高三数学二轮专题复习19 直线与圆的综合问题

解析几何-直线与圆有关的综合问题专题综述从近三年的高考情况来看,直线与圆的方程考查的重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题，有时候会结合其他知识点综合考查直线与圆有关的位置关系（特别是弦长问题），面积问题，最值问题等，一般以选填题的形式出现。解题时应认真体会数形结合思想，培养充分利用圆的简单几何性质简化运算的能力。专题探究探究1：直线与圆的方程问题直线与圆的方程问题是高考中的热点问题之一，解决这类问题主要以方程思想和数形结合的方法来处理，求圆的方程或找圆心坐标和半径的常用方法是待定系数法及配方法，还应注意恰当运用平面几何知识对其进行求解。解决直线的方程问题的三个注意点：（1）求解两条直线平行的问题时，在利用A1（2）要注意直线方程每种形式的局限性，点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直，而截距式方程即不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．（3）讨论两直线的位置关系时，要注意直线的斜率是否存在．解决圆的方程问题一般有两种方法：（1）几何法：利用圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，数形结合直接求出圆心坐标、半径，进而求出圆的方程;（2）待定系数法：先设出圆的方程，再由条件构建系数满足的方程（组）求得各系数，进而求出圆的方程。(2021湖北省襄阳市联考)圆C:(x−2)2+(y+2)2=4关于直线x−y+1=0对称的圆的方程为A.x2+y2−6x+6y+16=0 B.x2【审题视点】如何理解圆关于直线对称？【思维引导】求出圆心关于直线的对称点的坐标，即可求得对称圆的方程．【规范解析】求出圆心关于直线的对称点圆C的圆心为C(2,−2)，设C关于直线x−y+1=0对称的点为C'(x0,y0)，

则x0+22求出圆心关于直线的对称点即x2+y【探究总结】求圆的方程时，应根据条件选用合适的圆的方程．一般来说，求圆的方程有两种方法：（1）几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量，常用到的三个性质：①圆心在过切点且垂直切线的直线上；②圆心在任一弦的中垂线上；③相切两圆的连心线经过切点；（2）代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，若由已知条件易求得圆心坐标、半径或需要用圆心坐标列方程，常选用标准方程；如果已知条件与圆心坐标、半径无直接关系，常选用一般方程。(2020河北省衡水市期中)若圆x2+y2−ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x−1对称，过点A.y2−4x+4y+8=0 B.y2−2x−2y+2=0

C.探究2：直线与圆、圆与圆的位置关系直线l:Ax+By+C=0(A、B不全为0)与圆（1）几何法:圆心a,b到直线l:Ax+By+C=0的距离为d，d<r⟺直线与圆相交；d=r⟺直线与圆相切；d>r⟺直线与圆相离.（2）代数法:由Ax+By+C=0x−a2+y−b2=r2联立消元，得到的一元二次方程的判别式为圆与圆的位置关系的判断(圆C1，圆C2的半径分别为（1）d>r（2）d=r（3）r1（4）d=r（5）0≤d<直线与圆相切问题的解题策略：直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立关于切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式．过圆外一点求解切线段长的问题，可先求出圆心到圆外点的距离，再结合半径利用勾股定理计算。(2021四川省成都市)对圆(x−1)2+(y−1|3x−4y−9|+|3x−4y+a|都与x，y无关，则a的取值范围为(

)A.[6,+∞) B.[−4,6] C.(−4,6) D.(−∞,−4]【审题视点】如何根据条件“|3x−4y−9|+|3x−4y+a|为定值”联想到点到直线的距离是解题关键。【思维引导】|3x−4y+a|+|3x−4y−9|可以看作点P到直线m：3x−4y+a=0与直线l：3x−4y−9=0距离之和的5倍，结合图形分析，可知圆在两直线之间，由点到直线的距离公式求解直线3x−4y+a=0与圆相切时的a值。【规范解析】因为|3x−4y−9|+|3x−4y+a|=5(|3x−4y−9|转化为点到直线之间的距离公式所以|3x−4y+a|+|3x−4y−9|转化为点到直线之间的距离公式直线m：3x−4y+a=0与直线l：3x−4y−9=0距离之和的5倍，∵|3x−4y+a|+|3x−4y−9|的取值与x，y无关，∴这个距离之和与点P在圆上的位置无关，如图所示，可知当直线m平移时，借助函数图像分析当借助函数图像分析当直线与圆相切时满足题意P点与直线m，l的距离之和均为m，l的距离，此时圆在两直线之间．当直线m与圆相切时，3−4+a5解得a=6或a=−4(舍去)，故a≥6，故选：A．【探究总结】解决直线与圆的位置关系的问题，要充分运用数形结合的思想，既要充分运用平面几何中有关圆的性质，又要结合待定系数法运用直线方程中的基本度量关系，养成勤画图的良好习惯。(2021湖北省武汉市)若圆x2+y2−4x−4y−10=0上至少有三个不同的点到直线l:ax+by=0的距离为22，则直线l的倾斜角A.π12,π4 B.π12,探究3：与圆有关的弦长问题有关弦长问题的两种求法：设直线l被圆C截得的弦长为AB，圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则弦长公式：AB=2若斜率为k的直线与圆交于Ax1,则AB=（其中k≠0），特别地，当k=0时，AB当斜率不存在时，AB=(2021湖南省长郡十五校联考)已知A(2,2),B，C是拋物线y2=2px上的三点，如果直线AB，AC被圆(x−2)2+y2=3截得的两段弦长都等于A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0【审题视点】如何通过直线与圆的弦长找到等量关系？【思维引导】先求出抛物线方程，设出点B坐标，点C坐标，可表示出直线BC的方程，由点到直线的距离及垂径定理得出直线AB(AC)的斜率，进而得出直线BC的方程。设出B、设出B、C两点的坐标，从而表示出直线BCA(2,2)在抛物线y2=2px上，

故22=2p×2，即p=1，抛物线方程为y2=2x，

设B(y122,y1),C(y22易得直线AB(AC)的斜率存在，

设直线AB(AC)的方程为：y−2=k(x−2)，根据垂径定理和点到直线的距离公式求k即kx−y+2−2k=0，

依题意圆心(2,0)到直线根据垂径定理和点到直线的距离公式求k解得k=±3，

不妨设kAB=2y1+2=3得：y1=−2+23，

同理【探究总结】研究直线与圆有关的弦长问题时最常用的解题方法为几何法，将代数问题几何化，利用数形结合思想解题，即利用圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，以及半弦长，构成直角三角形的三边，利用勾股定理求解。(2021江苏省南京市高三模拟)若双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被圆(x−2)A.2 B.3 C.2 D.2探究4：与圆有关的最值问题与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点。与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化;直线与圆的综合问题主要包括弦长问题,切线问题及组成图形面积问题,解决方法主要依据圆的几何性质。(2021江西省南昌市三模)已知直线l:x−y+4=0与x轴相交于点A，过直线l上的动点P作圆x2+y2=4的两条切线，切点分别为C，D两点，记M是CD的中点，则|AM|的最小值为A.22 B.32 C.17 【审题视点】如何求解M点的轨迹？【思维引导】A为定点，求|AM|的最小值需先找到M点的轨迹，设Px0,x0+4，则以OP为直径的圆的方程为(x−x02)2+(y−x0+42)2=x02+(x0+4)24，化简与x2【规范解析】如图：设Px两圆方程相减两圆方程相减，求得公共弦所在的直线方程设P点坐标,表示出以OP为直径的圆的标准方程则以OP为直径的圆为(x−x02)2+(y−x0+42)2=x02+(x0+4)设P点坐标,表示出以OP为直径的圆的标准方程由定义法求得M点的轨迹则点M在以OQ为直径的圆上，

可得：由定义法求得M点的轨迹圆心O1(−12,12)，半径R=22．

由题可知A(−4,0)，∴AO【探究总结】研究与圆有关的最值问题时，可借助图形的性质，利用数形结合求解。求两圆相交时的公共弦的方程，只需将两圆方程作差，消去二次项所得的直线方程即可，而在求两圆公共弦长时，应注意数形结合思想的灵活运用。(2021.四川省成都市期末)已知圆C：(x−2)2+(y−5)2=4的圆心为C，T为直线x−2y−2=0上的动点，过点T作圆C的切线，切点为M，则TM专题升华圆的切线方程常用结论过圆x2+y2=过圆x−a2+x0过圆x2+y2=r2x0易错点防范求圆的弦长时，注意应用圆的几何性质解题，即垂径定理与勾股定理．过一点求圆的切线、圆的割线方程时，应注意斜率的讨论，一般地，过圆外一点可求两条切线，若求出一条要注意考虑该点是在圆上或漏掉了斜率不存在的情况．【答案详解】变式训练1【答案】C【解析】圆x2+y2−ax+2y+1=0的圆心(a2,−1)，

因为圆x2+y2−ax+2y+1=0与圆x2+y2=1关于直线y=x−1对称，

所以(a4,−12)满足直线y=x−1方程，解得a=2，

过点C(−2,2)的圆P与变式训练2【答案】B【解析】由题得圆的标准方程为(x−2)2+(y−2)2依题意，可知当圆心到直线l的距离不超过2时，满足圆上至少有3个不同的点到直线l的距离为22所以圆心(2,2)到直线l的距离d=|2a+2b|a2化简得(−ab)2−4(−ab)+1≤0，解得2−3≤−a故选B．变式训练3【答案】A【解析】双曲线C：