1,5)，B(−3,1)和C(4,0)，请按下列要求画图并填空.（1）平移线段AB，使点A平移到点C，画出平移后所得的线段CD，并写出点D的坐标为_▲_；（2）将线段AB绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后所得的线段AE，并直接写出cos∠BCE（3）在y轴上找出点F，使△ABF的周长最小，并直接写出点F的坐标为_▲__.14．如图所示，每个小方格都是边长为1的正方形，以O点为坐标原点建立平面直角坐标系.（1）画出四边形OABC关于y轴对称的四边形OA1B1C1，并写出点B1的坐标。（2）画出四边形OABC绕点O顺时针方向旋转90°后得到的四边形OA2B2C2；连接OB，求出OB旋转到OB2所扫过部分图形的面积.15．如图，△ABC在平面直角坐标系中，顶点的坐标分别为A(4,4)，B(1,1)，C(4,1).（1）画出与△ABC关于y轴对称的△A（2）将△ABC绕点O1顺时针旋转90°得到△A2B2C2（3）求图中阴影部分的面积（结果保留π）.三、网格作图16．如图在5×5的网格中，△ABC的顶点都在格点上.（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）（1）在图1中画出△ABC的中线AD；（2）在图2中画线段CE，点E在AB上，使得S△ACE：S（3）在图3中画出△ABC的外心点O.17．图①，图②均是边长为1的小正方形组成的4×3的网格，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点均在格点上，请用无刻度直尺按要求作图。（1）在图1中，作△ABC的中线CD；（2）在图2中，作△ABC的高线AH。18．图①、图②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，△ABC为格点三角形.请仅用无刻度的直尺在网格中完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹.（1）在图①中，画出△ABC中AB边上的中线CM；（2）在图②中，画出△ABC中AC边上的高BN，并直接写出△ABC的面积.19．如图均是5×5的正方形网络，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点A，B，C都在格点上，按照下列要求画图.（1）在图1中，画△ABC的高AD.（2）在图2中，①AB=；②画以∠B为顶角的等腰三角形ABE，使点E在格点上.（3）在图3中，画出△ABC的角平分线BF.（要求：只用直尺，不能用圆规，不要求写出画法）20．如图，△ABC的顶点均为格点，AC与网格线交于点D.仅用无刻度尺的直尺在网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示.（1）如图1，画出△ABC的角平分线CE；（2）如图1，平移AB至DN，使点A的对应点为点D；（3）如图2，在AB上找一点G，使DG+CG最小；（4）如图3，AB与网格线交于点E，过点E作EQ⊥AC于Q.21．如图，在由小正方形组成的4×3的网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，用无刻度的直尺，在所给的网格中，按要求作图并保留作图痕迹。①在图1中作△ABC的轴对称图形△A'B'C'；②在图2中作△ABC的重心；③在图3中作△ABC的的高线AH。22．图①，图②均是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．其中点A，B，C均在格点上．请在给定的网格中按要求画四边形．（1）在图①中，找一格点D，使以点A，B，C，D为顶点的四边形是轴对称图形；（2）在图②中，找一格点E，使以点A，B，C，E为顶点的四边形是中心对称图形．23．如图所示，每个小正三角形的边长为1，且它的顶点叫做格点，各顶点在格点处的多边形称为格点多边形，线段AB位于该小正三角形组成的网格中，按要求在网格中作一个格点多边形.（1）请在图1画一个既是轴对称图形又是中心对称图形的四边形，且AB为对角线.（2）请在图2中画一个以AB为边，面积为2324．在如图所示的6×6的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形：（2）请你在图2中画一个以格点为顶点，一条直角边边长为10的直角三角形．（3）请你在图3中画出△ABC的边BC上的高AD，∠ACB的角平线CE四、新定义尺规作图题25．若两条线段将一个三角形分割成三个等腰三角形，则这两条线段称为三分线.（1）如图①，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）.（2）如图②，△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，请在图中画出两条三分线，并标出每个等腰三角形顶角的度数（画出一种分割即可）.（3）如图③，△ABC中，∠BAC为钝角，AE，DE为三分线，BD＝BE，DA＝DE，CA＝CE.①求∠B和∠C的关系式.②求∠BAC的取值范围.26．实践操作（1）如图，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，利用直尺和圆规按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(保留作图痕迹，不写作法)。作∠BAC的平分线，交BC于点O；（2）以Ｏ为圆心，OC长为半径作圆。（3）综合运用在你所作的图中，AB与⊙O的位置关系是(直接写出答案)；（4）若AC=5，BC=12，求⊙O的半径。27．数学活动课上，张老师组织同学们设计多姿多彩的几何图形，下图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影，请同学们在余下的空白小等边三角形中选取一个涂上阴影，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形或中心对称图形，请画出4种不同的设计图形.规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形）28．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A,C均落在格点上，点B在网格线上，且AB=5（1）线段AC的长等于；（2）以BC为直径的半圆与边AC相交于点D，若P,Q分别为边AC,BC上的动点，当BP+PQ取得最小值时，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点P,Q，并简要说明点P,Q的位置是如何找到的（不要求证明）．29．如图是由小正方形组成的9×6网格，每个小正方形的顶点叫做格点.△ABC的三个顶点都是格点.仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示.（1）在图（1）中，D，E分别是边AB，AC与网格线的交点.先将点B绕点E旋转180°得到点F，画出点F，再在AC上画点G，使DG∥BC；（2）在图（2）中，P是边AB上一点，∠BAC=α.先将AB绕点A逆时针旋转2α，得到线段AH，画出线段AH，再画点Q，使P，Q两点关于直线AC对称.

答案解析部分1．【答案】解：如图，直线AD即为所求：​2．【答案】解：如图，射线CP即为所求作.3．【答案】解：如图，

（1）线段就是所求作的图形.

（2）射线BE就是所求作的角平分线.

（3）线段AF就是所求作的图形.4．【答案】（1）解：如图1所示，AF即为所求：（2）解：如图2所示，BH即为所求．5．【答案】解：如图所示：该半圆即为所求．6．【答案】解：作法：①作∠ECD的平分线CF，②作线段AB的中垂线MN，③MN与CF交于点P，则P就是山庄的位置．7．【答案】（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；（2）①如图所示，点F即为所求；②如图所示，AH即为所求.8．【答案】（1）解：根据题中画图过程可得：如图，PQ即为所作图形；（2）等边对等角|同位角相等，两直线平行9．【答案】解：（1）如图，将△ABC绕点A顺时针转90°，即将AB、AC绕点A顺时针旋转90°，得到AB1、AC1，连接A1C1即可，则△AB1C1即为所求；

（2）如图，根据三角形中线的性质，找到△AB1C1，B1C110．【答案】解：⑴如图，ΔA⑵如图，ΔA2B11．【答案】解：△A1B1C1、△A2B2C2即为所求，

当△OB2P的面积为6时，点P的坐标为：（0，4），（0，﹣4）.12．【答案】（1）解：如图，△A1B（2）解：如图，△A2B（3）P（0，4）或（0，-4）.13．【答案】（1）(2,−4)；（2）5（3）(0,4).14．【答案】（1）解：画出四边形OA1B1C1如图B1（－6，2）（2）解：画出四边形OA2B2C2∵O且OB⊥OB2∴S=15．【答案】（1）解：如图所示，△A1B1C1即为所求.（2）（2,0）（3）解：如图：设旋转半径为r，则r2∴阴影部分的图形面积为：S=5π−16．【答案】（1）解：如图，连接EF，交BC于点D，

连接AD，则AD为△ABC的中线；（2）解：如图，连接M、N，交AB于点E，

连接CE，S△ACE：S△BCE（3）解：如图，连接PQ，MN，交于一点O，则O点是△ABC的外心.

17．【答案】（1）解：如图，（2）解：如图，18．【答案】（1）解：如图，线段CM即为所求；（2）解：如图，线段BN即为所求.

∵AC=2，BN=32−322=332，

19．【答案】（1）（2）5；（3）20．【答案】（1）解：如图1中，线段CE即为所求作.（2）解：如图1中，线段DN即为所求作.（3）解：如图2中，点G即为所求作.（4）解：如图3中，直线EQ即为所求作.21．【答案】解：①

②

③

③22．【答案】（1）解：如图①，四边形ABCD是轴对称图形．（2）解：先将点B向左平移2格，再向上平移1个可得到点A，则将点C按照同样的平移方式可得到点E，如图②，平行四边形ABCE是中心对称图形．23．【答案】（1）解：如图1，以AB为对角线的矩形即为所求，

​​​（2）解：