2020版高考数学大一轮复习第八章解析几何第46讲双曲线课时达标文(含解析)新人教A版

第46讲双曲线课时达标一、选择题x2y2k的取值范围是(1．假如方程k＋1－2＝1表示双曲线，则实数)A．(－∞，－1)B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)x2y2k＋1>0?k>－1.应选B.B分析双曲线的方程是a2－b2＝1.依据定义和条件知2．已知实数1，m,9成等比数列，则圆锥曲线x22)＋y＝1的离心率为(m6A.3B．2C.6D.2或2或3322c6C分析依据条件可知m＝9，因此m＝±3.当m＝3时，e＝a＝3；当m＝－3时，e＝2.应选C.x2y23．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，则其渐近线方程为()A．y＝±2xB．y＝±3x23C．y＝±2xD．y＝±2xca2＋b2by＝±2x.应选A分析由于a＝3，因此a2＝3，因此a＝2，因此渐近线方程为A.224．(2018·全国卷Ⅲ)已知双曲线：x2－y2＝1(＞0，＞0)的离心率为2，则点(4,0)Cabab到C的渐近线的距离为()A.2B．2C.32D．222D分析由c＝2得a＝，因此双曲线为等轴双曲线，渐近线为x±y＝0，因此点(4,0)ab到渐近线的距离＝4＝22.应选D.2x2y25．(2018·天津卷)已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于，B两点．设，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1AAd和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()x2y2x2y2A.3－9＝1B.9－3＝1C.x2－y2＝1D.x2－y2＝1412124b2b2分析如图，不如设点A在点B的上方，则Ac，a，Bc，－a.此中的一条渐近线bc－b2＋bc＋b22bcc22为bx－ay＝0，则d1＋d2＝a2＋b2＝c＝2b＝6，因此b＝3.又由e＝a＝2知a＋b2x2y2＝4a，因此a＝3.因此双曲线的方程为3－9＝1.应选A.6．(2019·长阳一中期中)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C1：2x2－y2＝1，过1的左极点引1的一条渐近线的平行线，则该直线与另一条渐近线及x轴围成的三角形的面CC积为()22A.4B.222C.8D.1622x222C分析双曲线C1：2x－y＝1，即1－y＝1，因此左极点A－2，0，渐近线方2程y＝±2x，过点A与渐近线y＝2x平行的直线方程为y＝2x＋2，即y＝2x＋1.22y＝－2x，x＝－4，x轴围成的解方程组2x＋1，得1因此该直线与另一条渐近线及y＝y＝2，三角形的面积1||y1212＝||＝××＝.S2OA2228二、填空题2y23，则实数m＝________.7．(2017·北京卷)若双曲线x－＝1的离心率为m分析由已知可得a＝1，＝1＋，因此＝c＝1＋＝3，解得＝2.cmeamm答案22－y28．已知双曲线：x22＝1(a>0，>0)的一条渐近线与直线l：＋3＝0垂直，双Cabbxy曲线C的一个焦点到直线l的距离为1，则双曲线C的方程为________．分析由于双曲线的一条渐近线与直线l：x＋3y＝0垂直，因此双曲线的渐近线的斜b率为3，即a＝3.①由题意知双曲线的焦点在x轴上，可设双曲线的一个焦点坐标为(c,0)，依据点到直线的距离公式，得|c|＝1，因此c＝2，即a2＋b2＝4.②2222y2联立①②，解得a＝1，b＝3，因此双曲线的标准方程为x－3＝1.y2答案x－3＝19．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的极点A(－6,0)和C(6,0)，若极点B在双曲x2y2sin－sinC线25－11＝1的左支上，则sinB＝________.分析由条件知||－||＝10，且||＝12.又在△中，有|BC|＝|AB|＝|AC|＝BCBAACABCsinAsinCsinB2R(R为△ABC外接圆的半径sinA－sinC|BC|－|AB|5)，进而sinB＝||＝6.AC5答案6三、解答题x2y210．(2019·洛阳一中期中)已知双曲线C：a2－b2＝1(a>0，b>0)的离心率为3，点(3，是双曲线的一个极点．求双曲线的方程；经过双曲线右焦点F2作倾斜角为30°的直线，直线与双曲线交于不一样的两点A，B，求|AB|.x2y2分析(1)由于双曲线C：a－b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为3，点(3，0)是双曲线的ca＝3，x2y2一个极点，因此解得c＝3，b＝6，因此双曲线的方程为－＝1.a＝3，36x2y2(2)双曲线3－6＝1的右焦点为F2(3,0)，因此经过双曲线右焦点F2且倾斜角为30°的x2y2－＝1，3362直线的方程为y＝3(x－3)．联立3得5x＋6x－27＝0.设A(x1，y＝3x－，62716227y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－5，x1x2＝－5.因此|AB|＝1＋3×－5－4×－5＝1635.11．已知双曲线的中心在原点，焦点1，2在座标轴上，离心率为2，且过点(4，－FF．点M(3，m)在双曲线上．求双曲线的方程；→求证：MF1·MF2＝0；求△F1MF2的面积．分析(1)由于e＝2，因此双曲线的实轴、虚轴相等．则可设双曲线方程为x2－y2＝λ.由于双曲线过点(4，－10)，因此16－10＝λ，即λ＝6.因此双曲线方程为x2y26－＝1.6→→(2)证明：不如设1，2分别为左、右焦点，则1＝(－23－3，－)，2＝(23－3，FFMFmMF→→2212＋23)×(3－－m)．因此MF·MF＝(323)＋m＝－3＋m，由于M点在双曲线上，因此922→→－m＝6，即m－3＝0，因此MF1·MF2＝0.(3)△FMF的底|FF|＝43.由(2)知m＝±3.因此△FMF的高h＝|m|＝3，因此S12121213＝6.△12＝×43×FMF2x2y212．已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的右焦点为F(c,0)．(1)若双曲线的一条渐近线方程为y＝x且c＝2，求双曲线的方程；(2)以原点O为圆心，c为半径作圆，该圆与双曲线在第一象限的交点为A，过A作圆的切线，斜率为－3，求双曲线的离心率．分析(1)由于双曲线的渐近线方程为y＝±bx，因此a＝b，因此c2＝a2＋b2＝2a2＝4，a2222xy因此a＝b＝2，因此双曲线方程为－＝1.22(2)设点A00y0·(－0＝0的坐标为(x，y)，因此直线AO的斜率知足x03)＝－1，因此x3y，①依题意，圆的方程为x2＋y2＝c2，将①代入圆的方程得302＋y02＝c2，即y0＝1，因此x0y2c3212323c，14c4c32212222＝2c，因此点A的坐标为2c，代入双曲线方程得a2－b2＝1，即4bc－4ac＝ab，②22222234224c4又由于a＋b＝c，因此将b＝c－a代入②式，整理得4c－2ac＋a＝0，因此3ac222－8a＋4＝0，因此(3e－2)(e－2)＝0，由于e＞1，因此e＝2，因此双曲线的离心率为2.13．[选做题](2019·长沙二中月考)在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，且|AB|＝2，|AD|＝1，||＝2，此中x∈(0,1)，以，B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1，以，DCDxAC为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2，若对随意x∈(0,1)，不等式t＜e1＋e2恒建立，则t的最大值为()A.3B.5C．2D.2B分析由平面几何知识可得|BD|＝|AC