影响线教学课件

第4章影响线及其应用欢迎使用第4章影响线及其应用理解影响线的概念；掌握作静定梁和桁架内力影响线的静力法；会用机动法作静定梁的影响线；会利用影响线求固定荷载作用下结构的内力和移动荷载作用下结构的最大内力；了解绘制简支梁的包络图和简支梁绝对最大弯矩的方法；了解利用机动法作连续梁内力的影响线；了解连续梁的包络图；了解超静定结构影响线作法。教学基本要求第4章影响线及其应用影响线的概念；静力法和机动法绘制影响线；利用影响线求移动荷载作用下的最大内力。用静力法作静定桁架的影响线；临界荷载的判别方法；包络图的绘制。

教学重点教学难点§4.1移动荷载和影响线的概念§4.3机动法作静定结构的影响线§4.4超静定结构影响线作法概述§4.2静力法作静定结构的影响线§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用§4.6最不利荷载位置的确定§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用§4.1移动荷载和影响线的概念一、移动荷载的概念

作用在结构上的荷载：恒载和活载。但在工程实际中，还存在大量的活载问题。其中有许多活荷载大小和作用方向都保持不变，但作用位置却不断变化通常称为移动荷载。

恒载作用下结构计算问题的特点是：荷载作用位置固定不变，结构的支座反力和任一截面的内力是固定不变的。

常见的移动荷载有两类：一、移动荷载的概念指一组排列、间距和数值保持不变的共同移动的集中力系，又叫行列荷载。如吊车轮压对吊车梁的作用，火车、汽车轮压对桥梁的作用。⑴移动的集中荷载第4章影响线及其应用§4.1移动荷载和影响线的概念在移动荷载作用下，即使不考虑结构的振动，结构的支座反力、各截面的内力和位移等（常通称为量值S）也将随着荷载位移x而变化。二、移动荷载作用所关注的问题

在给定的移动荷载作用下，结构的量值不仅与其所在位置有关，而且与荷载的位置有关。其特点是：

每个量值Sj

都随着荷载位置的移动而变化；每个量值Sj的变化规律和变化范围不尽相同；每个量值Sj

都有一个最大值

Smax，相应的荷载位置称为该量值的最不利荷载位置；所有截面同一量值的最大值中，总有一个最大者，称为结构最大该量值，例如绝对最大弯矩Mmax

。第4章影响线及其应用§4.1移动荷载和影响线的概念因此通常主要考虑以下三方面的问题：二、移动荷载作用所关注的问题第二，从以上各量值的变化规律中，找出使某一量值达到最大值时的荷载位置，称为荷载的最不利位置，并求出相应的最不利值。第三，确定结构各截面上内力变化的范围，即内力变化的上限和下限。这些也是本章的重点内容。第4章影响线及其应用§4.1移动荷载和影响线的概念第一，找出各量值S随荷载位置x变化的规律。若用函数表示，即为影响线方程S=S(x)；若用图形表示，即为下面将讨论的影响线。三、移动荷载的研究方法1、采用单位移动荷载（F=1）只要把单位移动荷载作用下的某一量值（例如某一反力、截面的某一内力或某一位移）的变化规律分析清楚了，然后根据线弹性结构的叠加原理，就可以顺利地解决各种移动荷载作用下的计算问题和最不利位置的确定问题。2、将动力移动荷载作为静力移动荷载看待实测分析表明，吊车荷载在构件中引起的位移和内力，要比相应的静力荷载引起的约大10%~30%。这样的动力影响，就通过采用相应的动力系数加以考虑。3、利用影响线这个研究移动荷载作用效应的基本工具第4章影响线及其应用§4.1移动荷载和影响线的概念§4.1移动荷载和影响线的概念§4.3机动法作静定结构的影响线§4.4超静定结构影响线作法概述§4.2静力法作静定结构的影响线§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用§4.6最不利荷载位置的确定§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图§4.2静力法作静定结构的影响线

影响线反映的是单位移动荷载位置x和某一量值S之间的对应关系，因此要想绘出影响线就必须先建立两者之间的函数关系，然后再作图。一般可遵循以下步骤：一、静力法绘影响线的基本思想

⑴取坐标系，设单位移动荷载F=1作用点的横坐标为x；

⑵用静力平衡条件求出量值S与x的关系S=S(x)，称为影响线方程；

⑶根据影响线方程画出影响线；

⑷注明正负号和控制点的数值。通常将正号竖标画在水平基线的上侧，负号画在下侧。其中关键是用静力平衡条件求影响线方程，故称静力法。第4章影响线及其应用1一、简支梁的影响线1、反力影响线ABlxF=1FAFB1FA影响线+FB影响线+

简支梁某支座反力影响线为一段直线；

画反力影响线就在该支座处向上取纵标1，在另一支座处取0。由平衡方程求影响线方程由影响线方程绘制影响线12yA1

yA2yB1

yB2绘制简支梁支座反力影响线规律：§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用一、简支梁的影响线xF=1FQC影响线ABlbaFBFAC13、剪力影响线

先在左支座A处取纵标1，再与右支座B连一直线；

然后在右支座B处取纵标-1，再与左支座A

连一直线；

由截面C引一向下竖线与前述两直线相交；

上述三直线与基线所围成的区域就是剪力FQC的影响线。1当F=1在C左侧移动时，

当F=1在C右侧移动时，绘制简支梁任意截面剪力影响线规律：xF=1+━§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用━━二、外伸梁的影响线1、反力影响线1FA影响线+FB影响线+ABll1l2FAFB§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用当F=1在跨内移动时，反力影响线与相应简支梁相同。xF=1当F=1在左伸臂移动时，当F=1在右伸臂移动时，F=1x1F=1x2当F=1在伸臂部分移动时，其反力影响线只需将相应简支梁的影响线向外伸部分延长即可。二、外伸梁的影响线2、截面C在跨内时的弯矩和剪力影响线与反力影响线相同，当截面C在跨内时，弯矩和剪力影响线只需将相应简支梁的影响线向外伸部分延长即可。xF=1MC影响线ab+CBAll1l2ba━━FQC影响线+━11+━cD3、截面D在外伸部分时的弯矩和剪力影响线为计算方便，取截面D为坐标原点，并规定水平向右为正，水平向左为负。§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用内力影响线与内力图的比较

内力影响线与内力图虽然有时在形状上很相似，但其意义却不同。下面以简支梁的弯矩影响线和弯矩内力图来说明。xF=1MC影响线ABlbaC+ab/lyDDxF=1kN弯矩图ABlbaC+ab/lyDD

MC影响线表示单位移动荷F=1在移动时截面C处弯矩的变化规律；而弯矩图则表示在固定荷载F=1kN的作用下梁上不同横截面上弯矩的变化规律。§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用内力影响线与内力图的比较xF=1MC影响线ABlbaC+ab/lyDDxF=1kN弯矩图ABlbaC+ab/lyDD影响线弯矩图作用位置横坐标竖坐标yD不变化变化单位移动荷载位置截面位置单位移动荷载移到D点时,产生的C截面的弯矩C点的固定荷载作用下,产生的D截面的弯矩单位移动荷载荷载实际固定荷载§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用三、结点荷载作用下主梁的影响线F=1ABl=4dddddCED主梁横梁纵梁

图示桥梁结构体系，荷载直接作用于纵梁，纵梁两端简支于横梁，而横梁支承于主梁上。荷载通过纵梁下面的横梁传给主梁，所以主梁只在横梁处（称作结点）承受集中力，因此主梁承受的是结点荷载。对主梁而言，荷载是间接作用的，称为间接荷载。FAFB

此时，主梁的反力影响线和结点处的弯矩影响线与相应简支梁受直接荷载作用时相同。下面以主梁上K点的弯矩影响线为例，说明间接荷载作用下主梁的影响线的作法。K§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用三、结点荷载作用下主梁的影响线

⑵当F=1移动到两个结点之间时，F=1F=1ABddddCEDFAKy1y2y3MK影响线(间接荷载)FB

主梁受的力是横梁传来的两个结点荷载FC和FD。ABCEDFCFDCDF=1由叠加原理得当x=0，MK=y1;当x=d，MK=y2。相邻结点间连一直线。x§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用三、结点荷载作用下主梁的影响线结论：F=1ABddddCEDFAKy1y2y3MK影响线(间接荷载)FB在结点处的竖标与直接荷载的影响线竖标相同；相邻两个结点之间影响线为一直线。用虚线画出直接荷载作用下的影响线；用实线连接相邻结点处的竖标，即得间接荷载作用下的影响线。

影响线作法：FQK影响线(间接荷载)11§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用CABKD2m2m2m2m2m2m2m2mF=1【例8-1】1影响线

影响线MD试作FA、MK、、、MD、的影响线。1m━1+§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用【解】CABDl

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lL=6lhEFGcabdefgFP=1四、静定桁架的影响线在桁架中，荷载一般是通过纵横梁系以集中荷载的形式作用在结点上，可以用图示等代梁的形式代替。下面以结点法和截面法为基础介绍间接荷载作用下影响线的静力作法。CABDL=6lEFGFP=1等代梁§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用四、静定桁架的影响线对于单跨静定梁式桁架，其反力影响线与单跨静定梁反力影响线完全一样。下面以图示下弦承受单位荷载FP=1的平行弦桁架为例，讨论桁架杆件内力的影响线。要点：将单位荷载分别置于各节点，求轴力影响线竖标；用结点法和截面法求杆件的轴力；将各节点的影响线竖标连以直线即可。§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用CABDl

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lL=6lhEFGcabdefgFP=1CABDl

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lL=6lhEFGcabdefg1、上弦杆轴力Fbc的影响线FP=1IIFAFG当FP=1在结点C以左时，取截面I-I右部分为隔离体。FP=1当FP=1在结点C以右时，取截面I-I左部分为隔离体。§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用CABDL=6lEFGFP=1等代梁CABDl

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lL=6lhEFGcabdefg1、上弦杆轴力Fbc的影响线IIFAFGFP=1━Fbc影响线下弦承载§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用FP=1CABDL=6lEFGFP=1等代梁CABDl

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lL=6lhEFGcabdefg2、下弦杆轴力FCD的影响线IIIIFAFG━§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用CABDL=6lEFGFP=1等代梁FP=1FP=1+FCD影响线下弦承载1CABDl

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lL=6lhEFGcabdefg3、斜杆轴力竖向分力FybC的影响线FAFG━II1+━FybC影响线下弦承载§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用CABDL=6lEFGFP=1等代梁FP=1FP=111CABDl

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lL=6lhEFGcabdefg4、竖杆轴力FcC的影响线FAFG━IIIIFcC影响线下弦承载§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用CABDL=6lEFGFP=1等代梁FP=1FP=1+━CABDl

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lL=6lhEFGcabdefg5、竖杆轴力FdD的影响线FAFGFdD影响线1━下弦承载上弦承载§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用CABDL=6lEFGFP=1等代梁FP=1FP=1━

任一轴力影响线在相邻结点之间为直线。单跨梁式平行弦桁架①弦杆内力影响线（由力矩法作出）可由相应简支梁结点（力矩法的矩心）弯矩影响线除以h得到。上弦杆为压下弦杆为拉。

②斜杆轴力的竖向分力和竖杆轴力影响线（由投影法作出）是梁被切断的载重弦节间剪力影响线。作桁架影响线时要注意区分是上承，还是下承。③静定结构某些量值的影响线，常可转换为其它量值的影响线来绘制。§4.2静力法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用静定桁架的影响线作法小结§4.1移动荷载和影响线的概念§4.3机动法作静定结构的影响线§4.4超静定结构影响线作法概述§4.2静力法作静定结构的影响线§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用§4.6最不利荷载位置的确定§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图优点：可不经过计算就能得到影响线的轮廓，从而迅速确定最不利荷载位置；也可用来校核用静力法作的影响线。机动法作静定结构的影响线理论基础：刚体体系的虚位移原理。基本原则：把作支座反力或内力影响线的静力问题转化问题转化为作刚体位移图的几何问题。§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用机动法作影响线的原理

现以简支梁支座反力FB为例，运用刚体体系的虚位移原理说明机动法作影响线的原理和步骤。SABxFP=1

拆除与FB相应的约束，代以约束力S=FB，这时体系有一个自由度，图(b)。（a）（b）

沿S正向给体系以虚位移，图(b)。δSδP

δS——与未知力S相应的位移，以与S正向一致者为正。

δP——与单位荷载FP=1相应的位移，以与FP=1正向一致者为正。列虚功方程SδS+FPδP=0由于FP=1，所以FP=1S

=-P/S§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用42机动法作影响线的原理SABxF=1（a）（b）δSδP

当FP=1移动时，位移δP也随FP=1的位置变化而变化，是荷载位置参数x的函数；而δS则与x

无关，是一常数。因而

这里S(x)表示S随FP=1位置x变化而变化的规律，即是S的影响线(方程)；而δP(x)是单位荷载作用点的竖向位移图。

由此可知，S的影响线竖标与荷载作用点位移成正比，或者说，由δP可得到S的影响线的形状。F=1F=1δPS

=-P/SS

=-P(x)/S§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用43SABxF=1（a）（b）δSδP为方便起见，令虚位移δS=1，则

S(x)=－δP(x)即单位虚位移图就是S的影响线，唯符号相反。F=1F=1δP（c）

正负号规则：由于δP以向下为正，即在梁轴线(横坐标轴)的下方为正，所以，S在横坐标轴的上方为正，如图(c)所示。δPS1（+）FB影响线S影响线即是FB影响线S

=-P(x)/S§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用机动法作影响线一般步骤：

去掉与量值对应的约束，使梁成为可变体系；

使体系沿量值的正方向发生单位位移，根据剩余约束条件作出梁的刚体位移图，即为欲求量值的影响线；

确定影响线各控制纵标值。基线以上取正号，以下取负号。§4.3机动法作静定结构的影响线ABlxF=1FAFB1FB影响线+一、反力影响线ABlFB=11将支座B去掉，以反力FB代替，在剩余的约束条件下，允许产生刚体运动。FB=(x)此式表明，梁产生单位虚位移时的几何图形反映了反力的变化规律，因此反力影响线完全可以由梁的虚位移的几何图形来替代。令B点沿FB正方向（设向上为正）发生微小的单位虚位移

=1。第4章影响线及其应用显然有：二、弯矩影响线F=1FBFAABlbaCMC影响线+ABC=+=1ba三、剪力影响线F=1FBFAABlbaC11FQC影响线+━AB1§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用=1━F=1CBAll1l2baF=1BAll1l2bacD【例8-2】试作外伸梁截面C、D处弯矩和剪力的影响线。MC影响线+━FQC影响线+━+━MC1MD影响线━cFQD影响线MD1━【解】§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用F=1BAll1l2baF=1BAll1l2ba【例8-3】试作外伸梁截面A、B处剪力的影响线。━1━影响线影响线━++1F=1BAll1l2baF=1BAll1l2ba1+影响线1━+━影响线【解】§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用【例8-4】【解】试作FC、MB、、ME的影响线。CABD3mF=13m2m2m2m2mEGH§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用CADEHG11/2ME影响线ME━＋CADHG11/2FQD影响线━＋FC影响线CADGH14/32/3＋━CABDHG1.510.5MB影响线━【例8-5】【解】试作MA、MC、、

的影响线。CABD4mF=12m6mE4m§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用24MA影响线CABDE=1MA━＋CABEMC影响线MC=12D━影响线CABE1D0.5━━1影响线CABE＋【例8-6】试作图示刚架中MB、ME、的影响线。CABDaF=1a2aE2aCABDME影响线a=1MEE1CABDE影响线CABD§4.3机动法作静定结构的影响线第4章影响线及其应用a━MB影响线1＋MB【解】2a=12a-§4.1移动荷载和影响线的概念§4.3机动法作静定结构的影响线§4.4超静定结构影响线作法概述§4.2静力法作静定结构的影响线§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用§4.6最不利荷载位置的确定§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图§4.4超静定结构影响线作法概述第4章影响线及其应用

对于超静定结构，要确定在移动荷载作用下某量值的变化规律，同样需要借助于影响线。

超静定结构的影响线有两种作法：一种是按力法求出某量值的影响线方程，称为静力法；另一种是用位移图作影响线，称为机动法。在实际工程中，对于连续梁来说，常见荷载为可动均布荷载，很多情况下只需要根据影响线的轮廓来帮助确定最不利荷载位置，不需确定影响线的精确数值。所以一般只需绘出连续梁的影响线图像轮廓线即可。

静定结构的影响线通常都是由直线组成的，比较容易作出。但是超静定结构的影响线有很多曲线段，要精确地作出,不论是静力法还是机动法都比较困难。§4.4超静定结构影响线作法概述第4章影响线及其应用一、静力法BA

lxF=1X1=MABAF=1基本体系BAX1=1M1图1(1-x)/lBAF=1MP图x(1-x)/l试作图示梁的MA

影响线。可见MA是x的三次函数。依上式作出影响线如图。BAMA影响线0.19245l━§4.4超静定结构影响线作法概述第4章影响线及其应用二、机动法作MK

影响线。由基本体系：（外荷载是单位力）（位移互等定理）BAF=1KCDEXK=MK基本体系BAKF=1BAKF=1XK=1BAKMK影响线的轮廓线BAK+━━+§4.4超静定结构影响线作法概述第4章影响线及其应用二、机动法结论：为作某量值XK的影响线，只要去掉与XK相应的约束，并使所得的基本结构沿XK的正方向发生单位位移，则由此而得的位移图即为XK影响线。BAF=1KCDEXK=MK基本体系BAKF=1BAKF=1XK=1BAKMK影响线的轮廓线BAK+━━+§4.4超静定结构影响线作法概述第4章影响线及其应用二、机动法BAF=1KCDE结论：为作某量值XK的影响线，只要去掉与XK相应的约束，并使所得的基本结构沿XK的正方向发生单位位移，则由此而得的位移图即为XK影响线。BA━━FQK=1+━+FQK影响线的轮廓线MD影响线的轮廓线B━+━+MD=1FC影响线的轮廓线BA+━+FC=1§4.1移动荷载和影响线的概念§4.3机动法作静定结构的影响线§4.4超静定结构影响线作法概述§4.2静力法作静定结构的影响线§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用§4.6最不利荷载位置的确定§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用作出结构某量值S的影响线后，根据叠加原理，可利用影响线计算一般荷载作用下该量值的大小（称作影响量）。一、集中荷载作用下影响量的计算若有n个集中荷载作用在结构上，影响量S的值为BA

laF1bCF2F3MC影响线FQC影响线图示简支梁上C截面的弯矩和剪力分别为B

labCqA§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用二、均布荷载作用下影响量的计算FQC影响线MC影响线dx对于任一影响量S有其中为影响线图形的面积，但要注意面积的正负。12图示简支梁上C截面的弯矩和剪力分别为§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用三、集中荷载和均布荷载共同作用下的影响量S=∑Fiyi

+∑qii

yi为集中荷载Fi作用点处S影响线的竖标，在基线以上yi取正，Fi向下为正；BCqAFQC影响线12MC影响线F1F2F3式中：

i为均布荷载qi分布范围内S影响线的面积，正的影响线计正面积，qi向下为正。§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用三、集中荷载和均布荷载共同作用下的影响量

如果当集中荷载和均布荷载共同作用下，若量值S的影响线为同一条直线，其合力为FR，则有注意：只有当荷载作用范围的影响线为同一条直线时才能应用。qF1FiFnO

x1

xn

xi

x

y1

yi

yn

yFR其中均布荷载的作用长度为l。FQC影响线+━§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用【例8-7】【解】B3mCA

3m2m20kN40kN10kN/mMC影响线先作影响线。MC=157.5kN·m=-2.5kN=37.5kN用影响线求MC、FQC、FQC。右左FQC右FQC左1.875m0.75m0.6250.250.375§4.1移动荷载和影响线的概念§4.3机动法作静定结构的影响线§4.4超静定结构影响线作法概述§4.2静力法作静定结构的影响线§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用§4.6最不利荷载位置的确定§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用在移动荷载作用下，结构上某一量值S是随着荷载位置的变化而变化的。在工程设计中，需要求出量值S的最大正值Smax和最大负值Smin(也称最小值)作为设计的依据。为此，必须首先确定产生某一量值最大值(或最小值)时的荷载位置，亦即该量值的最不利荷载位置。最不利荷载位置确定后，即可按本节前述方法计算出该量值的最大值(或最小值)。影响线一个最主要的应用就在于用它来确定最不利荷载位置。最不利荷载位置的确定方法有：观察法、试算法和分析法。下面分别讨论在不同荷载作用下最不利荷载位置的确定方法。第4章影响线及其应用对于可任意布置的均布荷载，由S=qA可知：一、均布荷载将均布荷载布满S影响线的所有正面积范围内，是Smax的最不利荷载位置，且有Smax=∑qA+

(图a)

；反之，有Smin=∑qA-

(图b)。S影响线(c)(d)SmaxSminF

F

二、单个移动荷载

当只有单个移动荷载作用时(图c)，显然F在S影响线最大竖标处,即为Smax的最不利荷载位置；反之有Smin的最不利荷载位置(图d)。(a)SmaxSmin(b)§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用三、多个移动荷载下面主要讨论一般情况下(最不利荷载位置)临界荷载的确定方法。一系列间距不变的移动集中荷载（或均布荷载）通常称为行列荷载，如活载、汽车车队等。一般情况下其最不利荷载位置难以由直观得出，只能通过寻求S的极值条件来解决求Smax的问题。显然，当数值较大或布置较密的几个荷载位于S影响线竖标较大(小)值处时，可能为Smax

(Smin)的最不利荷载位置。当荷载数目较少时，可选每个可能的最不利荷载位置，分别求量值S，其最大者即为Smax，相应的荷载位置即为Smax的最不利荷载位置。§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用设第i个力Fi的位置为x，因各力间距不变，其它各力的位置也是x的函数，故在一组移动集中荷载作用下，S的影响量为S=∑FiyiOSx

F1

Fi

Fn

xS(x)

称为影响量函数。

S=Fiyi=∑Fiyi(x)=S(x)显然，当影响量函数可导时，在dS/dx=0处S(x)出现极值，由此可确定最不利荷载位置。§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用设量值S的影响线为一折线图形，各直线段的倾角分别为(逆时针方向为正)。现有一组图示荷载，荷载在S影响线各直线段下的合力分别为，则此时有

当荷载向右移动x，量值S变为FP1

S影响线FPi

FPn

1inyiyny1xxxy1yiyn量值S的变化量为§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用FP1

S影响线FPi

FPn

1inyiyny1xxxy1yiyn

使S成为极大值时,应满足的条件:

使S成为极小值时，应满足的条件:

结论:

使S有极值时必变号。在什么情形下它才会变号呢？§4.6最不利荷载位置的确定荷载自临界位置向左移动或向右移动时，量值S均应减少或等于零。第4章影响线及其应用§4.6最不利荷载位置的确定

在什么情形下它才会变号呢？

首先，由于影响线是给定的，tanαi=常量，因此，只有在荷载移动时，使合力FPi

改变，才有可能使∑FPi

·

tanαi

变号；

其次，为使左、右微小移动荷载时，FPi

改变数值，则必须有一个集中荷载正好位于影响线顶点处。结论：荷载处于临界位置时，必有一个集中荷载正好位于影响线顶点处。把位于影响线顶点处且使∑FPi·tanαi

改变符号的荷载称为临界荷载，用FK表示。临界荷载判别式

使S成为极大值时,

使S成为极小值时，第4章影响线及其应用若影响线为三角形时，abhS影响线FR1

FRi

FRn

FK

§4.6最不利荷载位置的确定

FK则是一临界荷载，此时的荷载位置称为临界位置。FK在影响线顶点哪一侧，那一侧的平均荷载就来的大。注意a、b的取值！第4章影响线及其应用1）选一个荷载置于影响线的某个顶点；2）判别临界荷载、临界位置；3）求出每个临界位置对应的S极值；4）比较可得出Smax、Smin及相应的荷载最不利位置。临界荷载的确定步骤：§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用【例8-8】【解】求图示梁B支座的最大反力。F1=F2=478.5kN,

F3=F4=324.5kN。6m

5.25mF1F2F3F46m

1.25m4.8mABC只需把F2和F3作为临界荷载计算FB即可。1FB影响线F2=

FK

5.25mF1F2F3

1.25m0.8750.125F3=

FKF2F3F4

1.25m4.8m0.7580.2FB2=478.5×(1+0.125)

+324.5×0.875=784.28kNFB3=478.5×0.758

+324.5×(1+0.2)=752.10kNFBmax=784.28kN§4.6最不利荷载位置的确定

F1=50kN，F2=100kN，F3=F5=30kN，F4=F6=70kN。求截面K在图示移动荷载作用下的最大弯矩。第4章影响线及其应用【例8-9】【解】10mK30m

4m

5m

4m15m

4mF1F2F3F4F5F67.5MK影响线

4m

5m

4m15m

4m5010030703070F2=

FK根据观察和分析F1、F5、F6不可能是临界荷载。令F2=FK，有F2是临界荷载5.256.254.51.50.6§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用【解】5010030703070F3=

FK令F3=FK，有F4也不是临界荷载F3不是临界荷载令F4=FK，有F4=

FK10030703070所以7.5MK影响线10mK30m

4m

5m

4m15m

4mF1F2F3F4F5F6§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用【例8-10】【解】2mC6m

1mF1F2AB

F1=10kN，F2=20kN，求图示简支梁C截面剪力的最大值和最小值。F1位于C点：F2位于C点：+━FQC影响线F1F2F1位于C点F1F2F2位于C点§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用【例8-11】【解】试确定图示连续梁上截面K、C处弯矩最大和最小时任意可变均布荷载的最不利布置方式。截面KBAKCDEMK影响线━+BAKCDE━BACDEMKmax最不利布置方式BACDEMKmin最不利布置方式§4.6最不利荷载位置的确定第4章影响线及其应用【例8-11】【解】试确定图示连续梁上截面K、C处弯矩最大和最小时任意可变均布荷载的最不利布置方式。截面CBAKCDEMCmax最不利布置方式BACDEBACDEMCmin最不利布置方式MC影响线━+BACDE━+§4.6最不利荷载位置的确定§4.1移动荷载和影响线的概念§4.3机动法作静定结构的影响线§4.4超静定结构影响线作法概述§4.2静力法作静定结构的影响线§4.5由影响线求影响量第4章影响线及其应用§4.6最不利荷载位置的确定§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用一、简支梁的绝对最大弯矩在移动荷载作用下，每个截面上都有其最大弯矩，简支梁所有截面的最大弯矩中的最大者称为绝对最大弯矩。对于等截面梁来讲，绝对最大弯矩发生的截面是最危险的截面。

无论荷载在什么位置，弯矩图的最大竖标值总是在某一集中荷载下面。因此可以断定，绝对最大弯矩也一定出现在某一个集中荷载作用点处的截面上。2、确定绝对最大弯矩应解决两个问题：1）绝对最大弯矩发生在哪个截面？2）荷载位于什么位置发生绝对最大弯矩？1、绝对最大弯矩的概念3、绝对最大弯矩的确定依据§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用3、绝对最大弯矩的确定方法任取一个集中荷载作为临界荷载FK，研究荷载移动过程中FK作用截面处弯矩最大值Mmax的变化规律并确定其最大值；

重复上述步骤，求得每个集中荷载作为临界荷载时的最大弯矩值；比较各个最大弯矩，其中最大的即绝对最大弯矩。FK—临界荷载；x

—FK到A点的距离；FR

—合力，在FK右侧；a

—合力FR与FK的距离；Cl/2ABl/2F1F2FKF6xal-x-aa/2a/2FR

MK左—Fk以左梁上荷载对Fk作用点的力矩之和，与x无关。Cl/2ABl/2F1F2FKF6xal-x-aa/2a/2FR

§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用AFA由FK作用点的弯矩为当M(x)为极大值时得即FK所在截面弯矩达极大值时FK与合力FR恰好位于梁中点两侧的对称位置。注：若合力FR在FK的左侧，a取负值即可。3、绝对最大弯矩的确定方法§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用

结论：简支梁的绝对最大弯矩总是发生在梁中点截面附近。使梁中点截面产生最大弯矩的临界荷载FK，通常也就是产生绝对最大弯矩的临界荷载。

(1)确定使梁中点截面发生最大弯矩的临界荷载FK；

(2)计算合力FR和距离a；简支梁绝对最大弯矩的确定步骤

(3)确定发生绝对最大弯矩的截面位置。

(4)计算绝对最大弯矩。Cl/2ABl/2F1F2FKF6xal-x-aa/2a/2FR

AFA§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用【例8-12】【解】试求图示吊车梁的绝对最大弯矩，并与跨中截面C的最大弯矩相比较。已知F1=F2=F3=F4=280kN。显然，只有F2或F3在C点时才能产生截面C的最大弯矩。6mF1F2F3F46m

1.44m4.8mAB4.8mC(1)分析临界荷载。由对称性可知，F3作用在C点时截面C产生的最大弯矩与上述数值相同。当F2在截面C处时，MCmax

=280×(0.6+3+2.28)

=1646.4kN·mF1F2F3

1.44m4.8m4.8m3MC影响线2.280.6§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用【解】6mF1F2F3F46m

1.44m4.8mAB4.8mC3MC影响线

(2)确定最不利荷载位置及求绝对最大弯矩。

F2和F3都是产生绝对最大弯矩的临界荷载。现以FK=F2为例求梁的绝对最大弯矩。分两种情况：F2在合力FR的左侧。FR=280×4=1120kN·mx=5.64mF1F2F3F4

1.44m4.8m4.8mFR

§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用【解】6mF1F2F3F46m

1.44m4.8mAB4.8mC3MC影响线

(2)确定最不利荷载位置及求绝对最大弯矩。F2在合力FR的右侧。F1F2F3

1.44m4.8m4.8mFR

FR=280×3=840kN·m§4.7简支梁的绝对最大弯矩和内力包络图第4章影响线及其应用二、包络图的概念在结构设计中，必须求出恒载和移动活载共同作用下全梁各截面弯矩、剪力的最大(小)值，作为结构设计的依据。按前述方法求出各截面的最大(小)内力后，取横坐标表示梁的截面位置，用纵坐标表示相应截面上同类内力的最大(小)值，依次联结各截面同类内力最大(小)值的曲线称为内力包络图。梁的内力包络图分为弯矩包络图和剪力包络图。内力包络图是结构设计的重要工具，在吊车梁、楼盖的连续梁和桥梁的设计中应用很多。无论移动荷载处于任何位置，由恒载和活载引起的内力均不会超过包络图范围，所以又可称为内力范围图。§4.7简支梁的绝对最