材料力学土木类第六章简单的超静定问题课件

第6章简单的超静定问题§6.1超静定问题及其解法静定结构:仅靠静力就可以求出结构的约束反力或内力F

A

B

2

A

F

1

B

a

a

C

超静定结构(静不定结构):静力学平衡方程不能求解超静定结构的未知力的数目多于独立的平衡方程的数目；两者的差值称为超静定的次数B

D

C

A

1

3

2

F

aa

F

F

C

F

B

F

A

B

C

A

A

F

a

a

F

F

F

N2

N3

N1

y

x

B

C

A

D

习惯上把维持物体平衡并非必需的约束称为多余约束，相应的约束反力称为多余未知力。超静定的次数就等于多余约束或多余未知力的数目。从提高结构的强度和刚度的角度来说，多余约束往往是必需的，并不是多余的超静定的求解：根据静力学平衡条件确定结构的超静定次数，列出独立的平衡方程；然后根据几何、物理关系得出需要的补充方程；则可求解超静定问题。

§6.2

拉压超静定问题1

拉压超静定问题解法例

两端固定的等直杆AB，在C处承受轴向力F如图，杆的拉压刚度为EA，求杆的支反力.解：一次超静定问题F

B

A

F

A

B

a

b

l

F

C

(1)力：由节点A的平衡条件列出杆轴线方向的平衡方程

（2）变形：变形协调条件(求补充方程)

可选取固定端B为多余约束，予以解除，在该处的施加对应的约束反力FB，得到一个作用有原荷载和多余未知力的静定结构--称为原超静定结构的基本静定系或相当系统

注意原超静定结构的B端约束情况，相当系统要保持和原结构相等，则相当系统在B点的位移为零。

即得变形协调条件

B

F

F

B

C

A

在相当系统中求B点的位移,按叠加原理，可得（3）

胡克定理(物理关系)（4）得出补充方程得FB为正,表明其方向与图中所设一致.x

F

B

C

A

D

BF

x

F

B

B

A

D

BB

(2)变形：变形协调条件(求补充方程)(3)胡克定理a

a

D

l

D

l

3

1

B

1

a

a

3

2

D

C

A

A'

(4)得出补充方程联立平衡方程、补充方程，求解得

在超静定杆系中，各杆轴力的大小和该杆的刚度与其它杆的刚度的比值有关增大或减少1、2两杆的刚度，则它们的轴力也将随之增大或减少；杆系中任一杆的刚度的改变都将引起杆系各轴力的重新分配。这些特点在静定杆系中是不存在的。归纳起来，求解超静定问题的步骤是：(1)．根据分离体的平衡条件，建立独立的平衡方程；(2)．建立变形协调条件，求补充方程(3)．利用胡克定律，得到补充方程；(4).联立求解

(2)

变形分析—协调条件（求补充方程）(3)胡克定理(4)联立求解得A

B

B'

C

D

D

l

1

D

l

2

C'

D

l

3

得出补充方程2装配应力·温度应力(1)装配应力

在静定问题中，只会使结构的几何形状略有改变，不会在杆中产生附加的内力.如1杆较设计尺寸过长，仅是A点的移动。在超静定问题中，由于有了多余约束，就将产生附加的内力.附加的内力称为装配内力,与之相应的应力则称为装配应力,装配应力是杆在荷载作用以前已经具有的应力，也称为初应力。

3

D

B

C

A

a

A'

A''

1

a

2

D

e

例

两铸件用两钢杆1、2连接如图，其间距为l=200mm。现需将制造得过长e=0.11mm的铜杆3装人铸件之间，并保持三杆的轴线平行且有等间距a。试计算各杆内的装配应力。已知：钢杆直径d=10mm，铜杆横截面为20mm30mm的矩形，钢的弹性模量E=210GPa，铜的弹性模量E=100GPa。铸件很厚，其变形可略去不计。解：画出结构装配简图，并可确定装配后3杆受压，1、2杆受拉B

B

1

A

A

2

C

C'

3

C

C

1

1

1

a

a

D

e

l

1

=

D

l

1

2

D

l

A

C

B

B'

A

C

B

1

2

1

1

1

C'

A'

D

l

3

得出补充方程

(4)

联立求解得

所得结果均为正，说明原先假定杆1，2为拉力和杆3为压力是正确的。

将已知数据代人，可得装配应力为

计算中注意单位

在超静定问题里，杆件尺寸的微小误差，会产生相当可观的装配应力。这种装配应力既可能引起不利的后果，也可能带来有利的影响。土建工程中的预应力钢筋混凝土构件，就是利用装配应力来提高构件承载能力的例子。(2)

温度应力

静定问题：由于杆能自由变形，由温度所引起的变形不会在杆中产生内力。超静定问题：由于有了多余约束，杆由温度变化所引起的变形受到限制，从而将在杆中产生内力。这种内力称为温度内力。与之相应的应力则称为温度应力。杆的变形包括两部分：即由温度变化所引起的变形，以及与温度内力相应的弹性变形。得到变形协调条件(求补充方程)

使用胡克定理得温度引起的变形

得出补充方程解得温度应力

以上计算表明，在超静定结构中，温度应力是一个不容忽视的因素。在铁路钢轨接头处、混凝土路面中，通常都留有空隙；高温管道隔一段距离要设一个弯道，都为考虑温度的影响，调节因温度变化而产生的伸缩。如果忽视了温度变化的影响，将会导致破坏或妨碍结构物的正常工作。

如杆为钢杆，l=1.210-5/(oC),E=210GPa,如温度升高t=40oC，杆内的温度应力为§6.3扭转超静定问题

扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件建立补充方程。例两端固定的圆截面杆AB，在截面C处受一扭转力偶矩Me作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试求杆两端的支反力偶矩。解：一次超静定

设想固定端B为多余约束，解除后加上相应的多余未知力偶矩MB，得基本静定系。M

e

A

B

a

b

l

C

I

II

M

e

M

A

C

A

B

I

II

x

B

M

例

图示一长为l的组合杆，由不同材料的实心圆截面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并在刚性板处受一对扭转力偶矩Me作用时，试求分别作用在内、外杆上的扭转力偶矩。

分析：画出受力及变形简图

写出独立平衡方程

一次超静定问题。

A

B

l

j

a

M

b

M

M

e

A

B

M

e

e

M

r

b

a

r

l

变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起，故内、外杆的扭转变形相同。即变形协调条件为

代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即可求得Ma和Mb。

并可进一步求得杆中切应力如图（内、外两杆材料不同），一般在两杆交界处的切应力是不同的。d

D

T

1

T

1

t

t

t

2min

1max

2max

2

1

也可以取支座A处阻止梁端面转动的约束作为“多余”约束，解除后可得相当系统

根据原超静定梁端面A的转角应等于零的变形相容条件，可由变形协调条件建立补充方程来求解。

可从右向左作出剪力图和弯矩图

ql

8

ql

8

1

l

1

8

F

图

S

ql

8

2

ql

1

128

2

M

图

M

A

A

B

q

l

例

梁AC在B、C处分别为固定铰支座和可动铰支座，梁的A端用一钢杆AD与梁AC铰接。在梁受荷载作用以前，杆AD内没有内力。已知梁和拉杆用同样的钢材制成，材料的弹性模量为E，梁横截面的惯性矩为I，拉杆横截面的面积为A，其余尺寸见图。试求钢杆AD内的拉力FN。解：一次超静定问题

变形协调条件（求补充方程）：

(1)将杆与梁的连接铰A看作多余约束(切开)，相应的多余未知力为FN(一对)，得相当系统如图。B

A

C

q

a

2

a

l

D

2

q

F

N

B

F

C

F

2

q