高等数学第二章导数试题及答案

0000一导数微分念

第章导

法线方：

f

1

．数的义

3函数可导与连性之的关f如果极limlim0称此极值为函数的数导数定的另一等价式，令xx0

存在，x

，

如果函yf可，则f一定连续，反不然，即函数yf连续，却不一定点处可导。0例如，yf处续，却不可导。4微分定义f则xxx0f(x)()f)00h0h

或f

)lim0h0

f(f)0

设函数y有增量时，如果数的增量f000我们也进单侧导数念。右导数fxx

f0x0

lim

f00

其中则称

A，高的无穷小。0f可微并把中主要线性部分A0

左导数

f

0xx

f0x0

f0

处的微，记以

xx

或

xx

则有

f处可f左、右导皆存在且相等。0

我们定自变量的微5．分的何意

dx

就是

。．数的何意与物意义如果函yf导数ff0

f

表示曲

x

f00处相应自变量增量的坐标f切线方：

y

0

0

0

微分

xx

是曲线

f

处切线纵坐标相应增量（见图1

()(n)(0)((k(n)()()(n)(0)((k(n)()

7对数求法则f

在

x

处可微

f

在

x

处可导

先对所函数式的两边取对数，然后用隐函数求导方法得出导数

。且

xx

A

对数求法主要用于①幂指数求导数②个函数连乘或开方求导数一、用导定义求导一般地

设数=f(x)点处导自变量x由x增加到x+

时所以导

f

dydx

也称为商，就是微之商的含义。

记

为的增量,dy为f(x)微分,

等于7高阶数的念如果函y，则把y为y的二阶导，d2y记以y，或，或等xx

()解：由分定义=+o所limlimxf(xf(x设f(x)可导,则0f(xfx)f)f(x解：lim000f(xf(x)f()(x)=mlim00n0000

(m)f'(x)也称

f处二可导。

设可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|),则f(0)0是F(x)如果yf导，称为以yn，dnyfx，等这时也称f是n阶可导。dx[)v()]uvuvn+(0)(n)。其u(0)uv。公式

在x=0处可导的什么件？Ff解：FlimlimxxxxflimfxFfFlimx0xxflimff0x二导数微分算．导数与微分表．则运算法则．复合函数运算法则．由参数方程确定函的运算法则．反函求导法则6．隐函数算法则

设解：

ffflimlimlimgxaxaxa2

2x/1设函数对任意x均足f(1x)=且2x/1

f(0)

其中b

二、分函数在分段处的可导性为非零数,则f'(1)解：在f(1+x)=中代入得f(0)

设(x

1

xx

在x=处可导则fafafflim=limaf00fcos已知f(0)f'(0)，________x]解：由题设没有说函数可导，故极限时无法使用洛必达法则只能应用导数定义进计算。

解：在=处可导定在=处续所1lim(ax)所0.xx01xff')limlimx0x

所0x

f(1cos)x]

limx0

f)f(1)f(0)=lim2x0x

已知

其g(x)有二阶连导且=11f(1x)f1x1=f'(0)lim2x)2x2224f(2)设函数f(x)在x=0点续，且lim，曲线y=f(x)在点(0,f(0))处x3切线方为.f)f(2x)f2解：由知条件得，f(0)limlimfxx02333因此，f'(0).则曲线在点(0,f(0))处的切线方程为23yf'(0)(x0)，x.2

确的值使在x=点连续求.g解：（）limflimsinxaxxxx当0点续gfg（）0xx0x0xgglimlimlimxxx0当0时2设f(在x=a的个邻域内有定，则(x)在x=a处导的充分条件f()f()Ahf()f(a存在Blim存hhf(a)f(af()(aC存D存h02hh

f()，判断(x)在的连续性。111解：当x0时，xxx4

3

xarctan22x2,xarctan22x2,12fxx0x12flim0x2所以已知当时,fx)有定义二阶可导,问a,为值时

f

fx可导，则f1lima，a2于bx1xfxfxx二阶可.

三、隐数、复合函求导设ff

f

，求

dy解：x)连续,所lim(x)lim(x因为)二阶可,所(连，

所c=f－=f(0);'()xF

fffx

ffx

所以

F'(x)

连续,所

f''

。

已

则

F'(0)存在,所F'F'(0),所f'(x)f2ax'(0)limx

2

所

1af''(0)2

解：

f

1

2,所f

x2

x2

令2,所以f'

1

设

fn

2

e

naxen

，问

和

为何值，

f

可导，求

f

设f为导函,则dy解：fxcosf()f'[sinf()]cos{f(x)]}dx解：

x时e

，

x时lime

f

,xx

f

可导，

f

必在任点连续。

设函数y由程解：(1y')yxy')

确定,则______.yxy所y'sinxylimf1x

limf可知x

。

设y为x的数是由方程

确定的求

4

xu求02t0x由方程xu求02t0x由方程xyy解：x2x2四、参方程求导

y'yxyx

yy''xy,所y'

2y设

''(0)'f'(0)f(0)(0)f'(0)f'(0)3t0[f'(0)][tln已知

求

dx解：

dydtedxdte

tt

costcost

tt

tttsinttt

2

e

(coi)

3

解：

dxdy

dy

2te2et

tt

ett2ln2

dydtdxdxdt

dt

costttt

dt(cossint)(costsin)dx(costt)2

dxdt

五、对求导xxx设

，求

dydx设

求

解：

yx

对求，得

1

x

1xx

解：

dudy

，

y

3du(2

2

x

1

2

x

再令

yx

x

yxln

求导，

1

，

du

3(x2

)

x

，

dy

xx

于是

dydx

x

x

x

设

y

xy

所确定求

dydx设函数f(x)二阶可导,,且dyf'(ete3t解：所dxdtf'()

dydx

求

.

解：两边对数，得

ylnxlny

，对

求导，

x

lny

2[f'(e3t3t2tf(et1)]f'(t)tf'(etf''(t)3[f'(t)]3

yy

lny

，

y

y2xylnyx2xyln5

22xe42424恒有。其中，r22xe42424恒有。其中，r

y

xx2解：

lny

15

5

2

1

115x25

解：

曲线的数方程为4yx1xxsinxln12六、求线方程和法方程

，

1y2sin41

x

yiiidydycoidxioi6d

1.设y由程在点(0,处的切线法线方程为

所确定曲线=f(x)

指定点

6

,r

6

32

,

对应直坐标为

33(,)2424解：上二边求导

2

(2)y'))0

所切线斜率

故切线程

13y2

33x2

，即

35xy344k'(0)，切线方程：1法线斜为,法方程为：yx即x－2=2dt已知两曲线与0在点处切线相同，写出此线方程。解：由知条件可知f00f1x20

111法线方xy设f连续函数，在x0邻域内，a0fsinxfsinxx0f，求线yf故所求线方程为x已知曲线的极标方程切线与线的直角坐方程。

，求曲上对应于

6

处的

解：已f由f06

()ynn((n)()44，求（正数()ynn((n)()44，求（正数再由条可知lim令sin，limt0

fflimxxsinxf，又f1t

设

所以y3e2

f(n)，求

(n(（正数）t

t

t0

f

f

解：用布尼兹公式

(n)

k

kn

(x

3

)

()

(

2

)

(n)则

4f

，所求线方程为

22y

(

x)()2x)22

(nn(nx2(n(nn(

2x

)

(七、高导数1.,则=_______.解：

f'()f(k

x(1(2假f(1x)(1)(1)k(2(n2所f(1x)(1)

则

设解：

ysincos1cos2cos2