2019版数学题组训练：第8章第4讲 直线、平面垂直的判定及性质

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精第四讲直线、平面垂直的判定及性质题组直线、平面垂直的判定与性质1。[2017全国卷Ⅲ，10,5分]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为棱CD的中点,则（)A。A1E⊥DC1 B.A1E⊥BD C.A1E⊥BC1 D.A1E⊥AC2.[2013新课标全国Ⅱ，4，5分][理］已知m,n为异面直线，m⊥平面α,n⊥平面β.直线l满足l⊥m,l⊥n,l⊄α，l⊄β，则（）A.α∥β且l∥α B.α⊥β且l⊥βC。α与β相交,且交线垂直于l D。α与β相交，且交线平行于l3。[2017北京，18，14分］如图8-4-1，在三棱锥P-ABC中,PA⊥AB，PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2，D为线段AC的中点，E为线段PC上一点。图8—4—1（Ⅰ)求证：PA⊥BD；(Ⅱ)求证：平面BDE⊥平面PAC;（Ⅲ)当PA∥平面BDE时，求三棱锥E-BCD的体积.4.［2017全国卷Ⅲ,19，12分][理]如图8-4-2，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形,∠ABD=∠CBD,AB=BD。图8-4-2(1)证明:平面ACD⊥平面ABC；（2）过AC的平面交BD于点E,若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D—AE-C的余弦值。5.［2016全国卷Ⅱ，19，12分][理]如图8—4—3，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,AB=5,AC=6,点E，F分别在AD，CD上，AE=CF=54，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D’EF的位置,OD'=10图8—4-3(Ⅰ）证明：D'H⊥平面ABCD;(Ⅱ）求二面角B—D’A—C的正弦值.6.[2015湖北，20,13分］［数学文化题]《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图8—4—4所示的阳马P—ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,且PD=CD,点E是PC的中点，连接DE，BD，BE.(Ⅰ)证明:DE⊥平面PBC。试判断四面体EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角(只需写出结论)；若不是,请说明理由；（Ⅱ）记阳马P-ABCD的体积为V1，四面体EBCD的体积为V2，求V1V图8—4—47。[2013全国卷Ⅰ，18，12分］[理]如图8-4—5，三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°。图8—4—5(Ⅰ）证明：AB⊥A1C；(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值。A组基础题1。[2018南昌市高三调考，10]如图8-4-6，四棱锥P-ABCD中，△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC，AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是图8—4-6（)A。PB⊥AC B.PD⊥平面ABCDC。AC⊥PD D。平面PBD⊥平面ABCD2。[2018南宁市摸底联考，16］如图8—4—7,在正方形ABCD中,AC为对角线，E,F分别是BC,CD的中点,G是EF的中点。现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C，D三点重合，重合后的点记为H。下列说法错误的是（将符合题意的序号填到横线上).

图8—4—7①AG⊥△EFH所在平面；②AH⊥△EFH所在平面;③HF⊥△AEF所在平面;④HG⊥△AEF所在平面。3。［2018惠州市一调，19］如图8—4—8,在底面是菱形的四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，∠ABC=60°,AA1=AC=2，A1B=A1D=22,点E在A1D上.图8-4—8(1）证明:AA1⊥平面ABCD；(2)当A1EED为何值时,A1B∥平面EAC,并求出此时直线A1B与平面4。[2018辽宁五校联考,19]如图8-4-9所示，等腰梯形ABCD的底角A等于60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA=90°，且ED=AD=2AB=2AF.图8-4—9（1）证明：平面ABE⊥平面EBD；(2)若三棱锥A-BDE的外接球的体积为82π3,求三棱锥B组提升题5.[2017甘肃二诊，19]如图8-4—10，在Rt△ABC中,AB⊥BC,点D，E分别在AB,AC上，AD=2DB,AC=3EC，沿DE将△ADE翻折起来，使得点A到P的位置,满足PB=3DB。图8-4—10(1）证明：DB⊥平面PBC；（2)若PB=BC=3，PC=6,求二面角D—PE—C的正弦值。6。[2017长春第四次质量监测,19]如图8—4—11,四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，AA1⊥平面ABCD,E为B1D的中点。图8-4-11（1）证明:平面ACE⊥平面ABCD；(2)若二面角D—AE—C为60°，AA1=AB=1，求三棱锥C—ADE的体积.7.[2017南昌市三模,19]如图8-4—12,四棱锥P—ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC,∠ABC=45°，点E是线段PA上靠近点A的三等分点.图8-4-12（1）求证：AB⊥PC；（2)若△PAB是边长为2的等边三角形,求直线DE与平面PBC所成角的正弦值.答案1。C由正方体的性质,得A1B1⊥BC1，B1C⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1CD,又A1E⊂平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故选C.2。D由于m,n为异面直线，m⊥平面α,n⊥平面β,则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n,则交线平行于l，故选D。3。(Ⅰ）因为PA⊥AB，PA⊥BC，且AB∩BC=B,AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以PA⊥平面ABC。又因为BD⊂平面ABC，所以PA⊥BD。(Ⅱ）因为AB=BC，D为AC的中点,所以BD⊥AC。由(Ⅰ）知,PA⊥BD，且PA∩AC=A,AC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，所以BD⊥平面PAC。又BD⊂平面BDE,所以平面BDE⊥平面PAC。（Ⅲ）因为PA∥平面BDE，PA⊂平面PAC，平面PAC∩平面BDE=DE，所以PA∥DE.因为D为AC的中点,所以DE=12PA=1,BD=DC=2由(Ⅰ)知,PA⊥平面ABC，所以DE⊥平面ABC.所以三棱锥E—BCD的体积V=16BD·DC·DE=14.(1)由题意可得△ABD≌△CBD，从而AD=DC.又△ACD是直角三角形，所以∠ADC=90°。取AC的中点O，连接DO，BO,则DO⊥AC,DO=AO.又由于△ABC是正三角形,故BO⊥AC.所以∠DOB为二面角D-AC-B的平面角。在Rt△AOB中，BO2+AO2=AB2。又AB=BD，所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=BD2，故∠DOB=90°。所以平面ACD⊥平面ABC。（2）由题意及(1）知，OA,OB,OD两两垂直.以O为坐标原点,OA的方向为x轴正方向,｜OA｜为单位长，建立如图D8-4-5所示的空间直角坐标系O-xyz,则A（1，0，0)，B（0,3，0）,C(—1,0,0)，D（0,0,1)。图D8—4-5由题意知，四面体ABCE的体积为四面体ABCD的体积的12,从而E到平面ABC的距离为D到平面ABC的距离的12，即E为DB的中点，得E(0，32,12）。故AD=（—1,0,1）,AC=（-2，0,0)，AE=(—1，3设n=（x，y,z)是平面DAE的法向量，则n即-可取n=（1，33，1)设m是平面AEC的法向量,则m同理可取m=（0,-1,3）。则cos<n，m〉=n·m|由图可知，二面角D-AE-C为锐角,所以二面角D-AE—C的余弦值为775。（Ⅰ)由已知得AC⊥BD,AD=CD。又由AE=CF得AEAD=CFCD,故AC因此EF⊥HD,从而EF⊥D'H.由AB=5,AC=6得DO=BO=AB2-由EF∥AC得OHDO=AEAD=所以OH=1,D'H=DH=3。于是D’H2+OH2=32+12=10=D’O2，故D'H⊥OH。又D’H⊥EF，而OH∩EF=H，所以D'H⊥平面ABCD.(Ⅱ）如图D8—4-6，以H为坐标原点,HF的方向为x轴正方向,HD的方向为y轴正方向,HD'的方向为z轴正方向,建立空间直角坐标系图D8—4-6则H（0，0,0），A(-3，—1，0），B(0，—5,0），C（3，—1，0）,D’（0,0,3),AB=(3，—4,0)，AC=（6，0,0），AD'=(3,1,3）设m=（x1,y1,z1)是平面ABD’的法向量，则m·AB所以可取m=（4，3,—5）.设n=(x2，y2,z2）是平面ACD’的法向量，则n·AC所以可取n=(0,—3，1）。于是cos<m，n〉=m·n|m||sin<m,n〉=295因此二面角B-D’A—C的正弦值是2956.(Ⅰ)因为PD⊥底面ABCD,所以PD⊥BC.由底面ABCD为长方形,可知BC⊥CD，而PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD。因为DE⊂平面PCD，所以BC⊥DE.因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC。而PC∩BC=C，所以DE⊥平面PBC.由BC⊥平面PCD,DE⊥平面PBC，可知四面体EBCD的四个面都是直角三角形,即四面体EBCD是一个鳖臑，其四个面的直角分别是∠BCD,∠BCE，∠DEC，∠DEB。(Ⅱ)由已知,知PD是阳马P-ABCD的高，所以V1=13S长方形ABCD·PD=13BC·CD·由(Ⅰ)知,DE是鳖臑D—BCE的高，BC⊥CE，所以V2=13S△BCE·DE=16BC·CE在Rt△PDC中，因为PD=CD,点E是PC的中点，所以DE=CE=22CD于是V1V2=13BC7.（Ⅰ)取AB的中点O,连接OC，OA1，A1B。因为CA=CB，所以OC⊥AB。由于AB=AA1，∠BAA1=60°,故△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB.因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C。又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C.（Ⅱ)由(Ⅰ)知OC⊥AB，OA1⊥AB。又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB,所以OC⊥平面AA1B1B,故OA,OA1，OC两两相互垂直。以O为坐标原点,OA的方向为x轴的正方向，｜OA|为单位长,建立如图D8—4—7所示的空间直角坐标系O—xyz。图D8-4—7由题意知A(1,0，0）,A1(0，3,0),C（0,0，3),B(—1，0，0).则BC=(1,0,3），BB1=AA1=(—1，3，0）,A1C=(0,设n=（x，y，z）是平面BB1C1C的法向量，则n·BC=0,n·BB1=0.故cos<n,A1C〉=n·所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为105A组基础题1。B如图D8-4-8，对于选项A，取PB的中点O，连接AO，CO。∵在四棱锥P-ABCD中,△PAB与△PBC是正三角形，平面PAB⊥平面PBC,∴AO⊥PB,CO⊥PB,∵AO∩CO=O，∴PB⊥平面AOC,∵AC⊂平面AOC，∴PB⊥AC，故选项A正确；对于选项B，设AC与BD交于点M,易知M为AC的中点，若PD⊥平面ABCD，则PD⊥BD，由已知条件知点D满足AC⊥BD且位于BM的延长线上，∴点D的位置不确定，∴PD与BD不一定垂直，∴PD⊥平面ABCD不一定成立,故选项B不正确;对于选项C,∵AC⊥PB,AC⊥BD,PB∩BD=B,∴AC⊥平面PBD,∵PD⊂平面PBD,∴AC⊥PD,故选项C正确；对于选项D,∵AC⊥平面PBD，AC⊂平面ABCD,∴平面PBD⊥平面ABCD,故选项D正确。选B.图D8—4-82.①③④根据折叠前AB⊥BE,AD⊥DF可得折叠后AH⊥HE,AH⊥HF，可得AH⊥平面EFH,即②正确；∵过点A只有一条直线与平面EFH垂直，∴①不正确;∵AG⊥EF,AH⊥EF，∴EF⊥平面HAG，∴平面HAG⊥平面AEF，过H作直线垂直于平面AEF，该直线一定在平面HAG内,∴③不正确；∵HG不垂直AG,∴HG⊥平面AEF不正确，④不正确，综上,说法错误的是①③④。3。（1）因为四边形ABCD是菱形,∠ABC=60°,所以AB=AD=AC=2，在△AA1B中，由AA12+AB2=A1B2，知AA1⊥同理AA1⊥AD,又AB∩AD=A，所以AA1⊥平面ABCD。当A1EED=1时,A1B∥平面EAC。证明如下:如图D8-4—9,连接BD交AC图D8—4—9当A1EED=1,即点E为A1D的中点时，连接OE,则OE∥A1B,又A1B⊄平面EAC，所以A1B直线A1B与平面EAC之间的距离等于点A1到平面EAC的距离，因为E为A1D的中点,所以点A1到平面EAC的距离等于点D到平面EAC的距离，VD-EAC=VE-ACD，设AD的中点为F，连接EF,则EF∥AA1，且EF=1,所以EF⊥平面ACD,又△ACD为边长为2的等边三角形，所以可求得S△ACD=3,所以VE-ACD=13×1×3=3又AE=2,AC=2,CE=EF2+CF2=2，所以S△EAC=72,所以13S△EAC·d=33（d表示点D到平面EAC的距离)，解得d=2214.(1)∵平面ADEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD=AD,ED⊥AD,ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD,∴AB⊥ED，设AD=2a，则AB=a,又∠BAD=60°,∴AB⊥BD。又BD∩ED=D，BD⊂平面EBD，ED⊂平面EBD,∴AB⊥平面EBD，又AB⊂平面ABE,∴平面ABE⊥平面EBD.（2)由（1）得AD⊥DE，AB⊥BE，∴三棱锥A-BDE的外接球的球心为线段AE的中点.∴43·π·（AE2)3=82π3,解得AE=22∴VA—BEF=VB—AEF=13×12×1×2×32B组提升题5。（1）在Rt△ABC中，设AB=3,∵AD=2DB，PB=3DB,∴PD=AD=2，DB=1，PB=3,∴PD2=DB2+PB2,∴DB⊥PB.在Rt△ABC中,AB⊥BC,∵PB∩BC=B,PB⊂平面PBC,BC⊂平面PBC，∴DB⊥平面PBC.(2）∵PB=BC=3，PC=6,∴PB⊥BC。由(1)知，DB⊥平面PBC，以B为坐标原点，建立如图D8—4-10所示的平面直角坐标系B—xyz,图D8-4-10则P（0，0，3），D（1，0,0），C(0,3，0）,E(1,233,0),DP=(-1,0,3),DE=(0,2设m=（x，y，z）是平面PDE的法向量,则m即-可取m=（3，0，1).同理,可知平面PEC的一个法向量n=（3,3，3）.则|cos<m，n〉｜=|m·n设二面角D-PE—C的平面角为θ,由图可知θ为钝角,即cosθ=—217∴sinθ=277，即二面角D—PE—C的正弦值为6.（1）连接BD，设AC与BD的交点为F，连接EF，因为E为B1D的中点，F为BD的中点，所以EF∥BB1,所以EF⊥平面ABCD，因为EF⊂平面ACE，所以平面ACE⊥平面ABCD.(2）由于四边形ABCD为菱形，所以以F为坐标原点，以FC，FD,FE的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系（图略)，设FA=a(a〉0），FD=b（b〉0)，有a2+b2=1①，A（—a，0，0）,C（a,0，0)，D（0,b，0),E(0,0，1