最短路径问题

最短路径问题第一页，共23页。八年级上册13.4

课题学习最短路径问题第二页，共23页。看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏爱护草坪两点之间，线段最短第三页，共23页。将军饮马问题：

两点之间线段最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：

将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？

这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。第四页，共23页。P两点之间线段最短.

根据：BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？最短路线：将军饮马：A---P---B.第五页，共23页。

例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？AB河两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第六页，共23页。例2变式：已知：P、Q是△ABC的边AB、

AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第七页，共23页。草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地

OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？OMN(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部第八页，共23页。例3变式：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部第九页，共23页。例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部第十页，共23页。ABA/B/PQ最短路线：APQBlMN第十一页，共23页。例4变式：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，

试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部第十二页，共23页。......AA'BB'CDMON例4变式：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部第十三页，共23页。两点在一条河两侧例5.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使将军从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）BA(五)造桥选址问题第十四页，共23页。思维分析BA

1、如图假定任选位置造桥ＭＮ，连接ＡＭ和ＢＮ，从A到B的路径是AM+MN+BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ＭＮ

2、利用线段公理解决问题我们遇到了什么障碍呢？第十五页，共23页。

我们能否在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢？什么图形变换能帮助我们呢？思维火花各抒己见1、把A平移到岸边.2、把B平移到岸边.3、把桥平移到和A相连.4、把桥平移到和B相连.古有愚公移山，今有学子搬桥，呵呵!第十六页，共23页。上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢？请检验.合作与交流1、2两种方法改变了.怎样调整呢？把A或B分别向下或上平移一个桥长那么怎样确定桥的位置呢?第十七页，共23页。问题解决BAA1MN如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.Ｎ１Ｍ１由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN第十八页，共23页。问题延伸如图，A和B两地之间有两条河，现要在两条河上各造一座桥MN和PQ.桥分别建在何处才能使从A到B的路径最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河岸垂直）第十九页，共23页。思维分析如图，问题中所走总路径是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．桥MN和PQ在中间，且方向不能改变，仍无法直接利用“两点之间，线段最短”解决问题，只有利用平移变换转移到两侧或同一侧先走桥长.平移的方法有三种：两个桥长都平移到A点处、都平移到B点处、MN平移到A点处，PQ平移到B点处第二十页，共23页。思维方法

沿垂直于第一条河岸方向平移Ａ点至Ａ１点，沿垂直于第二条河岸方向平移Ｂ点至Ｂ１点，连接A1B1分别交A、B的对岸于N、P两点，建桥MN和PQ.最短路径AM+MN+NP+PQ+QB转化为AA1+A1B1+BB1.第二十一页，共23页。（2）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线，

将军饮马的实质：（