线性定常系统的设计与综合课件

第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合1.状态空间设计法的基本思路、线性反馈控制系统的基本结构及特性2.状态反馈的极点配置和输出反馈的极点配置3.系统解耦4.状态观测器观测器基本概念及其意义；全维状态观测器的设计方法；降维状态观测器的设计方法。5.带状态观测器的状态反馈系统设计方法第五章线性定常系统的设计与综合本章内容（1）系统分析（2）系统综合在建立数学模型的基础上分析系统的各种性能,如系统稳定性，能观性，能控性等及其与系统的结构、参数和外部作用之间的关系。系统综合的任务是设计系统控制器，寻求改善系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项性能指标要求都得到满足。现代控制理论研究的两大课题控制系统的分析(SystemAnalysis)和综合设计(SystemSynthesis)是系统研究的两大课题。第五章线性定常系统的设计与综合（2）系统综合常规综合(ConventionalSynthesis)

只满足系统的某些笼统的指标要求，如稳定性、快速性及稳态误差;最优综合(OptimalSynthesis)。

最优综合（控制）是确保系统某种指标最优的综合，如最短时间、最低能耗等。状态反馈和状态观测器设计。状态反馈与闭环极点配置；状态反馈对可控性和可观测性的影响；状态反馈下闭环系统的镇定问题；输出反馈与极点配置；状态观测器设计；解耦控制。第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合1）综合问题给定系统状态空间描述A、B、C均为常阵且给定。再给出所期望的性能指标：1）对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。2）对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小（或极大）值的一个性能函数。综合：寻找一个控制作用u，使得在其作用下，系统运动的行为满足所给出的期望性能指标。（2）系统综合第五章线性定常系统的设计与综合一般u依赖于系统的实际响应。形式为：u=-kx+v状态反馈控制（2）u=-Fy+v输出反馈控制（3）其中：k为p×n常阵，状态反馈矩阵。F为p×q常阵，输出反馈矩阵。

v—参考输入向量。2）性能指标的类型性能指标非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达到或好于期望指标就算实现了综合目标。优化型性能指标：是一类极值型指标，综合的目的是要使性能指标在所有可能值中取为极小（或极大）值。第五章线性定常系统的设计与综合3）研究综合问题的思路1建立可综合的条件：建立相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，使相应的控制存在，并实现综合目标所应满足的条件。2建立起相应的用以综合控制规律的算法。利用这些算法，对满足可综合条件的问题，确定出满足要求的控制规律，即确定出相应的状态反馈和输出反馈矩阵。第五章线性定常系统的设计与综合5.1线性定常系统的反馈 与经典控制理论一样，现代控制系统中仍然主要采用反馈控制结构------在抗干扰性或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远优于非反馈或开环系统。第五章线性定常系统的设计与综合经典控制理论中主要采用输出反馈以改善系统性能，而现代控制中除了利用输出反馈以外，主要采用内部状态反馈。采用状态反馈可以为系统控制提供更多的信息反馈，不但可以实现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现系统解耦和形成最优控制规律。反馈的两种基本形式状态反馈输出反馈第五章线性定常系统的设计与综合受控系统线性反馈规律通过状态反馈构成闭环系统第五章线性定常系统的设计与综合一般D=0，可化简为闭环传递函数矩阵为状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统的特征值，从而使系统获得所要求的性能。第五章线性定常系统的设计与综合二输出反馈输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有两种基本结构。一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端，或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。第五章线性定常系统的设计与综合值得注意的是，从结构图看，这两种结构之间可通过等效变换进行相互转换。例如，可将图5-2中的反馈信号回馈点移到输入矩陈B的前端，如图5-4所示。这样，图5-3和图5-4具有相同的结构型式。只是，在图5-4中的反馈矩阵为H／B，而在图5-3中的为H。但是，由于多输入—多输出系统中，B和H均是矩阵，而二个矩阵相除(或相乘)不一定有解。因此，图5-2所表示的系统与图5-4所表示的系统，在实际的工程系统中，不一定具有等效性。图5-4图5-21.输出反馈至输入处方块图：第五章线性定常系统的设计与综合HB通过输出反馈构成的闭环系统为(D=0)通过输出反馈构成的闭环系统为(D≠0)第五章线性定常系统的设计与综合闭环传递函数矩阵或状态反馈和输出反馈对比输出反馈中的HC与状态反馈中的K相当。但由于m＜n，所以H可供选择的自由度远比K小，因而输出反馈只能相当于一种部分状态反馈。只有当C＝I时，HC＝K，才能等同于全状态反馈。因此，在不增加补偿器的条件下，输出反馈的效果显然不如状态反馈系统好。但输出反馈在技术实现上的方便性则是其突出优点。两者比较：状态反馈效果较好；输出反馈实现较方便。第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合闭环系统的传递函数阵从式(5-21)看出，通过选择矩阵G也能改变闭环系统的特征值，从而影响系统的特性。第五章线性定常系统的设计与综合三对两种反馈形式的讨论1）两种形式反馈的重要特点是，反馈的引入并不增加新的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。2）两种反馈闭环系统均能保持反馈引入前的能控性，但是对于状态能观测性则不然，状态反馈的引入不一定保持原系统的能观测性，而输出反馈的引入，必能保持原系统的能观测性。第五章线性定常系统的设计与综合是X的重构状态，阶数小于等于X的阶数。2、带有补偿器的输出反馈系统方块图：

闭环系统阶数为受控系统与补偿器阶数之和。补偿器阶数<受控系统阶数.第五章线性定常系统的设计与综合五.状态反馈的能控性和能观测性线性定常系统方程为（6）引入状态反馈（7）则有（8）第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合定理输出反馈不改变原受控系统的能控性和能观测性。证明因为输出反馈中的HC等效于状态反馈中的K,那么输出反馈也保持了受控系统的能控件不变。关于能观测性不变，可由能观测性判别矩阵判别。可以把反馈后的能观矩阵看作经初等变换的结果，而初等变换不改变矩阵的秩，因此能观测性保持不变。第五章线性定常系统的设计与综合一、问题的提出：1、极点对系统特性的影响2、极点配置问题：通过状态反馈矩阵K的选择，使闭环系统(A-BK,B,C)的极点，即(A-BK)的特征值恰好处于所希望的一组极点位置上。3、希望极点选取的原则1）n维控制系统有n个希望极点；2）希望极点是物理上可实现的，即为实数或共轭复数对；3）希望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响，及与零点分布状况的关系。4）希望极点的选取还须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求。5.2SISO反馈系统的极点配置第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合二状态反馈方式的极点配置１定理用状态反馈任意配置系统闭环极点的充要条件是系统可控。第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合－－－确定状态反馈增益矩阵K

２爱克曼公式(Ackermann’sFormula)对任一正整数n，有 为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方程。第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合式中利用状态反馈控制极点为s=-2±j4和s=-10。试确定状态反馈增益矩阵K。例:考虑如下线性定常系统，希望该系统的闭环第五章线性定常系统的设计与综合首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性矩阵为：得detQ=-1。因此，rankQ=3。该系统是状态完全能控的，可任意配置极点。设期望的状态反馈增益矩阵为并使和期望的特征多项式相等，可得期望的特征方程为：第五章线性定常系统的设计与综合因此从中可得或第五章线性定常系统的设计与综合利用爱克曼公式,可得由于且第五章线性定常系统的设计与综合可得第五章线性定常系统的设计与综合三输出反馈方式的极点配置定理：对完全能控的单输入－单输出系统，不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配置．AHCB第五章线性定常系统的设计与综合定理：通过输出至状态微分的反馈可任意配置全部闭环极点的充要条件为：该系统完全可观测。AHCB三输出反馈方式的极点配置第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合如果系统不完全可控，状态反馈可任意配置闭环极点的个数等于系统的可控子空间维数；单输入系统的状态反馈阵K唯一；状态可控的SISO系统，引入状态反馈配置闭环极点时，一般不改变系统传递函数零点，除非系统传递函数出现零极相消；对于SISO系统，引入状态反馈将影响系统的稳定性；状态完全可控的线性定常系统采用输出反馈一般不能任意配置闭环全部极点。说明第五章线性定常系统的设计与综合５.３系统的镇定所谓镇定问题是指受控系统状态反馈能镇定：如果一个系统通过状态反馈能使其渐近稳定则称系统是状态反馈能镇定的。输出反馈能镇定：如果一个系统通过输出反馈能使其渐近稳定则称系统是输出反馈能镇定的。镇定问题是极点配置问题的一种特殊情况。其设计目标是使闭环极点分布在复平面左侧，而不是严格位于指定的位置。显然，为了使系统镇定，只需将那些不稳定因子即具非负实部的极点配置到根平面左半部即可。因此，在满足某种条件下，可利用部分状态反馈来实现。通过反馈使闭环系统的极点具有负实部，使系统渐近稳定。第五章线性定常系统的设计与综合一、渐近稳定渐近稳定：线性定常系统的渐近稳定与经典控制理论中的稳定性一致。-初始状态-平衡状态图5-2二维空间渐近稳定的几何解释第五章线性定常系统的设计与综合二、状态反馈可镇定定义5.1（状态可镇定定义）：对于线性定常系统，如果存在状态，使得闭环系统是渐近稳定的，则称此系统是状态可镇定的。反馈增益矩阵结论：如果完全可控，则它必然是可镇定的。但是一个可镇定的系统未必是完全可控的。第五章线性定常系统的设计与综合定理：线性定常系统是状态可镇定的充要条件是其不可控子系统是渐近稳定的第五章线性定常系统的设计与综合【例】已知系统状态方程为试判别其是否为可镇定的。若是可镇定的，渐近稳定的。试求一状态反馈增益矩阵使闭环系统为第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合三输出反馈可镇定定理：线性定常系统是输出反馈可镇定的充要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的；其余子系统是渐近稳定的。系统可控可观测部分为可镇定的。系统可控不可观测、不可控可观测和不可控不可观测三部分均为渐进稳定。第五章线性定常系统的设计与综合三输出反馈可镇定定理：线性定常系统是输出到微分处反馈可镇定的充要条件是原系统不能观子系统为渐进稳定。第五章线性定常系统的设计与综合5.4系统解耦解耦问题是多输入-多输出系统综合理论中的重要组成部分。设计目的：寻求适当的控制律，使输入输出相互关联的多变量系统实现每一个输出仅受相应的一个输入所控制，每一个输入也仅能控制相应的一个输出，这样的问题称为解耦问题。考虑系统其传递函数矩阵为，其输入输出之间有式中gij(s)是G(s)的第i行第j列元素。可见每一个输入控制多个输出，每个输出为多个输入所控制，这一现象我们称为耦合现象。这时，如果要在其他输出都不改变的情况下去调整每个输入，那么找出完成上述目的的一组输入u1,u2,…,un是不容易的。第五章线性定常系统的设计与综合一.解耦系统在现代化的工业生产中，不断出现一些较复杂的设备或装置，这些设备或装置的本身所要求的被控制参数往往较多，因此，必须设置多个控制回路对该种设备进行控制。由于控制回路的增加，往往会在它们之间造成相互影响的耦合作用，也即系统中每一个控制回路的输入信号对所有回路的输出都会有影响，而每一个回路的输出又会受到所有输入的作用。要想一个输入只去控制一个输出几乎不可能，这就构成了“耦合”系统。由于耦合关系，往往使系统难于控制、性能很差。第五章线性定常系统的设计与综合解耦控制所谓解耦控制系统，就是采用某种结构，寻找合适的控制规律来消除系统种各控制回路之间的相互耦合关系，使每一个输入只控制相应的一个输出，每一个输出又只受到一个控制的作用。典型的解耦控制系统结构示意图如下。-解耦控制器y待解耦系统u第五章线性定常系统的设计与综合工程实例一：飞机飞机在飞行中我们感兴趣的输出量是俯仰角、水平位置和高度，控制输入变量是三个机翼的偏转。因为三个输出量之间有耦合，如果要同时操纵三个输入量并成功地控制飞机，要求驾驶员有相当高的技巧。如果系统实现了解耦，就为驾驶员提供了三个独立的高稳定性的子系统，从而可以独立地调整其俯仰角、水平位置和高度。第五章线性定常系统的设计与综合解耦控制的基本原理分析多变量系统的耦合关系可以看出，控制回路之间的耦合关系是由于对象特性中的子传递函数gij(s),i

j，i,j=1,2,…,n造成的。若

是一个非奇异对角形有理多项式矩阵，则该系统是解耦的。寻找消除耦合的办法实际就是使系统传递函数阵对角化，这样就在实际系统中消除了通道间的联系，简化了结构的设计，因而具有实际意义。第五章线性定常系统的设计与综合从信号观点看解耦后的系统，一个被控量只受一个控制量的控制，与其他控制量无关；从结构看解耦后的系统，原耦合的多变量系统变成为彼此相互独立的单输入单输出系统。g11(s)g21(s)gn1(s)y1y2ynu1u2un解耦系统示意图第五章线性定常系统的设计与综合解耦控制的基本原理第五章线性定常系统的设计与综合要完全解决解耦问题，必须回答两个方面问题:一是确定系统能够被解耦的充要条件，即能解耦性的判别问题;二是确定解耦控制律和解耦系统的结构，即解耦系统的具体综合问题。这两个问题的解决随着解耦方法的不同而不同。二.实现解耦的方法这是一种最简单的方法，只需在待解耦系统中串联一个前馈补偿器，使串联组合系统的传递函数矩阵称为对角线形的有理函数矩阵。这种方法将使系统的维数增加。

这种方法虽然不增加系统的维数，但是可以采用状态反馈实现解耦的条件要比前馈补偿器解耦苛刻得多。前馈补偿器解耦状态反馈解耦-Gc(s)yG(s)uG

*(s)为给定对角阵第五章线性定常系统的设计与综合1.前馈补偿器解耦2.状态反馈解耦第五章线性定常系统的设计与综合现在研究的问题是如何设计K和F，使系统从V到Y是解耦的。应当指出，使系统解耦的矩阵K并不是唯一的，K的这种不唯一性可用来同时满足配置极点的要求。第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合和定理：系统可采用状态反馈和输入变换，即存在矩阵对{K,F}进行输入输出解耦的充分必要条件是如下pp常阵为非奇异(detE0)。能解耦性判据第五章线性定常系统的设计与综合3.积分型解耦系统第五章线性定常系统的设计与综合当选取{K,F}为时，必可使系统解耦，且解耦系统的传递函数矩阵为解耦后每个单输入单输出系统的传递函数均具有多重积分器的特性，因此称这类形式的解耦为积分型解耦。3.积分型解耦系统第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合例5-9系统方程如下，要求用状态反馈实现系统解耦。1）系统传递函数矩阵为解2）判断系统能解耦性因为，系统能解耦。第五章线性定常系统的设计与综合3）因此第五章线性定常系统的设计与综合4）状态反馈的方程为上面介绍的是积分解耦系统。而对于实际工程系统来说，要求系统为李亚普诺夫意义下渐近稳定。第五章线性定常系统的设计与综合状态观测器又称状态渐近估计器、重构器。为了实现状态反馈，须对状态变量进行测量，但在实际系统中，并不是所有的状态变量都能测量到的。 为了实现状态反馈控制律，设法利用巳知的信息（输入量及输出量），通过一个模型来对状态变量进行估计，即利用输出量和输入量通过状态观测器来重构状态。第五章线性定常系统的设计与综合5.5状态观测器第五章线性定常系统的设计与综合

一、状态观测器的基本思想1、状态重构的必要性2、状态重构的可能性状态重构问题：能否从系统的可量测参量，如输入u和输出y来重新构造一个状态，使之在一定的指标下和系统的真实状态X等价。状态重构在满足一定条件下是可行的。因为如果是完全能观测的第五章线性定常系统的设计与综合那么根据输出y的测量，可以唯一地确定出系统的初始状态，而系统任意时刻的状态所以只要满足一定的条件，即可从可测量y和u中把x间接重构出来。3、等价性指标构造动态系统原系统构造动态系统与原系统在结构与参数上相同第五章线性定常系统的设计与综合其解：——原系统初始状态——重构状态的初始状态如，必有完全等价。但实际很难，一般因而不能完全等价。但只要系统稳定，即A特征值均具有负实部，就可做到是稳态等价的，即4、观测器的结构形式上述并未完全解决状态重构的问题，因系统状态是不能直接量测，因此很难判断是否逼近X。另一方面不一定能第五章线性定常系统的设计与综合

因而我们得到了状态观测器的一般结构形式：保证A的特征值均具有负实部，为此我们用对输出量间的差值的测量来代替对的测量，而且当时有这样构成的重构状态方程为第五章线性定常系统的设计与综合结构图：重构系统是原系统的可量测变量u和y为输入的一个n维线性定常系统。修正项。

结构图:改进结构形式第五章线性定常系统的设计与综合用表示真实状态和估计状态间的误差。所应满足的动态方程为上式表明，不管初始误差为多大，只要使矩阵（A-GC）的特征值均具有负实部，那么一定可做到即实现状态的渐近重构。二、观测器的定义1、定义：设线性定常系统的状态X是不能直接量测的，如果动态系统的输入u和输出y作为它的输入量；第五章线性定常系统的设计与综合的输出满足如下的等价性能指标

则称动态系统的状态观测器。2、构成系统观测器的原则1）观测器以原系统的输入和输出作为其输入。2）为了满足等价性指标，原系统应当是完全能观测的，或者x中不能观测的部分是渐近稳定的。3）的输出应有足够快的速度逼近X，这就要求有足够宽的频带。4）有较高的抗干扰性，这就要求有较窄的频带，因而快速性和抗干扰性是互相矛盾的，应择衷地加以兼顾。5）在结构上应尽可能地简单，即具有尽可能低的维数。三、观测器的存在性定理：线性定常系统状态观测器存在的充要条件是不能观测的部分是渐近稳定的。第五章线性定常系统的设计与综合

证：因不完全能观测，故可实行结构分解，状态方程具有如下形式：式中：为能观测状态；为不能观测部分；为的能观测部分。构造如下动态系统第五章线性定常系统的设计与综合

可通过适当地选择G,可使的特征值均具有负实部

对第二部分由此导出：第五章线性定常系统的设计与综合

满足等价指标，而等价于A22的特征值均具有负实部，即的不能观测部分是渐近稳定的。四、降阶观测器1.降阶观测器的维数定理5-5若系统能观测，且rankC=m，则系统的状态观测器的最小维数是(n-m)。（证明略）因为有m维可以通过观测y得到，因此有(n-m)维需要观测。对系统方程采用变换矩阵进行线性变换，第五章线性定常系统的设计与综合得到如下形式的系统方程可见可以通过观测到，需要对维的进行估计。因此，降阶观测器的维数为(n-m)2.降阶观测器存在的条件及其构成将（31）式改写成令第五章线性定常系统的设计与综合于是有(n-m)阶的子系统：以下构造这个子系统的状态观测器因为子系统能观测，所以，通过选择的参数，可以配置的特征值。第五章线性定常系统的设计与综合为了在观测器中不出现微分项，引入以下变换，即（37）式代入（36），得由于故因此，是的估计。状态图中第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合四、降维观测器第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合1、定理：线性定常系统，其观测器可以任意配置极点，即具有任意逼近速度的充分必要条件是为完全能观测。反馈阵为2、算法给定被估计系统设为能观测，再对所要设计的观测器指定一组期望极点则设计观测器的步骤为：5.6观测器的极点配置第五章线性定常系统的设计与综合方法一、1）导出对偶系统2）利用极点配置算法，对矩阵对来确定使

的反馈增益阵K。3）取4）计算（A-GC)，则所要设计的系统状态观测器就为

而即为X的估计状态。方法二、1）化一般形式为能观测规范形，变换矩阵为T。2）确定规范形所对应的反馈矩阵

第五章线性定常系统的设计与综合3）确定给定系统状态方程的反馈矩阵4）系统状态观测其为例：设线性定常系统的状态方程和输出方程为

试设计一个状态观测器，要求将其极点配置在解：方法一1）导出对偶系统第五章线性定常系统的设计与综合

2）确定反馈增益阵K第五章线性定常系统的设计与综合第五章线性定常系统的设计与综合3)

第五章线性定常系统的设计与综合方法二、1）化系统状态方程为能观测规范形

第五章线性定常系统的设计与综合能观测规范形第五章线性定常系统的设计与综合2）确定规范形所对应的反馈矩阵3）确定系统状态方程的反馈矩阵G

第五章线性定常系统的设计与综合

4)系统观测器方程第五章线性定常系统的设计与综合例:系统的动态方程为

试设计一个状态观测器，观测器的特征值要求设置在{-10,-10}。方法三：直接求解反馈阵第五章线性定常系统的设计与综合解：将观测器增益矩阵G写成

观测器的特征方程为第五章线性定常系统的设计与综合根据给定的特征值，可求出期望的多项式为比较上述两多项式中s的同次项系数得因此观测器的方程为第五章线性定常系统的设计与综合在极点配置的设计过程中，假设真实状态x(t)可用于反馈。然而实际上，真实状态x(t)可能无法测量，所以必须设计一个观测器，并且将观测到的状态用于反馈。因此，该设计过程分为两个阶段，第一个阶段是确定反馈增益矩阵K，以产生所期望的待征方程；第二个阶段是确定观测器的增益矩阵，以产生所期望的观测器特征方程。5.7带状态观测器的

状态反馈系统第五章线性定常系统的设计与综合若原系统(对象)方程为现以状态观测器所得到的状态估计值代替原系统的状态变量x形成状态反馈，即而观测器的方程为第五章线性定常系统的设计与综合由对象、观测器和状态反馈组合而成的闭环系统的方框图如图5-19所示。图5-19带观测器的状态反馈系统第五章线性定常系统的设计与综合将以上三式合并化简，可得取状态变量为第五章线性定常系统的设计与综合将(5-176)、(5-177)式的动态方程进行如下的坐标变换(5-178)所得到的动态方程为：(5-179)(5-180)第五章线性定常系统的设计与综合闭环系统的传递函数可以通过(5-179)式、(5-180)式来计算。从(5-179)式可知，这时闭环系统矩阵的特征式可计算如下(5-181)第五章线性定常系统的设计与综合上式表明,图5-19所示闭环系统的特征式等于矩阵A-bk与矩阵A-Gc的特征式的乘积，而A-bk是状态反馈系统的系统矩阵，A-Gc是观测器的系统矩阵，(5-181)式表明状态反馈系统的动态特性和观测器的动态特性是相互独立的。这个特点表明：若系统是可控、可观的，则可按闭环极点配置的需要选择反馈增益阵k，然后按观测器的动态要求选择G，G的选择并不影响已配置好的闭环传递函数的极点。因此系统的极点配置和观测器的设计可分开进行，这个原理通常称为分离定理。第五章线性定常系统的设计与综合由状态反馈（极点配置）选择所产生的期望闭环极点，应使系统能满足性能要求。观测器极点的选取通常使得观测器响应比系统的响应快得多。一个经验法则是选择观测器的响应至少比系统的响应快2~5倍。因为观测器通常不是硬件结构，而是计算软件，所以它可以加快响应速度，使观测状态迅速收敛到真实状态，观测器的最大响应速度通常只受到控制系统中的噪声和灵敏性的限制。注意，由于在极点配置中，观测器极点位于所期望的闭环极点的左边，所以后者在响应中起主导作用。第五章线性定常系统的设计与综合通常把反馈增益阵和观测器一起称为控制器图5-20控制器第五章线性定常系统的设计与综合希望用状态反馈使闭环的极点为-4±6j，并求实现这个反馈的状态观测器，观测器的极点设置在-10，-10。例1设系统传递函数为第五章线性定常系统的设计与综合解：由系统的传递函数可知,其二阶动态方程实现是可控且可观