通信原理第2章-随机信号分析课件

1第2章随机信号分析2.1引言2.2随机过程的一般表述2.3平稳随机过程2.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度2.5高斯过程2.6平稳随机过程通过线性系统2.7窄带随机过程2.8正弦波加窄带高斯过程2通信过程：有用信号通过通信系统（通信系统中信号与噪声共存）对通信系统的分析，离不开对噪声和信号的分析；信号（随机信号）与噪声具有随机性，统称随机过程（统计学观点）；本章内容：运用统计学中有关随机过程的理论分析随机信号和噪声的特性表示以及通过线性系统的分析方法。2.1引言3

2.2随机过程的一般表述

2.2.1随机过程的概念

随机过程：随时间t变化的无数个随机变量的集合。

基本特征：时间t的函数，但在任一确定时刻上的取值是不确定的，是一个随机变量；或者，可看成是一个事件的全部可能实现构成的总体，其中每个实现都是一个确定的时间函数，而随机性就体现在出现哪一个实现是不确定的。

通信过程中的随机信号和噪声均可归纳为依赖于时间t的随机过程。5随机过程：与时间有关的函数，但任一时刻的取值不确定(随机变量)样本函数：随机过程的具体实现样本空间：所有实现构成的全体所有样本函数及其统计特性构成了随机过程6

2.2.2随机过程的统计特性随机过程的统计特性是通过概率分布或数字特征来表述的。

一、随机过程的分布函数和概率密度函数

设是一个随机过程，在任意给定时刻其取值是一个随机变量。这个随机变量的统计特性，可以用分布函数或概率密度函数描述，称为随机过程的一维分布函数。7如果对的偏导数存在，即有则称为的一维概率密度函数。显然，随机过程的一维分布函数或一维概率密度函数仅仅描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性，没有说明随机过程在不同时刻取值之间的内在联系，因此需要在足够多的时间上考虑随机过程的多维分布函数9二、随机过程的数字特征分布函数或概率密度函数虽然能够较全面地描述随机过程的统计特性,但在实际工作中，有时不易或不需求出分布函数和概率密度函数，而用随机过程的数字特征来描述随机过程的统计特性，更简单直观。1、数学期望（统计平均值）随机过程的数学期望定义为：并记为。说明：均值与t1有关。然而t1是任意取值的，故可把t1直接写成t。所以，随机过程的数学期望是时间的函数。102、方差随机过程的方差定义为：记为11131415例：设随机过程，其中A为高斯随机变量，b为常数，且A的一维概率密度函数求X(t)的均值和方差17可见，平稳随机过程的统计特性将不随时间的推移而不同。其一维分布与时间t无关，二维分布只与时间间隔有关。182.3.2广义平稳随机过程19随机过程是否平稳的判断：若一个随机过程的数学期望及方差与时间无关，而其相关函数仅与时间间隔有关，则称这个随机过程是广义平稳的。通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数均可视为平稳的随机过程。212.3.3各态历经性22

遍历过程必定是平稳过程，反之不然。成立时间平均代替统计平均232.4平稳随机过程的相关函数与功率谱密度对于平稳随机过程而言，其相关函数是特别重要的一个函数。这是因为：一、平稳随机过程的统计特性，比如数字特征等，可通过相关函数来描述；二、平稳随机过程的相关函数与功率谱密度之间存在傅立叶变换关系。因此有必要了解平稳随机过程相关函数的性质。本节先来讨论相关函数的有关性质，然后讨论有关功率谱密度的概念。25二、平稳随机过程的功率谱密度随机过程的频谱特性用其功率谱密度来表述。对于任意的确定功率信号f(t)其功率谱密度为

式中，是f(t)的截短函数的频谱函数。f(t)和的波形如图所示。26功率信号及其截短函数29证明：3031结合自相关函数的性质，归纳功率谱的性质如下：1、（非负性）2、3、（偶函数）4、3233

2.5高斯过程2.5.1高斯过程的定义34可见，其概率密度函数仅取决于各随机变量的均值、方差和两两之间的归一化协方差函数(相关系数)352.5.2高斯过程的性质1、若高斯过程是宽平稳随机过程，则它也是严平稳随机过程。也就是说，对于高斯过程来说，宽平稳和严平稳是等价的。2、若高斯过程中的随机变量之间互不相关，则它们也是统计独立的；3、高斯过程的线性组合仍是高斯过程；4、高斯过程经过线性变换（或线性系统）后的过程仍是高斯过程。362.5.3回顾一维高斯分布一、一维概率密度函数37一维正态分布f（x）特性：关于a对称：f(a+x)=f(a-x)在点a处取极大值:38二、正态分布函数积分无法用闭合形式计算，要设法把这个积分式和可以在数学手册上查出积分值的特殊函数联系起来，常引入误差函数和互补误差函数表示正态分布函数。39三、误差函数和互补误差函数4041四、为了方便以后分析，给出误差函数和互补误差函数的主要性质：42432.5.4高斯白噪声44这种噪声称为白噪声，是一种理想的宽带随机过程。式子是一个常数，单位是瓦/赫兹。白噪声的自相关函数：说明，白噪声只有在时才相关，而在任意两个时刻上的随机变量都是不相关的。白噪声的功率谱和自相关函数如图。45白噪声的双边带功率谱密度和自相关函数46若白噪声又是高斯分布的，则称之为高斯白噪声。由式

可以看出，高斯白噪声在任意两个不同时刻上的取值之间，不仅是互不相关的，而且还是统计独立的。注意：这种理想化的白噪声在实际中是不存在的。如果噪声的功率谱均匀分布的频率范围远远大于通信系统的工作频带，就可以视为白噪声。472.5.5带限白噪声只有以频率2f0对带限白噪声进行抽样时，各样值才互不相关482.6平稳随机过程通过线性系统随机过程是以某概率出现的样本函数的集合，可以将随机过程加到线性系统输入端理解为随机过程的某一可能的样本函数出现在线性系统的输入端。确知信号通过线性系统的分析方法仍然适用平稳随机过程通过线性系统。4950515253545556575859602.7窄带随机过程窄带系统：指通带宽度Δf<<fc，且fc远离零频率的系统。随机过程通过以fc为中心频率的窄带系统，其输出即是窄带过程。实际大多数通信系统都为窄带型，通过窄带系统的信号或噪声必是窄带的，如果这时的信号或噪声又是随机的，则称为窄带随机过程。61窄带过程的频谱和波形示意－fcOS(f)DfDffcf(a)tOs(t)缓慢变化的包络[a(t)]频率近似为fc(b)用示波器观察一个实现的波形，如图所示，是一个频率近似为fc，包络和相位随机缓变的正弦波。62因此，窄带随机过程ξ(t)可表示成:ξ(t)=aξ(t)cos［ωct+φξ(t)］,aξ(t)≥0(2.7-1)等价：ξ(t)=ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct(2.7-2)

其中ξc(t)=aξ(t)cosφξ(t)(2.7-3)ξs(t)=aξ(t)sinφξ(t)(2.7-4)式中,aξ(t)及φξ(t)分别是ξ(t)的随机包络和随机相位，其变化相对于载波cosωct的变化要缓慢得多。ξc(t)及ξs(t)分别称为ξ(t)的同相分量和正交分量，也是随机过程，63由式（2.7-1）至(2.7-4)看出，ξ(t)的统计特性可由aξ(t)，φξ(t)或ξc(t)，ξs(t)的统计特性确定。反之，如果已知ξ(t)的统计特性则可确定aξ(t)，φξ(t)以及ξc(t)，ξs(t)的统计特性。如何确定？

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2.7.1同相和正交分量的统计特性设窄带过程ξ(t)是平稳高斯窄带过程，且均值为零，方差为σ2ξ。将证明它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是零均值的平稳高斯过程，而且与ξ(t)具有相同的方差。1.统计平均对式（2.7-2）求统计平均:E［ξ(t)］=E［ξc(t)］cosωct-E［ξs(t)］sinωct(2.7-5)可得E［ξc(t)］=0E［ξs(t)］=0(2.7-6)65

2.自相关函数Rξ(t,t+τ)=E［ξ(t)ξ(t+τ)］=E｛［ξc(t)cosωct-ξs(t)sinωct］

·［ξc(t+τ)cosωc(t+τ)-ξs(t+τ)sinωc(t+τ)］｝=Rc(t,t+τ)cosωctcosωc(t+τ)-Rcs(t,t+τ)cosωctsinωc(t+τ)-Rsc(t,t+τ)sinωctcosωc(t+τ)+Rs(t,t+τ)sinωctsinωc(t+τ)（2.7-7）66式中Rc(t,t+τ)=E［ξc(t)ξc(t+τ)］Rs(t,t+τ)=E［ξs(t)ξs(t+τ)］Rcs(t,t+τ)=E［ξc(t)ξs(t+τ)］Rsc(t,t+τ)=E［ξs(t)ξc(t+τ)］

因为ξ(t)是平稳的，故有Rξ(t,t+τ)=R(τ)

这就要求式（2.7-7）的右边也应该与t无关，而仅与时间间隔τ有关。67若取使sinωct=0的所有t值，则式（2.7-7）应变为

Rξ(τ)=Rc(t,t+τ)cosωcτ-Rcs(t,t+τ)sinωcτ(2.7-8)这时，显然应有Rc(t,t+τ)=Rc(τ)Rcs(t,t+τ)=Rcs(τ)所以，式（2.7-8）变为

Rξ(τ)=Rc(τ)cosωcτ-Rcs(τ)sinωcτ(2.7-9)再取使cosωct=0的所有t值，同理有

Rξ(τ)=Rs(τ)cosωcτ+Rsc(τ)sinωcτ(2.7-10)68应有Rs(t,t+τ)=Rs(τ)Rsc(t,t+τ)=Rsc(τ)由统计平均和自相关函数分析可知，如果窄带过程ξ(t)是平稳的，则ξc(t)与ξs(t)也必将是平稳的。进一步，式（2.7-9）和式（2.7-10）应同时成立，故有Rc(τ)=Rs(τ)(2.7-11)Rcs(τ)=-Rsc(τ)(2.7-12)可见，同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)具有相同的自相关函数，而且根据互相关函数的性质，应有Rcs(τ)=Rsc(-τ)69将上式代入式（2.7-12），可得

Rsc(τ)=-Rsc(-τ)(2.7-13)同理可推得Rcs(τ)=-Rcs(-τ)(2.7-14)式（2.7-13）、（2.7-14）说明，ξc(t)、ξs(t)的互相关函数Rsc(τ)、Rcs(τ)都是τ的奇函数，在τ=0时

Rsc(0)=Rcs(0)=0(2.7-15)于是，由式（2.7-9）及式（2.7-10）得到

Rsc(0)=Rcs(0)=0(2.7-15)70于是，由式（2.7-9）及式（2.7-10）得到

Rξ(0)=Rc(0)=Rs(0)(2.7-16)

即σ2ξ=σ2c=σ2s(2.7-17)这表明ξ(t)、ξc(t)和ξs(t)具有相同的平均功率或方差（因为均值为0）。另外，因为ξ(t)是平稳的，所以ξ(t)在任意时刻的取值都是服从高斯分布的随机变量，故在式（2.7-2）中有取t=t1=0时，ξ(t1)=ξc(t1)

取t=t2=π/2ωc时，ξ(t2)=－ξs(t2)71因为ξ(t)是高斯过程，所以ξc(t1)，ξs(t2)是高斯随机变量，从而ξc(t)、ξs(t)也是高斯随机过程。又根据式（2.7-15）可知，ξc(t)、ξs(t)在同一时刻的取值是互不相关的随机变量，因而它们还是统计独立的。重要结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程ξ(t)，它的同相分量ξc(t)和正交分量ξs(t)也是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同。此外，在同一时刻上得到的ξc和ξs是互不相关的或统计独立的。

722.7.2包络和相位的统计特性ξc和ξs的联合概率密度函数为：

f(ξc,ξs)=f(ξc)·f(ξs)=设aξ,φξ的联合概率密度函数为f(aξ,φξ)，则利用概率论知识，有

f(aξ,φξ)=f(ξc,ξs)

根据式（2.7-3）和式（2.7-4）在t时刻随机变量之间的关系ξc=aξcosφξξs=aξsinφξ73得到于是注意，这里aξ≥0,而φξ在(0，2π)内取值。

74aξ服从瑞利分布。同理，f(aξ,φξ)对aξ积分可求得相位φξ的一维概率密度函数为：f(φξ)=

φξ服从均匀分布。

再利用概率论中边际分布知识将f(aξ,φξ)对φξ积分，可求得包络aξ的一维概率密度函数为：75综上所述，又一个重要结论：一个均值为零，方差为σ2ξ的窄带平稳高斯过程ξ(t)，其包络aξ(t)的一维分布是瑞利分布，相位φξ(t)的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，aξ(t)与φξ(t)是统计独立的，即有下式成立：

f(aξ,φξ)=f(aξ)·f(φξ)76结论：一个均值为零的窄带平稳高斯过程，其同相分量和正交分量同样是平稳高斯过程，而且均值都为零，方差也相同；在同一时刻上的同相分量与正交分量是不相关的或统计独立的。其包络的一维分布是瑞利分布，而其相位的一维分布是均匀分布，并且就一维分布而言，包络和相位是统计独立的。77通信系统中传输的信号通常是以正弦波作为载波的已调信号，信号经过信道传输时总会受到噪声的干扰，为了减少噪声的影响，通常在接收机前端设置一个带通滤波器，以滤除信号频带以外的噪声。因此，带通滤波器的输出是正弦波信号与窄带噪声的合成信号。这是通信系统中常会遇到的一种情况，所以有必要了解合成信号的包络和相位的统计特性。2.8正弦波加窄带高斯过程78求正弦波加窄带高斯噪声的包络及相应的概率密度函数。在这种情况下，被考察的混合信号形式为(2.8-1)式中，为窄带高斯过程，其均值为零；正弦波的θ在(0,2π)上均匀分布，且假定振幅A和频率已知。79利用上一节的结果，如果θ值已给定，则zc及zs都是相互独立的随机变量，故有

E［zc］=Acosθ