第2章控制系统状态空间表达式的解

第二章控制系统状态空间表达式的解本章要点：状态转移矩阵§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）一．零输入响应系统的状态方程为当系统输入为零时，系统状态方程为齐次方程：齐次方程的解就是由初始状态引起的自由运动，称为自由解，又称为零输入响应。

§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）

§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）结论：设（2－1）式中，为n维向量，A为n×n维常阵。定义n×n的矩阵指数函数：则（2－1）式所描述的线性定常系统的零输入响应为：证明：令方程（2－1）的解为系数向量待定的一个幂级数，即其必满足方程（2－1），将上式代入方程（2－1）可得

§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）比较可得：

代入（2－2）式可得：由初始条件：可得：，故

§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）线性定常系统零输入响应的几点说明：1).如果t取某个固定值，零输入响应就是状态空间中由初始状态经线性变换阵所导出的一个变换点。系统的自由运动就是由初始状态出发，并由各个时刻的变换点所组成的一条轨线。2).零输入响应轨线的形态由矩阵指数函数唯一地确定；3).线性定常系统渐进稳定的充要条件是：(系统渐进稳定的条件是：当时，自由运动的轨迹将趋于系统的平衡状态，即状态空间的原点)4).求解零输入响应的核心是计算矩阵指数函数。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）二．矩阵指数函数的性质和计算方法1.矩阵指数函数的性质由矩阵指数函数的定义：可得以下一些基本性质：①§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）证明：③矩阵指数函数的逆：证明：因为所以②令和为两个自变量，则必成立：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）④矩阵指数函数对t的导数为：

证明：⑤设有n×n维常阵A和B，如果A和B是可交换的，即AB=BA，则必成立：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）

而

因此：

证明：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）2.矩阵指数函数的计算方法方法一：根据的定义直接计算。方法二：将A阵化为对角标准型或约当标准型求解1.A的特征值为两两互异若A的n个特征值两两互异，则在求出使A阵实现对角化的变换阵后，即有指数函数矩阵：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）

证明：由可得证毕。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）2.A的特征值存在重根若A的n个特征值为：，则在求出使A阵为约当标准型：其中：为阵的变换阵后，即有指数函数矩阵：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）其中证明：证明的思路与1相同。由可得§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）证明：由指数函数矩阵的定义有：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）而

§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）方法三：拉氏变换法证明：由指数矩阵的定义：对上式取拉氏反变换：得证。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）方法四：应用凯莱－哈迷尔顿定理将表示为一个多项式若A的特征值两两互异，则多项式的系数可按下式计算：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）其中：若A的n个特征值为：，则系数可按下式计算：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）证明：1.凯莱－哈迷尔顿定理设，其特征多项式为：则矩阵A必满足其特征多项式，即由凯莱－哈迷尔顿定理可表示为的线性组合,即进而有：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）这样均可表示为的线性组合。故有：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）若A的特征值两两互异，则有因此：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）即:§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）比较等式两边可得写成矩阵形式：§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）即有：对于有重根的情况，可类似地方法证明。得证。§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）例设系统矩阵为：按照矩阵指数函数的定义和拉氏变换法求。解：（1)用定义计算§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）（1)用拉氏变换法计算由§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）解：矩阵A的特征方程为解得系统特征根为：化A为约当标准型的变换阵为：例用标准型法计算系统矩阵的矩阵指数函数§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）于是：

§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）解：矩阵A的特征方程为解得系统特征根为：例用凯莱－哈密尔顿法计算系统矩阵的矩阵指数函数§2－1线性定常齐次状态方程的解（自由解）于是：

§2－2状态转移矩阵

一.状态转移矩阵的定义

定义：对于给定的线性定常系统其中，x为n维状态向量，称满足如下矩阵方程的n×n解阵为系统的状态转移矩阵。求解矩阵微分方程可得，状态转移矩阵为：当时，状态转移矩阵可表示为§2－2状态转移矩阵

l.系统的零输入响应可用状态转移矩阵表示：或2.状态转移矩阵的物理意义：

状态转移矩阵实质上就等于矩阵指数函数，之所以将矩阵指数函数命名为状态转移矩阵，是为了便于对状态空间表达式的求解过程有一个更深刻的理解。

就是在零输入条件下将时刻的状态映射到时刻t的状态

的一个线性变换。§2－2状态转移矩阵

二.状态转移矩阵的性质1.分解性从到t的转移，可以看作是从转移到0，再从0转移到t的组合证明：2.可逆性状态转移矩阵的逆意味着状态向量按时间的逆向转移。证明：3.传递性一个转移过程可以分解为若干个小的转移过程。即从到的转移等于从转移到，再从转移到。§2－2状态转移矩阵

证明：

4.倍时性状态转移矩阵的k次方等于该转移矩阵的时间自变量扩大k倍。证明：§2－2状态转移矩阵

5.微分性和交换性状态转移矩阵与矩阵A的乘积是可以互换的。证明：三.状态转移矩阵的求法状态转移矩阵实质上就是矩阵指数函数，其求解方法在第一节已作了介绍。§2－2状态转移矩阵

求系统矩阵。例：已知线性定常系统的状态转移矩阵为：解：由状态转移矩阵的定义：可得：可得：§2－3线性定常系统非齐次方程的解

一.零状态响应结论：给定初始状态为零的线性定常系统其中，x为n维状态向量，u为r维输入向量，A和B分别为n×n和n×r常阵，那么系统的零状态响应可表示为：证明：

对上式两变从0到t进行积分，得到§2－3线性定常系统非齐次方程的解

由初值条件，等式两边左乘即得：二.线性定常系统的状态运动规律同时考虑初始状态和外输入作用的线性定常系统的运动规律，即状态方程的解可以表示为零输入响应和零状态响应的叠加，即§2－3线性定常系统非齐次方程的解

或写为更一般的形式：§2－3线性定常系统非齐次方程的解

三.线性定常系统的响应1.脉冲响应:2.阶跃响应:§2－3线性定常系统非齐次方程的解

作变量变换：

§2－3线性定常系统非齐次方程的解

3.斜坡响应:作变量变换：

§2－3线性定常系统非齐次方程的解

§2－4线性时变系统的解

一.时变系统状态方程解的特点对于线性时变系统的状态空间表达式可以表示为：为了求解时变系统的状态方程，先讨论一个时变的标量方程：解：对上式两边积分：§2－4线性时变系统的解

左边＝●齐次方程解为

成立的条件。§2－4线性时变系统的解

解为成立的条件为仅当时，，即右边§2－4线性时变系统的解

这个条件通常是不成立的，因此时变系统的自由解通常不能写成封闭形式。二.线性时变系统的零输入响应线性时变系统在零输入情况下，状态方程的解可表示为其中，称为时变系统的状态转移矩阵，是如下矩阵方程的解：（时变系统状态转移矩阵不仅是时间t的函数，也是初始时刻的函数。）§2－4线性时变系统的解

证明：将代入方程可得：故由可得，故得证。§2－4线性时变系统的解

三.状态转移矩阵的性质1.传递性证明：故有：2.可逆性证明：故有：3.唯一性当A(t)确定以后，是唯一的。（由状态转移矩阵的定义确定）§2－4线性时变系统的解

四.线性时变系统非齐次状态方程的解结论：线性时变系统的状态方程为且A(t)和B(t)的元素在时分段连续，则其解为：证明：应用叠加定理，状态方程的解可以看作是初始状态的转移与控制激励状态的转移之和，即设其解具有如下形式：只需将待定的激励状态求出即可，将上式代入系统的状态方程§2－4线性时变系统的解

因此，有在区间积分有：于是§2－4线性时变系统的解

令可得：故有：由于通常情况下，封闭形式的状态转移矩阵很难求得，上式的意义不在于计算的应用，而在于系统理论研究中的应用。§2－4线性时变系统的解

五.状态转移矩阵的计算因此由于通常情况下，由于通常情况下，故时变系统状态转移矩阵的计算一般采用级数近视法计算：§2－5连续时间状态空间表达式的离散化

§2－5连续时间状态空间表达式的离散化

●采样器的作用是将连续变量y(t)转换为离散变量y(k)；●保持器的作用是将离散信号u(k)变换为连续信号，保持器可分为零阶保持器、一阶保持器等；

线性连续系统的时间离散化问题的数学实质，就是在