二阶常系数线性微分方程欧拉方程演示文稿

二阶常系数线性微分方程欧拉方程演示文稿当前1页，总共54页。优选二阶常系数线性微分方程欧拉方程当前2页，总共54页。6.6.1二阶常系数齐次线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数齐线性微分方程，即特征方程当前3页，总共54页。二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为是方程(1)的两个线性无关的解，故方程(1)的通解为当前4页，总共54页。二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为由求根公式当前5页，总共54页。由刘维尔公式求另一个解：于是，当特征方程有重实根时，方程(1)的通解为当前6页，总共54页。二阶常系数齐线性微分方程的特征方程为3)特征方程有一对共轭复根：是方程(1)的两个线性无关的解，其通解为利用欧拉公式去掉表达式中虚数单位i。当前7页，总共54页。欧拉公式：由线性方程解的性质：均为方程(1)的解，且它们是线性无关的：当前8页，总共54页。故当特征方程有一对共轭复根时，原方程的通解可表示为当前9页，总共54页。二阶常系数齐线性微分方程特征方程特征根通解形式当前10页，总共54页。例解当前11页，总共54页。例解当前12页，总共54页。例解故所求特解为当前13页，总共54页。例解此时弹簧仅受到弹性恢复力f

的作用。求反映此弹突然放手，开始拉长，簧运动的规律（设其弹性系数为

k）。取x轴如如图所示。由力学的虎克定理，有（恢复力与运动方向相反）由牛顿第二定律，得（略）当前14页，总共54页。它能正确描述我们的问题吗？记拉长后，突然放手的时刻为我们要找的规律是下列初值问题的解：当前15页，总共54页。从而，所求运动规律为简谐振动当前16页，总共54页。n阶常系数齐线性微分方程形如的方程，称为n阶常系数齐线性微分方程，当前17页，总共54页。n阶常系数齐线性微分方程的特征方程为特征根通解中的对应项当前18页，总共54页。例解例6.50求下列方程的通解：解当前19页，总共54页。故原方程的通解为故原方程的通解为当前20页，总共54页。6.6.2二阶常系数非齐线性微分方程形如的方程，称为二阶常系数非齐线性微分方程，它对应的齐方程为我们只讨论函数f(x)

的几种简单情形下，(2)的特解。当前21页，总共54页。方程(2)对应的齐方程(1)的特征方程及特征根为单根二重根一对共轭复根你认为方程应该有什么样子的特解？当前22页，总共54页。假设方程有下列形式的特解：则代入方程(2)，得即方程(3)的系数与方程(2)的特征根有关。当前23页，总共54页。由方程(3)及多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:当前24页，总共54页。由多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:当前25页，总共54页。由多项式求导的特点可知，应有方程(2)有下列形式的特解:当前26页，总共54页。定理1当二阶常系数非齐线性方程它有下列形式的特解：其中：

当前27页，总共54页。例解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得当前28页，总共54页。比较两边同类项的系数，得故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为当前29页，总共54页。例解对应的齐方程的特征方程为特征根为对应的齐方程的通解为将它代入原方程，得当前30页，总共54页。上式即故原方程有一特解为综上所述，原方程的通解为当前31页，总共54页。例解对应的齐方程的通解为综上所述，原方程的通解为当前32页，总共54页。例6.54解当前33页，总共54页。代入原方程得当前34页，总共54页。所以故原方程的通解为例6.55解根据定理6.7（P315），原方程的特解由当前35页，总共54页。代入原方程得故原方程的特解为当前36页，总共54页。故原方程的通解为例6.56解当前37页，总共54页。代入原方程得于是故原方程的通解为当前38页，总共54页。故原方程满足初始条件的特解为当前39页，总共54页。欧拉公式：定理6.8的一个特解。当前40页，总共54页。当前41页，总共54页。例解代入上述方程，得从而，原方程有一特解为当前42页，总共54页。例解代入上述方程，得比较系数，得当前43页，总共54页。从而，原方程有一特解为故当前44页，总共54页。例解由上面两个例题立即可得当前45页，总共54页。例解对应的齐次方程的通解为将它代入此方程中，得从而，原方程有一特解为当前46页，总共54页。故原方程的通解为当前47页，总共54页。例6.59解原方程可化为两端对x求导得整理得两端再对x求导得当前48页，总共54页。此为常系数线性微分方程，其对应的齐次方程为特征方程为故齐次方程通解为故，自由项为1时原方程的特解可设为当前49页，总共54页。代入原方程得当前50页，总共54页。由此得注意到由方程（5-69）、（5-70）有所以有解之得当前51页，总共54页。5.5.3欧拉方程（略）形如的方程，称为n

阶欧拉方程，其中关于变