(压轴题)高中数学必修二第一章《立体几何初步》测试题(有答案解析)

一、选择题ABCDABCD中，底面为正方形，侧棱AA底面ABCD1．如图，四棱柱ABCD，32，AAABD为圆心，DC为半径在侧面上画弧，当半BCCB6，以CE时，半径扫过的轨迹形成的曲面面积为（）径的端点完整地划过96．93．96932ABCD．．442ABCDABCDAA2MDD1中，ABAD1，，为棱上的一2．如图，在长方体11111BM1点．当AMMC取得最小值时，的长为（）1A3．B6．C．23D．26中，PA平面，120BACABCABAC，AP22，43．在三棱锥PABC则三棱锥PABC的外接球的表面积是（）36．40．A18．72πD．BCAAABCO的所有顶点都在球的表面上，侧棱底面，11114．已知三棱柱ABCABC111AB1ABC11145°.ABCABC111底面是正三△角形，与底面所成的角是若正三棱柱ABC11123的体积是，则球的表面积是（）O28π．314π．356π．37πABCD．3ABCDABCD5MNPQABBDAD，中，，，，分别为，，，的中．在正方体CD11111111MNPQ点，则异面直线与所成角的大小是（）．4．3．2．6ABCD6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积是（）A2．D16．．3C4．B724．已知正四棱锥的高为，底面正方形边长为，其正视图为如图所示的等腰三角形，正四棱锥表面点M在正视图上的对应点为腰的中点，正四棱锥表面点N在正视图上对应A|MN|点为，则的取值范围为（）．BA．[10,19]B．[11,19]C．[10,25]AA2D．[11,25]ABCDABCDCDAD18EAB2，，，点为的中点，．在长方体中，1111111BABE的余弦值为（）则二面角113．3．333AB．CD．3229．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一步自成体系的数学专著，书中记载了一种名为AB3EF，“”刍甍的五面体（如图），其中四边形为矩形，，若ABCDEF//ABADE和都是正三角形，且AD2EF，则异面直线AE与所成角的大小为△BCFCF（）．4．．ABCD．632ABCDABCD10A，，，，在球的表面上，顶点，CDOA1．已知长方体的顶点B1111AB6，AA4O的一个平面上，若AD8，，则球的表BCD1，，，在过球心1O11面积为（）169．161．164．265D．ABC．已知直线、都不在平面11ab内，则下列命题错误的是（）a//，则b//a//b，//，a，则bACB．若．若abaD．若，，则baba//，则b//ab．若，12．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中OA2，BAO则原平面45,BCOA.//图形的面积为（）3．3．2A．32BCD．6224二、填空题ABCABC1ABBCAA14，AC4213．已知直三棱柱，11，若点是上底面P动点，若三棱锥PABC的外接球表面积41恰为，则所在平面内一此时点构PABC111成的图形面积为________．ABCDABCD1111DD1BD上运动，14．如图，点E是正方体的棱的中点，点M在线段1__________则下列结论正确的有．①直线AD与直线始终是异面直线CM1BMAE②存在点M，使得1③四面体的体积为定值EMACDM2MB1时，平面平面EACMAC④当AA2AB2AC2ABCAB90，则直线115．已知直三棱柱ABCABC1，，111与侧面BCCB所成角的正弦值是______.1116一个底面面积为4，侧棱长为10的正OPABCD中，大球内切1．如图，在四棱锥OOO于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为212___________.17．世界四大历史博物馆之首卢浮宫博物馆始建于1204年，原是法国的王宫，是法国文艺复兴时期最珍贵的建筑物之一，以收藏丰富的古典绘画和雕刻而闻名于世，卢浮宫玻璃金字塔为正四棱锥，且该正四棱锥的高为21米，底面边长为30米，是华人建筑大师贝聿铭.______.设计的若玻璃金字塔五个顶点恰好在一个球面上，则该球的半径为米ADEDE18ABCDE．如图，矩形中，AB2AD，为边AB的中点，将沿直线翻折AC的中点，则在ADE翻折过程中，下面四个选项中正确的△ADEM成．若为线段11______是（填写所有的正确选项）（1）BM是定值（2）点在DEAC（3）存在某个位置，使（4）存在19．如图，在长方体M某个球面上运动1某个位置，使平面MB//ADE1ABCD﹣ABCDOBD中，是的中点，是线1AC上一点，且段P11111直线交平面于点M．给出下列结论：①A，M，ABDPAO②共线；A，三点111③④BO不共面共面；其中正确；A，M，，，，，M共面．COB1M，O，A1______．结论的序为号20三棱锥中，，，E、F分别为、．在正SABCSA4ACSB的中点，过AB23点A的平面//平面SBC，平面ABCl，则EF异面直线l和所成角的余弦值为_________.三、解答题ABCDABCD中，底面ABCD是菱形，且21．在所有棱长均为2的直棱柱1111BAD60，O，M分别为BD,BC的中点．1（Ⅰ）求证：直线OM//平面DBC；11DACD的余弦值．（Ⅱ）求二面角122．如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD,ACCD,PAAC，是PC的中点．E证明：（Ⅰ）CDAE；（Ⅱ）PD平面ABE．23．如图，四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，PD面ABCD，E、F分别为PA、BC的中点．（1）求证：EF//面PCD；（2）若AB2，ADPD1，求三棱锥PBEF的体积．ABCDABCDAA平面ABCD，AB//CD，ACD90，24．在四棱台中，11111BC2AC6，CD1，AMCC，垂足为M.1（）证明：平面ABM平面；1CDDC1121BAMD正弦值为，求直线与平面所成角的余弦2（）若二面角ACCDDC1.712AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥25．如图，中，ABCACBC2平面ABC，若G、F分别是、BD的中点．EC（）求证：GF//平面；1ABCAC⊥（）求证：平面．2EBC26．如图，在矩形中，ABCDAB2AD，为的中点，将△ADM沿AM折起使MDC平面ADM平面ABCM.（）求证：BMAD；12DC.（）求直线与平面DAB所成角的正弦值***【参考答案】试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．A解析：A【分析】先确定曲面面积占以点D为顶点，为母线在平面DCBCCB所形成的圆锥的侧面积的1，利用圆锥的侧面积Srl即可得出结论.8【详解】由题意CECCAA6,BCAB32，所以BECE2CB2361832，所以BCE45，ECC45，1所形成的圆锥的侧面积的，BCCB所以曲面面积占以点D为顶点，为母线在平面DC8所以圆锥的侧面积SrlCCDC636186，196.所以曲面面积为18684故选：A.【点睛】DCD查圆锥的侧面积，确定曲面面积占以点为顶点，方法点睛：本题考查曲面面积，考1所形成的圆锥的侧面积的是关键，考查系数的空间想象力.8为母线在平面BCCB2．A解析：A【分析】本题首先可通过将侧面CDDC绕DD逆时针转90展开得出当、M、共线时A1C1211AMMC取得最小值，此时M为DD的中点，然后根据BA平面ADDA得出111111BAAM，最后根据BMBA2AM2即可得出结果.1111111【详解】如图，将侧面CDDC绕DD逆时针转90展开，与侧面ADDA共面，11111连接AC，易知当、M、共线时，ACAMMC取得最小值，12121因为ABAD1，AA2，所以M为DD的中点，AM2，111因为BA平面ADDAAMADDA，所以BAAM，11111，平面11111则BMBA2AM212(2)23，1111故选：A.【点睛】关键点点睛：本题考查根据线面垂直判断线线垂直，能否根据题意得出当M为DD的中1点时AMMC取得最小值是解决本题的关键，考查计算能力，考查数形结合思想，是中1档题.3．D解析：D【分析】圆的半径，然后取ABC的外接圆的圆心N，过N作平面ABC的于，则O是外接NGO的中垂线，交球球心，为外接球半径，求解半OA先找出ABC的外接垂线NG，作PA径并求表面积即可.【详解】如图所示，BAC120，ABAC4，取BC中点M，连接AM并延长到N使是两个等边三角形组成的菱形，AN=BN=CN，点N是ABC的过作平面ABC的垂线NG，则球心一定在垂线NG上，因为PA平面ABC，则PA//NG，PA与NG共面，在面内作PA的中垂线，交NG于O，则O是外接AM=MN，则四边形ABNCN外接圆圆心，球1AP22，AN4，故球心，半径R=OA，RtAON中，ON232，故外接球的表面积S4R241872.R242故选:D.【点睛】求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；③定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.本题就是采用这个方法.本题使用了定义法.4．A解析：A【分析】首先得到ABA是AB与底面ABC所成的角，再通过三棱柱的体积得到三棱柱的底面111111等边三角形的边长，最后通过球的半径，球心到底面距离，底面外接圆半径的关系计算．【详解】因为侧棱AA底面ABC1，111则ABA是ABABA45．11与底面ABC所成的角，则111111故由tanABAtan45AA11，得AAAB．AB11111111a3aa3a323，4AAABa设，则V111三棱柱ABCABC11221解得a2．所以球O的半径R222327，22233228π．7所以球O的表面积S4πR24π33故选：A．【点睛】解决球与其他几何体的切接、问题，关键在于仔细观察、分析，弄清相关元素的关系和数量关系，选准最佳角度作出截面(要使这个截面尽可能多地包含球几、何体的各种元素以及体现这些元素之间的关系)，达到空间问题平面化的目的．5．BB解析：【分析】由M也是AB的中点，也是P1AD中点，得平行线，从而找到异面直线MN与PQ所成1角，在三角形中可得其大小．【详解】如图，连接AD，1AB1，显然M也是AB的中点，也是AD中点，P11又N是BD中点，Q是CD中点，所以MN//AD，PQ//AC，11所以CAD是异面直线MN与PQ所成角（或补角），大小为．4故选：B．【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：（1）平移：（2）认定：（3）计算：求该角的值，常利用解三角形；平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；证明作出的角就是所求异面直线所成的角；，当所作的角为钝角时，应取它的（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是0,2补角作为两条异面直线所成的角．6．CC解析：【分析】由三视图还原出原几何体，确定其结构，再求出外接球的半径得球的表面积．【详解】由三视图，知原几何体是一个四棱锥PABCD，如图，底面ABCD是边长为1的正方形，PB底面ABCD，由PB底面ABCD，AD面ABCD，得PBAD，又ADAB，ABPBB，AB,PB平面PAB，所以AD平面PAB，而PA平面PAB，所以ADPA，同理DCPC，同样由PB底面ABCD得PBBD，所以PD中点O到四棱锥各顶点距离相等，即为其外接球球心，PD为球直径，ADr1，∴，外接球半径为PDPB2BD2PA2AD2AB222表面积为S4124．C故选：．【点睛】关键点点睛：本题考查由三视图还原几何体，考查棱锥的外接球表面积．解题关键是确定外接球的球心．棱锥的外接球球心在过各面外心（外接圆圆心）且与该面垂直的直线上．7．AA解析：【分析】由题意画出如图正四棱锥，可得M点在GK上运动，N点在CD上运动，且四边形|MN|KCDG是等腰梯形，则的取值范围的最小值就是等腰梯形的高，最大值就是梯形的对角线长，作KHED，在直角三角形中求KJ、KD的长可得答案.【详解】PECDF，PO平面，O是底面中心，G、K分别是PF、PE的中点，由题意知，M点在GK上运动，N点在CD上运动，如图正四棱锥ECDFGK//FE//DC，且GKFE1DC2，122所以所以四边形KCDG是梯形，在ECK与△FDG中，ECFD,EKFG,KECGFD，所以ECK△FDGKCGD，，所以|MN|的取值范围的最小值就是所以四边形KCDG是等腰梯形，则等腰梯形的高，1的对角线长，且PO2，ECCD2，EOED22，2最大值就是梯形作KHED于H，所以KH//PO，KH平面ECDF，KH1PO1，且H是EO的中点，EHEO2，1DH32，22EDC45，作KJCD于，连接JDJ31，所以，HJCJ，CDKG2由余弦定理得HJ2DH2DJ22DHDJcosEDC9，KJKH2HJ21910，KJ10，所以2DK2EH2HD211819，DK19，故选：A.【点睛】本题考查了正四棱锥的性质及线段的取值范围问题，关键点是画出正四棱锥分析出问题的实质，考查了学生的空间想象力.8．C解析：C【分析】取AB的中点F，过F作FGAB，垂足为，连，可证EGF为二面角GEG111BABE的平面角，通过计算可得结果.11【详解】取AB的中点F，过F作FGABG，垂足为，连EG，111因为E,F分别为CD,AB的中点，所以11EF//AD1，111在长方体ABCDABCD中，因为AD平面ABBAABBA，11，所以EF平面11111111因为AB平面ABBA，所以EFABFGAB，且FGEFF，所以，因为11111AB平面EFG，1因为EG平面，所以EFGEGF，所以为二面角BABE的平面角，ABEG111因为ABAA2，所以FAGAF1，所以，因为FG2AF2，111412211622在直角三角形EFG中，EGEF2FG2，2FGEG23.63所以cosEGF23BABE的余弦值为.113所以二面角C故选：【点睛】.关键点点睛：根据二面角的定义作出其中一个平面角是解题关键9．DD解析：【分析】过点F作FG//AE交AB于点G，连接，则异面直线AE与CF所成角为CFG或CG其补角，然后在△CFG中求解.【详解】如下图所示，在平面ABFE中，过点F作FG//AE交AB于点G，连接，CG则异面直线AE与CF所成角为CFG或其补角，设EF1，则，BCCFAE2，AB3因为EF//AB，FG//AE，所以，四边形为平行四边形，AEFGFGAE2，AG1，，BG2所以，由于ABC，由勾股定理可得CGBC2BG22，22所以，CG2CFFG2，则CFG.22D.故选：【点睛】思路点睛：平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：1（）平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；2（）认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；3（）计算：求该角的值，常利用解三角形；0,24（）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．10．CC解析：【分析】6，，的88O把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为长方体，则球就是该长方体的外接球，根据长方体外接球的直径等于体对角线的长，求出直径，即可得出球.的表面积【详解】如下图所示：6，，的88O把两个这样的长方体叠放在一起，构成一个长宽高分别为长方体，则球就是该长方体的外接球，根据长方体的结构特征可得，其外接球直径等于体对角线的长，所以球O的半径R满足2R6288164，22.积S4R2164所以球O的表面C.故选：【点睛】关键点点睛：本题主要考查几何体外接球的表面积，熟记长方体结构特征，其外接球的球心和半径与长方体的关系，以球及的表面积公式，是解决此类问题的关键.11．CC解析：【分析】理可判断A选项的正误；由线面义可判断B选项的利用线面平行的性质和判定定垂直的定Cb与的位置关系，可判断选项的正误；根据已知条件判断b正误；根据已知条件判断与的位置关系，可判断选项的正误D.【详解】由于直线a、b都不在平面内.在中，若，过直线的平面与的交线与平行，Aa//amab//m，b，，所以，，选项正确；b//mAa//b，可得因为在中，若，则垂直于平面内所有直线，aBab，选项正确；b垂直于平面内所有直线，故Ba//b，则在中，若，，则与相交或平行，选项错误；aba//bCC，b，，选项正确在中，若，，则或b//bD.Dabab//C.故选：【点睛】“”方法点睛：对于空间线面位置关系的组合判断题，解决的方法是推理论证加反例推断，即正确的结论需要根据空间线面位置关系的相关定理进行证明，错误的结论需要通过举出反例说明其错误，在解题中可以以常见的空间几何体（如正方体、正四面体等）为模型进行推理或者反驳．12．AA解析：【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【详解】是等BAO45，则△OABBOA腰直角三角形，∴ABOB2，又OCCB，COB45，∴BC1，在直角坐标系中作出原图形为：梯形OABC，OA//BC，OA2,BC1，高OB22，12∴S(21)2232．其面积为A故选：【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S，原图形S面积为，则．2S4S二、填空题13．【分析】确定是等腰直角三角形的中点分别是和的外心由直棱柱性质得的外接球的球心在上外接球面与平面的交线是圆是以为圆心为半径的圆求出可得面积【详解】则设分别是的中点则分别是和的外心由直三棱柱的性质得平面解析：4【分析】确定ABC是等腰直角三角形，AC,AC的中点分别是ABC和的外D,D1△ABC11111心，由直棱柱性质得PABC的外接球的球心在DD上，外接球面与平面O1ABC的交111线是圆，是以D为圆心，DP为半径的圆，求出PD可得面积．111【详解】ABBC4,AC42，则ABC90，设AC,AC的中点，则1D,D分别是1D,D11分别是ABC和△ABC的外心，由直三棱柱的性质得DD平面ABC，1111所以PABC的外接球的球心在DD上，O1如图，41，24(OA)241，则OPOA241(22)23，2ODOA2AD22ODDDODAAOD43522所以，11122，4152PDOP2OD22211PABC的外接球面与平面ABC的交线是圆，是以D为圆心，DP为半径的圆，11111S24．其面积为2故答案为：．4【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何中动点轨迹问题的求解，重点考查了几何体的外接球的有关问题的求解，关键是根据外接球的性质确定球心位置，结合勾股定理得出动点所满足的具体条件，结论：三棱锥的外接球的球心在过各面外心且与此面垂直的直线上．14②③④①．【分析】取点为线段的中点可判断建立空间直角坐标系假设存②在点使得利用解出的值即可判断；连接交于点证明线段到平面的距离为定值③④可判断；求出点的坐标然后计算平面和平面的法向量即可判断【详解】对②③④.解析：【分析】取点M为线段BD的中点可判断，建立空间直角坐标系假设存在点M，使得①1BMAE，利用AEBMAEBBBD0解出的值即可判断②；连接1111OAC、BD交于点，证明EO//BD，线段到平面的距离为定值，可判断BDAEC1111③AEC④.；求出点M的坐标，然后计算平面和平面MAC的法向量，即可判断【详解】①ACBDO时直线AD与直线相交，故①不当点M在点OCM1对于：连接交于点，11正确，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则，，，，D0,0,0A2,0,0C0,2,0E0,0,1B2,2,0，D0,0,2，1B2,2,2，12,0,1②AE对于：，假设存在点M，使得BMAE，10,1BMBBBD0,0,22,2,22,2,22，，11113DM2MB时BMAE，所以AEBM4220，解得，所以当111②故正确；③对于：连接、BD交于点，ACO1因为点E是棱DD1的中点，此时EO//BD，故线段，设平面11BD到平面AEC的距离为定值，所以四面体EMAC的体积为定值，故③正确；1，2,0,1AC2,2,0，442M,,DM2MB④对于：当时，AE3331mAE2xz0z2x11mx,y,z，由AEC的法向量为令，可得，11mAC2x2y0111111y1，可得nx,y,zm1,1,2，设平面MAC的法向量为，1222nAC2x2y0242MA,,，由242nMAxyz033322222:y0x1可得2解得，令3332z2，所以mn，n1,1,1，因为mn11111202所以平面EAC平面MAC④，故正确；②③④.故答案为：【点睛】方法点睛：证明面面垂直的方法（1）利用面面垂直的判定定理，先找到其中一个平面的一条垂线，再证明这条垂线在另外一个平面内或与另外一个平面内的一条直线平行即可；（客观题常用）；（2）利用性质：（3）面面垂直的（4）向量方//,定义（不常用）；0.证明两个平面的法向量垂直，即法向量数量积等于法：15．【分析】取中点连接证明平面可得为直线与侧面所成的角进而可得答案【详解】取中点连接直三棱柱中平面平面又又面平面在平面上的射影为故为直线与侧面所成的角中中中故答案为：【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的解析：1010【分析】取BC中点AD,BD，证明D，连接AD平面BCCB，可得ABD为直线AB与侧11111111面BCCB所成的角，进而可得答案.11【详解】取BC中点AD,BD，D，连接111直三棱柱中，BB平面，平面，ABCADABC11111111BBAD，11又ABAC1，ADBC，1111111又BCBBBBC,BBBBCC，面，111111111ADBCCB平面，111ABBCCB在平面上的射影为DB，111故ABD为直线与侧面所成的角，AB1BCCB111AB2BB1225，RtABB中，1AB221111112BC122，2ADRtBAC中，11121112RtABDAD210，1AB510中，sinABD11110：10.故答案为【点睛】方法点睛：求直线与平面所成的角有两种方法：一是传统法，证明线面垂直找到直线与平面所成的角，利用平面几何知识解答；二是利用空间向量，求出直线的方向向量以及平面.的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式求解即可16．【分析】设为正方形的中心的中点为连接求出如图分别可求得大球与小球半径分别为和进而可得小球的体积【详解】解：由题中条件知底面四边形是边长为的正方形设O为正方形的2中心的中点为M连接则如图在截面中设N为解析：224【分析】设O为正方形ABCD的中心，AB的中点为M，连接PM，OM，PO，求出OM，22OO，如图，分别可求得大球与小球半径分别为和，进而可得小球1224PM，PO的体积．【详解】2解：由题中条件知底面四边形ABCD是边长为的正方形.设O为正方形ABCD的中心，PM，OM，PO，则OM1，AB的中点为M，连接PMPA2AM21013，PO9122，如图，在截面PMO中，设NNPM上，且ONPMO1，设球的半径为R，则O1为球与平面PAB的切点，则在1NO1，∵sinMPOOM1PM3，则PO3R，ONR，∴1PO31112POPOOO4R22，∴R，设球与球相切于点Q，则O1O2112∴rR2，故小球24PQPO2R2RPQ4r，同理可得，O2r，设球的半径为4的体积2.r324O2V32：24故答案为．【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点.均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径17．【分析】作出图形设球体的半径为根据几何关系可得出关于的等式进而可解得的值【详解】如下图所示：在正四棱锥中设为底面正方形的对角线的交点则底面由题意可得则设该球的半径为设球心为则由勾股定理可得即解得故答297解析：14【分析】作出图形，设球体的半径为R，根据几何关系可得出关于R的等式，进而可解得R的值.【详解】如下图所示：在正四棱锥PABCD中，设M为底面正方形ABCD的对角线的交点，则PM底面PM21，AB30，BDABCD，由题意可得2AB302，则BM152，设该球的半径为R，设球心为O，则OPM，152，解得R297由勾股定理可得OB2OM2BM2，即R2R212.21429714.故答案为：【点睛】方法点睛：求空间多面体的外接球半径的常用方法：①补形法：侧面为直角三角形，或正四面体，或对棱二面角均相等的模型，可以还原到正方体或长方体中去求解；②③利用球的性质：几何体中在不同面均对直角的棱必然是球大圆直径，也即球的直径；定义法：到各个顶点距离均相等的点为外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圆圆心，找其垂线，则球心一定在垂线上，再根据带其他顶点距离也是半径，列关系求解即可.18．（1）（2）（4）【分析】首先取中点连结先判断（4）是否正确再根据平行关系以及等角定理和余弦定理判断（1）再判断（2）假设成立根据直线与平面垂直的性质及判定可得】中取点连结则平矛盾来判断（3）【详解解析：（1）（2）（4）【分析】取CD中点Q，连结MQ，BQ，先判断（4）是否正确，再根据平行关系，以及等DEAC成立根据直线与平面垂直的,角定理和余弦定理判断（），再判断（），假设112DAAE矛盾来判断（）3.,性质及判定可得11【详解】取CD中点Q，连结MQ，，BQ则MQ//DA，BQ//DE，1ADE，又MB平面MBQ，1平面MBQ//平面MB//ADE，故（）4正确；平面11由ADEMQB，MQAD定值，QBDE定值，121MBMQ2QB22MQQBcosMQB由余弦定理可得21是定值，故（）正确；所以MBMBMB2B是定点，是在以为球心，为半径的球面上，故（）正确；ADEADE45，CDE45，且设AD1，AB2，1则DECE2，若存在某个位置,使DEAC,则因为2,即CEDE,因为CDDE2CE2ACE,DEAE,DAAE矛盾，11ACCEC,则DE平面所以与11113故（）不正确.124故答案为：（）（）（）【点睛】4关键点点睛：本题考查线线，线面位置关系时，首先判断（）是否正确，其他选项就迎刃.而解，而判断线面平行时，可根据面面平行证明线面平行19．①③【分析】由公理判断正确；由公理判断②错误③正确用反1①2证法可得④错误【详解】∵连接∵是的中点∴平面与平面有公共点与则平面平面对于①平面故正确；对于②在平面内由①知则平面又平面则即三点共线①∴平解析：①③【分析】1由公理判断①2正确；由公理判断②错误③正确，用反证法可得④错误.【详解】∵AC∵∴OAC，O是的中点，．11连接BD1111ABDAACCO平面与平面有公共点A与，1111AACC则平面ABDAO．平面1111对于，，平面，则M平面，①MPAPAAACCAACC111111又M平面，则，即ABDMAO①A，M，三点共线，故正确；O11A，，在平面内，由知，O平面，①MAO∴②对于，OA1AACCAACC1111即A，M，O，共面，故错误；②A1A，，在平面内，由知，O平面，③对于，OCAACC①MAO∴AACCA1111则A，M，C，O共面，故正确；AACC③11对于，连接BD，则，，都在平面上，若M平面，则直线④BO1BBDDBBDDB1111OM平面BBDD，11∴A面BBDDBBDD，显然面的，故错误．④A1111∴①③正确命题的序号是．①③故答案为：．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，考查空间中的直线与平面、平面与平面的位置关系，考.查空间想象能力与思维能力，是中档题20．【分析】取中点连结根据题意得故所以为异面直线和所成角再根据几何关系求得在中故进而得答案【详解】取中点连结依题意：所以所以为异面直线和所成角在正三棱锥中是中点所以又因为平面平面所以平面所以因为分别是的21解析：7【分析】取AB、BC中点D、G，连结DE、DF、GS、GA，根据题意得l//BC，DE//BC，故l//DE，所以DEF为异面直线l和EF所成角，再根据几何关系求得在RtDEF中，DFSA2，DEBC1AB3，11222DEEF37217EFDE2DF27，故cosDEF.，进而得答案【详解】取AB、BC中点l//BC，DE//BC，l//DE，D、G，连结DE、DF、GS、GA，依题意：所以所以DEF为异面直线EFl和所成角.GBCSABC中，是中点，所以SGBC，AG⊥BC，在正三棱锥又因为SGAGG，平面，AG平面，SGSAGSAG所以BC⊥平面SAG，所以BCSA.因为F、D分别是SB、AB的中点，所以DF//SA.所以DEDF.RtDEF中，DF1SA2，DE1BC1AB3，222EFDE2DF27.所以DEEF37217所以cosDEF.21l和EF所成角的余弦值为：7故异面直线21故答案为：7【点睛】.本题考查异面直线所成角的求解，考查空间思维能力与运算能力，是中档题三、解答题5．（）证明见解析；（）．521ⅠⅡ【分析】Ⅰ（）由中位线定理证明OM//CD，即可得线面平行；1DACDDO，证明DOD为二面角△DDO的平面角，在直角中计算1Ⅱ（）连111可得．【详解】ⅠMM解：（）连BC，则也为BC的中点，又为BD的中点，所以OM//CD，因为111OM平面DBC，CD平面，所以直线DCBOM//平面；DBC1111111DO，因为ABCD是菱形，所以DOAC，又ABCDABCD为直棱柱，11111Ⅱ（）连DADC，而为中点，所以OACDOACDOD底面为菱形，所以1，所以为二面111DACD的平面角，角1DD2因为ABCD是边长为的菱形，且2BAD60，所以，又，DO11由直棱柱知DDDO，所以DO5，所以cosDODDO5．DO51111【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查求二面角角，求二面角常用方法：1（）定义法：作出二面角的平面角并证明，然后在三角形中计算可得；2（）向量法：建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量夹角的余弦即可得二面角的余弦（注意判断二面角是锐角还是钝角）．22ⅠⅡ．（）详见解析；（）详见解析.【分析】（）根据PA底面ABCD，得到PACD，再由ACCD，利用线面垂直的判定Ⅰ.定理证明即可（）根据PAAC，E是PC的中点，得到PCAEⅡ，再由CDAE，得到AE⊥平面PCD，从而得到，易证AB平面PAD，得到ABPD，再利用线面垂PDAE.直的判定定理证明【详解】（）因为PA底面ABCD，CD底面ABCD，Ⅰ所以PACD，又ACCD，PAACA，所以CD平面PAE，又平面PAEAE所以CDAE；（）因为PAAC，E是PC的中点，Ⅱ所以PCAE，又CDAE，CDPCC，所以AE⊥平面PCD，又PD平面PCD，PDAE,所以又因为，且ADPAA，ABADABPA所以AB平面PAD，又PD平面PAD，所以ABPD，又AEABA，所以PD平面．ABE【点睛】方法点睛：(1)证明直线和平面垂直的①常用方法：线面垂直的定②③义；判定定理；垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)④(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；面面垂⑤；面面平行的性质直的性质．(2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．1.122312．（）证明见解析；（）【分析】1（）取PD的中点M，连接EM、CM，证明四边形CMEF为平行四边形，可得出EF//CM，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；2（）连接，取AD的中点，连接，由题意可知点、A到平面BEF的距离AFNENP相等，并推导出EN平面ABCD，可得出VVV，利用锥体的体积公EABFPBEFABEF式可求得三棱锥PBEF的体积．【详解】1取PD的中点M，连接EM、CM，则AD//BC且ADBC，因为四边形ABCD为矩形，（）如下图所示，EM//AD且EM1AD，E、M分别为PA、PD的中点，则2F为BC的中点，所以，EM//CF且EMCF，所以，四边形CMEF为平行四边形，所以，EF//CM，EF平面PCD，CM平面PCD，EF//平面PCD；2（）如下图所示，连接，取AD的中点，连接，AFNENE为PA的中点，所以，点、A到平面BEF的距离相等，PVABEFV所以，V，EABFPBEFEN//PD且EN1PD12E、PAADN分别为、的中点，则，2PD平面ABCD，EN平面ABCD，1ABBF1211，ABF的面积为S△ABF2222VPBEFV因此，VEABF1SEN1111.32212ABEF3△ABF【点睛】方法点睛：常见的线面平行的证明方法有：1（）通过面面平行得到线面平行；2（）通过线线平行得到线面平行，在证明线线平行中，经常用到中位线定理或平行四边形的性质.122241．（）证明见解析，（）【分析】AACD1ACCD，而，可得平CD1（）连接，ACAA平面，可得ABCD由111面AACC，从而有AMCD，再由AMCC可证得AM平面CDDC，再利用面11111判定定理可证得平面ABM平面CDDC；11面垂直的由已知可得平面ABM平面，从而由二面角BAMD正弦值为2（）AACC112121角CAMD的余弦值为，CMD为二面角，可得二面由条件可得77sinCMDCD1(角，所以21727，求出)2DM7CAMD的平面，DM平面CDDC，可得ACM为直线AC与平面CDDC所成角，1111CM的长，再由AM从而可求得结果【详解】（1）证明：连接AC，11因为AA平面ABCD，CD平面ABCD，1所以AACD，1因为ACCD，AAACA，1所以CD平面AACC，11因为AM平面AACC，11所以AMCD，因为AMCC，CCCDC,11所以AM平面CDDC，11因为AM平面ABM，所以平面ABM平面CDDC；11（2）因为AB//CD，ACD90，所以BAC90，即BAAC，因为AA平面ABCD，BA平面ABCD，1所以BAAA，1因为AAACA,所以BA平面AACC，111因为BA平面ABM，所以平面ABM平面AACC，1121因为二面角BAMD正弦值为，721所以二面角CAMD的余弦值为，7因为AM平面CDDC，平面CDDC，故DMAM，DM1111因为CMAM，所以CMD为二面角CAMD的平面角，因为CD平面AACC，CM平面AACC，1111所以CDCM，sinCMDCD1(DM所以21727，)27CD1因为7491213，282DM所以CM，所以DM2CD