高考一轮复习 考点规范练37 空间点、直线、平面之间的位置关系

考点规范37空间点、直线、平面之间的位置关系基础巩组1.如图,∩=l,A,B∈α,∈β且Cl直线∩l=M过A,,三点的平面记作,则与的交线必通过()点B.点C.点C但不过MD.点C和点M答案:解析:

∵⊂γ,∈

∴∈γ又α∩β=l∈l,

∴∈β根据公理3可知M在与的交线上同理可知,也在与的交线上2.在空间中四条两两不的直线l,ll,l满足l⊥ll⊥ll⊥则下列结论一定正确的是()123424l⊥l14

B.l∥l14C.l与l既不垂直也不平行D.l与l的位置关系不确定11答案:解析:如图,正方体ABCD-ABCD中,取l为,l为l为CD.满l⊥ll⊥l.取l为1113123D则有l∥l;取l为,有l⊥l.因l与l的位置关系不确定故选D.1443.如图,正方体ABCD-ABCD中,过顶点A与正方体其他顶点的连线与直线成60°角的1111条数为()A.1C.3

B.2D.4答案:解析:2条AC.1114.设四面体的六条棱的分别为1,1,1,1,2和a,且长为棱与长为的棱异面则a的取值范围是()A.(0,))C.(1,))1

1212,,,,,以α∈,1212,,,,,以α∈,答案:A解析:题相当于一个正方形沿着对角线折成一个四面体长为的棱长一大于0且小于.5.l,l表示空间中的两条直线若p:ll是异面直线,qll不相交则()1212是q的充分条件但不是q的必要条件B.p是q的必要条件但不是q的充分条件C.p是q的充分必要条件D.p既不是q的充分条件也不是q的必要条件答案:A解析:l,l是异面直线⇒ll不相交,即⇒q;而l,l不相交l,l是异面直线,qp.11故p是q的充分条件但不是q的必要条件.6.(2015河北唐山三)面直线l与m所成角为,异面直线l与n所成角为则异面直线m与所成角的范围是()C.

B.D.

答案:A解析:mn所成的角为,图所示,异面直线l移到相交于一点固定l,,得n的轨.迹为圆锥侧面,从而可知≥−=又因为两异面直线所成角的范围为,

,选A.7.设a,b,是空间的三条直线,下面给出四个命题①若a⊥b,⊥,a∥c②若a,b是异面直线c是异面直线,则a,c也是异面直线;③若a和b相交,b和相交,则a和c也相交;④若a和b共面,b和共面,则a和c也共面.其中真命题的个数是.答案:解析:a⊥b,b,∴a与以相交、平行、异面,①错2

-111-111111∵a,b异面b,c异面,则ac能异面、相交、平行故②错由a,交,b,c交,c可以异面、相交、平行,故错.同理④错故真命题的个数为0.8.(2015浙理如图,三棱锥A-BCD,AB=AC=BD=CD=AD=BC=2,点M,N分别为的中点,异面直线ANCM所成的角的余弦值是.答案:解析:

连接DN,DN中点P,连接,CP因为M是中点,故PM∥,∠CMP即为异面直线,CM所成的角∵可得AN=CM=DN=2,故.在中,CP=𝑁

+𝐶=2+1=,余弦定理可得cos∠CMP=

222

=

-

=

,故异面直线ANCM成的角的余弦值为9.已知正方体ABCD-ABD中,,别为D,B的中点,ACBD=P,∩EF=Q.求证:(1),,,E四点共面;(2)若A交平面DBFE于点,则P,,R三点共线.1证明:如图所示.因为eq\o\ac(△,D)eq\o\ac(△,)B的中位线,所以EF∥D.11又在正方体AC中,BD∥BD111所以EF∥所以EF,BD确定一个平面,即DB,F,E四点共面.3

111111××S·OP=×AO×CO×OP=×1×1×2=111111××S·OP=×AO×CO×OP=×1×1×2==正方体AC中,设平面ACC为α,面DBFE为β.因为Q∈所以∈,又Q∈所以Qβ,则Qα与β的公共点同理,α与β的公共点所以α∩=PQ.又Cβ=R,所以∈C∈α且R∈,则R∈PQ故P,R三点共线10如图,锥的顶点为底面的一条直径为,为半圆弧AB中点,劣弧的中点.已知PO=2,OA=求三棱锥体积,求异面直线成角的余弦值解:为PO=2,OA=1,所以三棱锥P-AOC体积V=

AOC因为∥,以异面直线所成的角就是PAAC的夹角ACP中,AC=,AP=CP=,过PH⊥,在RtAHP中∠PAH=

,所以异面直线PA与OE成角的余弦值为

.能力提组11过正方体CD的顶点A作直线l,使l与棱AB,ADAA所成的角都相等这样的直111线l可以作()A.1条条C.3条D.4条答案:解析:图,连接体对角线AC,然与棱AD所成的角都相等所成角的正切值都为1112联想正方体的其他体对角线如连接BD1

,BD与棱所成的角都相等.11∵∥,BCAD11∴体对角线BD与棱,AA所成的角都相等.114

同理,对角线CDB也与棱AB,ADAA所成的角都相等,分别作BD,ACDB的1111平行线都满足题意,故这样的直线l可作4条.12如图是某个正方体的侧面展开图l,l是两条侧面的对角线则在正方体中,l与l121互相平行B.异面且互相垂直C.异面且夹角为D.相交且夹角为答案:

()解析:侧面展开图还原成正方体如图所示,则BC两点重合.故l与l相交,12连接AD则为正三角形,所以l与l的夹角为.故选D.113广东,8)若空间中不同的点两两距离都相等,则正整数n的取值()至多等于3B.至多等于4C.等于5D.大于5答案:解析:殊值法.时,三角形的三个顶点之间两两距离相等故3符合;当4时联想正四面体的四个顶点之间两两距离相等,符合由此可以排除选项A,C,D.故选.14如图是正四面体的平面展开图,G,HM,N分别为BE,,的点在这个正四面体中①GHEF平行;5

××2×2×××2×2×=②BD与MN为异面直线;③GHMN成°角;④DE与MN垂直.以上四个命题中,正确命题的序号是

.答案:

②③解析:原成正四面体知GH与EF异面直线,异面直线GH与60角,⊥15四面体其三视图如图所示,平行于棱ADBC平面分别交四面体的棱BD于点E,,,H.(1)求四面ABCD体积;(2)证明四边形是矩形.(1)解由该四面体的三视图可知BD⊥DC⊥,ADDCAD=1,∴AD平面BDC.∴四面体体积

(2)证明

∵∥平面EFGH平面EFGH平面BDC=FG平面EFGH平面ABC=EH,∴∥∥FGEH.同理EF∥ADHG∥∴EF∥HG.∴四边形EFGH平行四边形又∵AD平面,∴AD∴EF⊥FG.∴四边形EFGH矩形166

222222如图,四棱锥O-ABCD,底面是边长为正方形⊥底面ABCDOA=2,为OA的中点.(1)求四棱O-ABCD的体积;(2)求异面直MD所成角的正切值的大小.解:由已知得,正方形A