线性代数试题套卷及答案

线性伐数试题春冬及答案文件编码(008・TTIG・UTITD-GKBTT・PUUTI・WYTUI・8256)(线性代数)专业年级： 学号： 姓名:竇号2平卷厶总分总分人复分人 得分一、单项选择题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。设A”“为实矩阵，则线性方程组Ar=O只有零解是矩阵(MA)为正定矩阵的(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件： (D)无关条件。已知缶缶弓,％,%为四维列向量组，且行列式"|=|6，%,%,岗|=-4，/|=|弓,％,%,/?2|=-1,则行列式\A+B\=(A)40； (B)-16. (C)-3； (D)-40o设向量组％,外，…，《(s22)线性无关，且可由向量组如他，…，区线性表示，则以下结论中不能成立的是向量组龙，凡，…，凡线性无关；对任一个匕，向量组口丿.，艮线性相关；(0存在一个匕,向量组勺，其，…，处线性无关：(D)向量组％ …，久与向量组四，队，…，卩、等价。对于〃元齐次线性方程组Aw=0,以下命题中，正确的是(A)若A的列向量组线性无关，则Ax=0有非零解；(B)若A的行向量组线性无关，则人.、=0有非零解:

(0若A的列向量组线性相关，则Ar=O有非零解;(D)若A的行向量组线性相关，则仙=0有非零解。设A为〃阶非奇异矩阵(〃>2),而为A的伴随矩阵，则(A)(A~J 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 (2-12、列向量1是矩阵A=5J 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 (2-12、列向量1是矩阵A=5。 3的对应特征值人的一个特征向量.-1 1-1b-2(C)(A-*),=AT1A-*； (D)(A-),=|A|A-*O设〃阶向量。=(x,0,•••,(),X)，,x<0;矩阵A=E-aa设〃阶向量。=(x,0,•••,(),X)，,x<0;矩阵A=E-aaT,且A~l=E+—aar,则x= 。 x己知实二次型f(xlx2,xi)=x[+4x；+2x；+2电七+2旳玉正定，则常数。的取值范围为 □设矩阵人=(%)x，&丿是|A|中元素《丿•的代数余子式，alL=2al2=3«13»己知气〉。，贝0 = 。 ‘12一‘12一2、10.设A=212。°4丿(aa=1,己知向量人。与。线性相关，贝也 得分评卷人三、分析计算题(本大题共5小题，每小题10分，共50分)11.(1)求方程f(x)=0的根，其中•V1y+土(2)计算〃阶行列式Q=y+x2X.12.•V1y+土(2)计算〃阶行列式Q=y+x2X.12.设实向量a=(fi[a2%)'，其屮/#0,试说明矩阵A能相似于对角阵;•V1Xn小。=3,矩阵人=E—a次求可逆矩阵P,使户一项戶为对角阵,并写岀此对角阵： (3)求行列式\A+E\.{kxl+(k-\)x2+ x3=1依+ k.+勺=2,试讨论:2k.%+2(k-i)x2+k%=2(1)上取何值时，方程组无解；(2)k取何值时■方程有唯一解，并求出其解;(3)A取何值时，方程有无穷多解，并求出其通解。设实二次型f(xt,x2»x3)=2a;+5a;+4xtx2+5.的-4x,.r5-8x,x3,求：正交变换x=Qy,将f化为标准型。卩) A 卩)设&3的基为仇=1,久=1,仇=0O』 扇 柚试由队，肽，知构造？的一个标准正交基％,%,%;求由基到四，外，凡的过渡矩阵P:己知向量a=HO、,求向量。在基％,%,%下的坐标。线性代数期末试卷(A)参考答案选择題1.(0 2.(D) 3.(B) 4.(C) 5.(A)

选择題二、 填空題6.-l,-3,0； 7.-1； 8.|o|vV77I； 9. 10.一1。三、 计算题(1)f(x)=-5(x--l)(X2-9),x=l,-1,3,~3； (4分)”5-1)rr(2)。=(—1)亍(y+Z%)y”-L (10分)i=l(1)A为实对称矩阵，所以相似于对角阵。 (2分)⑵因^}Aa=(E-aar)a=a-a(aTa)=-2a,所以=-2是A的特征值。又秩r(g「)=l,\E-A\=\aaT\=0,所以％=%=1是A的另两个特征值。设“=(4知与)「为A对应勺=%=1的特征向量,则由(°,/?)=口内+a2x2+弓易=。，得A对应％=%=1的线性无关的特征向量A=(角，一4,0)『，人=0,0,-4)'，令P=(a.0[A)=0a2«2A=(角，一4,0)『，人=0,0,-4)'，令P=(a.0[A)=0a2«2~al0一们丿分)’-20O'则P~lAP=010ooor(7⑶A+E的特征值为一2+1=—1,1+1=2,1+1=2,因此|A+E|=-4。(10分)13.(1)SO时,r(A)=23(4)=3,无解(2分)(2)g0,C2时，r(A)=r(A)=3,唯一解(孔上闷/=(\±丄0)，(6分)⑶S2时，r(A)=r(A)=29无穷多解，通解旳(10分) （8分）14.Q=2-访5访43 （8分）14.Q=2-访5访432323（10分）15.（1）%=（3分）（2）P=（%,%,%）-」（缶功,用）=臨2^220（6分）-V3（10分）专业年级: 学号: 姓裏皴分号平卷厶总分人复分人专业年级: 学号: 姓裏皴分号平卷厶总分人复分人注：本题答案不唯一，如。1=1、0，a2=1，%=[°、0，则p=1111100,9丄100]（线性代数）（B卷）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设A= 的特征值为1,2,3,A,,是行列式|A|中元素《'的代数余子式,则|厶厂（扁+小+心）=

21a'T:b.117.•11c・T;6。00］、&2.己知P=010,A=^21Q..%，若PMP”=A,则以下选项中正确的是100)%3()a.m=5，〃=4；b.〃？=5,〃=5； c.m=49n=5：d.d.m=4,〃=4。3.n维向量％ ，…％(3<5<n)线性无关的充要条件是a.存在不全为零的数、,、,・・・、，使kial+k2a2+-+ksai^0；b.%,%,…七中任意两个向量都线性无关:C.aa，…七中任意一个向量都不能用其余向量线性表示;C.d.色，％,・《中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示。4.设A,8是正定矩阵,则以下矩阵中，一定是正定矩阵为(其中为任意常4.设A,8是正定矩阵,则以下矩阵中，一定是正定矩阵为(其中为任意常数)a.c.心*:d・ktA^k2B\5.「2己知矩阵人=2，伴随矩阵人、0,旦厶、二5.「2己知矩阵人=2，伴随矩阵人、0,旦厶、二0有非零解，则a.。=2；b.口=2或〃=-4；c.〃=一4；得分评卷人二、6.设行列式得分评卷人二、6.设行列式D=2填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）A,」.是。中元素％的代数余子式，则XEA；g；=i7.设A是实对称可逆矩阵，则将f=XTAX化为/= 的线性变换为‘1-1r8.设矩阵厶=2 4X有特征值6,2,2,且A能相似于对角阵，则x=9.己知是〃维实列向量，矩阵A=E-kaal,k为非零常数，则A为正交矩阵的充分必要条件为k= I*11 ⑶10.设A=%a2a5，/>=1,其中s互不相同，i=1,2,3»则线性方程组AJ=b的解是 o得分评卷人三、分析计算题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11.计算〃阶行列式：X] x2…Xl X2…h+yXnD= 0X]X2+y…£X]+yx2… 七X.+ =112.己知线性方程组12.己知线性方程组r1 _Z=1,+ax2+x^=b（1）试问：常数，M取何值时，方程组有无穷多解、唯一解、无解（2）当方程组有无穷多解时，求岀其通解。1113.设A=1a1113.设A=1aHl己知线性方程组Ax=p有解但不唯一。试求:（1）。的值； （1）。的值； （2）正交矩阵0,使得。小。为对角矩阵。P00014.设矩阵A的伴随矩阵厶・=；；；：0-308、EABA-1=BA^+3Eo求矩阵15.己知线性空间？的基％,%,%到基及，久，角的过渡矩阵为P,旦P=222P=222试求：（1）基加,人，们；（2）在基与应00下有相同坐标的全体向fio线性代数期末试卷线性代数期末试卷（B）参考答案一选择题二填空题6.-11；7.二填空题6.-11；7.X=A^Y:8.x=-2；9.k10.(10o)9.k10.(10o)r•三计算题ji11.D=(-1)P)，”W)°1=1(10分)（2）特征值为%=3,（2）特征值为%=3,冬=-3, =0o4=2,b=l无穷多解；唯一解；a=2,b=1无解（5分）（10分）13,解：（1）方程组AX=fl有解但不卩隹一，所以r（A）=r（A）<3,故a=-2o（3分）（6分）。1731为131762N丄V6。1731为131762N丄V6172。号no分）(314.由|人牛冈”气有|A|3=8,得|A|=2o(3分）(6用A',A左右乘方程的两端，得（2E-A'）B=6E(6分）8=6(2E_A')T=6