2022-2023学年高二数学 人教A版2019 选择性必修第三册 7-1-1 条件概率 课件（ 22张）

为了利用数学工具，并以简洁、统一的形式研究随机实验的规律，本章我们还将把随机试验的结果数量化，引入随机变量的概念.第七章随机变量及其分布概率是随机事件发生可能性大小的度量.在必修课程的概率学习中，我们结合古典概型，研究了简单随机事件及其概率的计算方法，并讨论了概率的一些性质.本章将在此基础上，结合古典概型，研究随机事件的条件概率，建立概率的乘法公式和全概率公式，并用它们计算较复杂事件的概率.对离散型随机变量，我们主要研究其分布列及数字特征，并对二项分布、超几何分布进行重点研究.对于连续型随机变量，我们只研究服从正态分布的情况.通过用随机变量描述和分析随机试验,解决一些简单的实际问题,进一步体会概率模型的作用及概率思想和方法的特点.7.1条件概率与全概率公式7.1.1条件概率如果事件A与B不独立，如何表示积事件AB的概率呢？下面我们从具体问题入手.在必修“概率”一章的学习中，我们遇到过求同一试验中两个事件A与B同时发生(积事件AB)的概率的问题.当事件A与B相互独立时，有P(AB)=P(A)P(B).

问题1：某个班级有45名学生，其中男生、女生的人数及团员的人数如下表所示：在班级里随机选择一人做代表：(1)选到男生的概率是多少？(2)如果已知选到的是团员,那么选到的是男生的概率是多少？团员非团员合计男生16925女生14620合计301545

随机选择一人做代表,则样本空间Ω包含45个等可能的样本点.用A表示事件“选到团员”,B表示事件“选到男生”,根据表中的数据可以得出,n(Ω)=45,n(A)=30,n(B)=25.(1)根据古典概型知识可知，选到男生的概率

问题1：某个班级有45名学生，在班级里随机选择一人做代表：(2)如果已知选到的是团员,那么选到的是男生的概率是多少？(2)“在选到团员的条件下，选到男生”的概率就是“在事件A发生的条件下，事件B发生”的概率，记为P(B|A).此时相当于以A为样本空间来考虑事件B发生的概率，而在新的样本空间中事件B就是积事件AB，包含的样本点数n(AB)=16.根据古典概型知识可知，基础预习初探问题2：假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有两个小孩的家庭

.

随机选择一个家庭,那么：(1)该家庭中两个小孩都是女孩的概率是多大？(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？观察两个小孩的性别,用b表示男孩,g表示女孩,则样本空间Ω={bb，bg，gb，gg},且所有样本点是等可能的.用A表示事件“选择的家庭中有女孩”,B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”,则A={bg，gb，gg}，B={gg}.(1)根据古典概型知识可知，该家庭中两个小孩都是女孩的概率基础预习初探问题2:(2)如果已经知道这个家庭有女孩，那么两个小孩都是女孩的概率又是多大？则样本空间Ω={bb，bg，gb，gg},用A表示事件“选择的家庭中有女孩”,B表示事件“选择的家庭中两个孩子都是女孩”,则A={bg，gb，gg}，B={gg}.(2)“在选择的家庭有女孩的条件下,两个小孩都是女孩”的概率就是“在事件A发生的条件下,事件B发生”的概率,记为P(B|A).此时A成为样本空间,事件B就是积事件AB.根据古典概型知识可知，基础预习初探在上面两个问题中，在事件A发生的条件下，事件B发生的概率都是这个结论对于一般的古典概型仍然成立.事实上,如下图所示,若已知事件A发生,则A成为样本空间.此时,事件B发生的概率是AB包含的样本点数与A包含的样本点数的比值,即ABABΩ

一般地,设A,B为两个随机事件,且P(A)>0,我们称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率，简称条件概率.探究！在问题1和问题2中,都有P(B|A)≠P(B).一般地，

P(B|A)与P(B)不一定相等.如果P(B|A)与P(B)相等，那么事件A与B应满足什么条件？直观上看,当事件A与B相互独立时,事件A发生与否不影响事件B发生的概率，这等价于P(B|A)=P(B)成立.反之，若P(B|A)=P(B)，且P(A)>0，则：事实上,若事件A与B相互独立,

即P(AB)=P(A)P(B)，且P(A)>0，则：因此,当P(A)>0时,当且仅当A与B相互独立时,有P(B|A)=P(B).即事件A与B相互独立.思考?对于任意两个事件A与B,如果已知P(A)与P(B|A),如何计算P(AB)呢？我们称上式为概率的乘法公式.由条件概率的定义,对任意两个事件A与B,若P(A)>0,则P(AB)=P(A)P(B|A).条件概率只是缩小了样本空间,因此条件概率同样具有概率的性质.

设P(A)>0，则

(1)P(Ω|A)=1；(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)；分析:如果把“第1次抽到代数题”和“第2次抽到几何题”作为两个事件,那么问题(1)就是积事件的概率,问题(2)就是条件概率.可以先求积事件的概率,再用条件概率公式求条件概率;也可以先求条件概率,再用乘法公式求积事件的概率.例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题”就是事件AB.从5道试题中每次不放回地随机抽取2道，试验的样本空间Ω包含20个等可能的样本点，即解法1:设A=“第1次抽到代数题”,B=“第2次抽到几何题”.例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.解:设A=“第1次抽到代数题”,B=“第2次抽到几何题”.(2)“在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题”的概率就是事件A发生的条件下，事件B发生的概率.

例1在5道试题中有3道代数题和2道几何题,每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.求:

(1)第1次抽到代数题且第2次抽到几何题的概率；

(2)在第1次抽到代数题的条件下,第2次抽到几何题的概率.解:设A=“第1次抽到代数题”,B=“第2次抽到几何题”.解法2：在缩小的样本空间A上求P(B|A).已知第1次抽到代数题，这时还余下4道试题，其中代数题和几何题各2道.因此，事件A发生的条件下，事件B发生的概率为利用乘法公式可得从例1可知，求条件概率有两种方法：方法1：一种是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)；方法2：另一种是根据条件概率的直观意义，增加了“A发生”的条件后，样本空间缩小为A，求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率。

例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？分析：要知道中奖概率是否与抽奖次序有关，只要考察甲、乙、丙3名同学的中奖概率是否相等.因为只有1张有奖,所以“乙中奖”等价于“甲没中奖且乙中奖”,“丙中奖”等价于“甲和乙都没中奖”，利用乘法公式可求出乙、丙中奖的概率.

例2已知3张奖券中只有1张有奖，甲、乙、丙3名同学依次不放回地各随机抽取1张.他们中奖的概率与抽奖的次序有关吗？解:用A,B,C分别表示甲、乙、丙中奖的事件，则因为P(A)=P(B)=P(C),所以中奖的概率与抽奖的次序无关.事实上,在抽奖问题中,无论是放回随机抽取,还是无放回随机抽取，中奖的概率与抽奖的次序无关.

例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)若记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率.分析:最后1位密码“不超过2次就按对”等价于“第1次按对，或者第1次按错第2次按对”.因此，可以先把复杂事件用简单事件表示，再利用概率性质求解.解:(1)设Ai=“第i次按对密码”(i=1，2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为

例3银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时，忘记了码的最后1位数字.求：(1)任意按最后1位数字，不超过2次就按对的概率；(2)若记得密码的最后1位是偶数,不超过2次就按对的概率.

解:(1)设Ai=“第i次按对密码”(i=1，2)，则事件“不超过2次就按对密码”可表示为

(2)设B=“最后1位密码为偶数”，则