圆锥曲线的一类定点、定值问题 教案

x222y1222p2112121x222y1222p211212112圆锥曲线的类定点、定问题----数高考热点破圆锥曲线是高中数学的重要内容，在近几年的高考中，有关圆锥曲线的定点、定值问题常有出，该类问题知识综合性强方法灵活运算能力和推理能力要求较高高数学的一大重点和难定点、定值问题是探求“变化中不变的量需要从整体上把握问题中的条件信息，并注意挖掘问题各个量之间的相互关系，恰当合理地运用基本数学思想方法求解问题．本节课通过一类圆锥曲线定点定值问题的探究，尝试归纳总结高考中此类问题的常见策略．引：A、B为物线

px

p

O的同两点，且

A

，则（1A、B两的坐标之积_，纵坐标之积为_______；（2）直线必的定点坐标_________．

y解1由已知，斜率存在且不为，设2pkx2p由得，2pxk

O:，同理可得

1，则O:xkpk

OF

2yBAB①当k，

22AB2p2定点

1

，故

AB:y2AB:1212

，过②当

，易得A,B别为p:2

，过定点

综上，直线过点

．解2设

A

21,,B,y

，由

OA

得

y2y212yp2

，

yy12y2yyx2p

2①当

y

时，

k

y2p21y2y2y22

，故

2pyAB:yy1y12

，整理得2py2AB:，yAB:yx，定点pyy111②当2时，yy，yy2得A,分为2,p，AB2p21121

，过定点

12p．．1212p12p．．1212ppAB:xppp，过定点．

，综合①②知，直线过定点

．解3设

AB:my

联立

y22pmypt02pt设

A2

，则

y1

2,yypt，由得y21121

，即yy212ypp

y,y12

2

x1

y2y212pp

2

，又

yptp1

2

故t

时

42m

2

2

0ABmypx过点

．解4：图由称性可知定点在轴当OA,关x对称时知

AB2p过

，故猜想定点为

，下证

,C,B

三点共线．k

AC

BC

yy2y1pyyypypy22p112xxpxxpxxp22

y1p

，同方法可得y0,即=k2BCBC故

AC,B

三点共线，直线AB过点

．变1将件一般化）设、为物线

轴侧点，且OAa零的常数

(O为点，则（1A、B两的坐标之积_______________，纵坐标之积为；（2）直线必的定点坐标_．解设

AB:my

联立

y

2px得22

0设

Ay

，则

y1

2,yypt21

，由

得

xx12

，即yy212ypp

，即

y222y1

，解得

yy12

24p2a

，

yy12，x12

y2

，又

yt1

p

，此时22学致1：知F为抛物线

2x

的焦点，点、在物线上且位轴的两侧，

OA

（其中O为标原点三形ABO与角面之和的最小值是（）B.3C.

78

1111221211211112212112解设

ABx

联立

y

得

ymy0t

设

Ayy

yy12

，由

OA2得y221

y

y解得yy舍去即，212此时

2

ABx

，过定点

AFO

ABO

1124

98

yy12

基本不等式得

9yyy8

且当

98

yy且122

，即

y1

4,或y,y3

时，等号成ABOAFO

min

，故选B．变2引例，OA

，

k

．①若将此条件一般化为

k

（

a

为不为零的常数直AB是否过定点？②若改为

k

（为为零的常数直线AB是过定点？③若

k

，则直线AB有么特征？解设

AB:my

联立

ypx得2pt0设

A2

，则

yy2,yypt12①由

k

得

yy12xy12

p2yy12

y1

4p2又ya

2

pt解得

t

2p2p:xa

p，故直线过点

．②由

k

得

yy22pp2112axyyyypt1221212ppt

2:xmya

，即

m，直线定点a

．③由

k

得

yy2p12121y0xyyyy12p

（也可由

,B两点关于x轴称直接得到）pmm，时:

，直线AB始垂直于x轴．变3例中

OA即OB点改抛物线上的任意一定

(xy)MA，0

02p2202p22则直线是还过定点？解设

AB:my

，联立

y

2得ypmy4p

pt0设

A2

，则

y1

2,yypt21

，

MAMB

MA

MB

yy120xy2y2100102pppp

4y1

即yy120

4p1

2

0

2pmy0

20

整理可得

yp200

y0

myp此时0

2

m

2

y

20

0

2

0

2

ABxmy

y20

myp0

0当y

时，有

y0

解得

x

y0p,y

0

，即

x,y0

0

，故直线AB过点

．学致2：知

B动点，且满足PC．（1）求点

P

的轨迹

C

的方程；（2）已知点

(,2)

在曲线上，点A作曲线的条弦AD和AE，AD，断：直线

DE是否过定点？试证明你的结论．解1设

代入得

2

即

2

x，简得y

，此为点

P

的轨迹

C

的方程．（2）将

代入

得，A:xmy

代入

y

2

x得

2

t0m2t

设

y22

y4y1

，

ADk

AD

AE

yyy1xyy212244

1

即

y12

162m此时mm

2

80:x

即

由得y

，故直线

DE

过定点

．变4类似，将点改抛物线上的任意一定点

(xy)0

，是否还有变式2中似的结？

MB0MB0例如：抛物线的两条弦MA、仍足

k

MA

MB

，直线AB还有类似的特征吗？试证明你的结论．解设

AB:my

联立

y

2px得22

0设

x,y

x

，则

yy12

p

1

y2

kpMA

y1x10

22

0y102y2yy002p2p2

222pyyyy0100

0yy1202pmm0

y0此时y2pt当时:pp

当

y0

时，

p0

为定值；当

y0

时，直线

AB

的斜率不存在．综上，直线

AB

的倾斜角为定值．椭圆或双曲线中有没有以上类似抛物线的结论呢？我们来看：变5图椭圆：aab2

的上顶点为

y

离心率为．（Ⅰ）求椭圆

的方程；

D

M

O（Ⅱ）若过点作圆M:

r

别与椭圆C相于点D(不同于点A).r变化时试问直线BD是过某个定点？若是，求出该定点；若不是，请说明理由．解（）由已知可,

3a

，所求椭圆的方程为

4

22（Ⅱ）设切线方程为ykx

，则

112

，即

2

设两切线AB,

的斜率为

k,k(k)11

，则

k,1

2

是上述方程的两根，所以

k1

；由

kxy

得

2

2

设1

1k

2

12k1212121212k12121212所以

x1

1k211k1211

，同理可得

x222

k1

2

k2,y21k1212

，所以

2121122112k21

23k1

，于是直线BD方为y

k21113k211

，k212y1x11kk1111

k2k1xx1k11

即k2BD:y1x31

当

，得

y

53

，故直线

过定点

5

．解2由已直线BD

斜率存在且不为

，设

BD:ykx

联立

4

2

得

2

2

2

m

2

设

，则kmm2,xx1k

2x12

1xx12

可得

21

4m11整理得

2

解得

5或BD:kx3

或

y

(舍去其定点

5

．思：改为

kAD

14

线

BD

有什么特征？改为

kABAD

或

kABAD

呢？试证明你的结论．课作：已知点

y

x

内的一个定点，过E作率分别为

1

2

的两条直线交抛物线于点,B,,D

，且

MN

分别是

,

的中点．（Ⅰ）若m，k求面积的最小值；12（Ⅱ）若

1

，求证：直线MN过定点．（Ⅰ）

；（Ⅱ）

．

．直线

xy

上一动点(A不在y轴)作点为

F(2,0)

的抛物线

y