高考数学总复习经典测试题解析版 空间向量及其运算

8.6空间向量及其运算一、选择题1．若a，，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是()．A．{a＋b，a－}C．{c＋b，a－}

B．{b，a＋b，a－}D．ab，－b，a＋2}解析若c＋－b共面＝λ(ab)＋(a－b)＝λ＋m)＋(λ－m)b，则a、c为共面向量，此与{a，，}为空间向量的一组基底矛盾，c＋b－b可构成空间向量的一组基底．答案C2．以下四个命题中正的是()．A．空间的任何一个向都可用其他三个向量表示B．若{ab}为空间向量的一组基底，则{a＋，b＋cc＋}构成空间向量的另一组基底→→C．△为直角三角形的充要条件是A·AC＝0D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底解析若a＋、＋c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b)＋μ(＋a)，(1－λ－1μ)a＝λ－1)b＋λ＋μ)cλμ不可能同时为1μ≠1，＝b1－μλ＋μ＋c，则a、、c为共面向量，此{a，，c}为空间向量基底矛盾．1－μ答案B3．有下列命题：①若pxa＋，则pa，b共面；②若p与，b共面，则＝xa＋.→→→③若M＝xMA＋，则P，，A、共面；→

→→④若P，，A，共面，则＝xMA＋.其中真命题的个数是()．1/7

A．1B．2C．3D．4解析其中①③为正确命题．答案B4.如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱－BCD中，是AC与BD1111的交点AB＝D＝b＝c下列向量中与BM等的向量是()111111A．－a＋b＋2211C.a－b＋22

11B.＋b＋2211D．－－b＋2211解析BM＝BA＋AM＝BA＋＝－a＋b＋.11122答案A5如图所示已知空间四边形＝且∠＝∠AOC＝

π3

→则〈OA，→BC〉的值为()．132A．0B.C.D.222→

→→解析设O＝a，＝b，OC＝cπ由已知条件〈a，〉＝〈，〉＝，且|b|＝|c，3→→OA·＝a·(c－b)＝－a·b→→11＝||－＝0，∴cos〈OA，〉＝0.22答案A6．如图，在大小为的二面角－EF－中，四边形ABFE，都是边长为1的正方形，则B，D点间的距离是()2/7

→→→→→→→→→→→→2222→→→→→→→→→→→→→→→2222→→→A.3B.2C．1D.3－2解析∵＝BF＋＋，∴|BD|＝|BF|＋||＋|ED＋2BF·＋2FE·＋2BF·＝1＋1＋1－2＝3－2，故|BD|＝3－2.答案D7．下列命题中①若a，b∥c，则a；②不等式|a＋|＜|a|＋||的充要条件是ab不共线；③若非零向量c直于不共线的向量abd＝λaμb(、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.正确命题的个数是()．A．0B．1C．2D．3解析只有命题③是正确命题．[来源:学。科。网。X。X。K]答案B二、填空题8．如图所示，已知空间四边形，其对角线为OB、，M、N别为OA、BC→→→→→→的中点，点G在线段MN上且＝2，若＝xOA＋，则，，z值分别为________________．→→→→→→→→→→→1212122解析∵OG＝＋MG＝OA＋＝＋(－OM)＝＋－OM2323233→→→→→→→12121111＝OA＋×(OB＋)－×OA＝OA＋＋OC23232633111∴x，，z的值分别为，.6333/7

11111111111111111111111111答案

111，，6339.设x,R解析答案

xc,b//cy

.10．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1AD＝2，AA′＝3，∠BAD，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．→→→→→→→解析如图，AC′＝AB＋BC＋CC′＝AB＋AD＋AA′→→→→所以|AC′|＝|AC′|＝|AB＋AD＋AA′|＝

→→→→→→→→→AB2＋AD2＋AA′2＋2AB·AD＋AB·AA′＋AD·AA′＝1＋4＋9＋21×3×cos60°＋2×3×cos60°＝23.答案23．已知ABCDAC为正方体，①(＋AD＋)23B2；②1111·(B－A)＝0量与向量AB的夹角60°正方ABCD111－ACD的体积为|AB·AA·AD|.其中正确命题的序号是________．1111解析由⊥D，AA⊥A，AD⊥AB⊥AB，得(A＋AD＋1111111B)2＝3(B)2，故①正确；②中BAA＝AB，由于AB，故②1111正确③中AAD异面直线所成角为但AD的夹角为120°，故③不正确；④中|AB·AA·AD|＝0.故也不正确．1答案①②12．如图，空间四边形中，＝8，＝6，AC＝，BC＝，∠＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC成角的余弦值等于________．/

1212X→

→→解析设O＝a，＝b，OC＝c.→

→→OA与BC所成的角为θ，OA·＝a－b)＝a·－a·b＝a·(＋)－a·(a→→→＋AB)＝2＋·AC－a－a·AB＝24－2.→→∴cosθ＝

|OA·|24－1623－22＝＝.→→8×55答案

|OA|·||3－225三、解答题13．已知非零向量e，共线，如果ABe＋e，2e＋e，＝3e1212121－3e求证：、B、、D共面．2证明令λ(e＋e)＋(2e8e)v(33e)＝0.121212则(λ＋2μ＋3)e＋(λ＋8μ－3v)e＝0.12＋2μ＋3v＝，∵ee共线，∴＋8μ－3v＝0.

λ＝－5，易知＝1，v＝，

是其中一组解，则－5AB＋＋AD＝0.∴、、、D共面．14．如右图，在棱长为a的正方体ABCDACD中，G为△重心，11111(1)试证AG、三点共线1(2)试证AC⊥平面BCD；11(3)求点C平面BC的距．1→→→→→→→解析(1)证明

CA＝＋＋AACB＋＋CC1115/7

(1)|EF(2)OE＝0，OFa，OE→→2222(1)|EF(2)OE＝0，OFa，OE→→2222a→→→→→→|OE|||→→→→→→→11可以证明：CG＝(＋CD＋)＝CA，∴∥CA即AG、三点共线．313111→

→→(2)证明

设C＝a，＝b，CC＝c，则|a＝|b|||＝a，1且a·b＝b·c＝＝0，→

→→→∵CAa＋＋c，BC＝－a，∴CABC(a＋b＋c)·(c－a)＝c－2＝，1111→→

→→∴CABC即CA⊥BC同理可证：CA⊥，因此A⊥平面BCD.1111111→→

→(3)∵CAa＋＋c，∴CA211

＝a＋2＋2＝a2，即|CA＝3，1→33因此|CG|＝a.即C到平面BC距离为.31315把边长为a的正方形沿对角线AC折起成直二面角点E别是AD、BC中点，点O原正方形的中心，求：(1)EF长；(2)折起后∠的大小．解析如图，以O为原点建立空间直角坐标系O－，则A（0，－

22

a,0B（F（

22222a,0,0（0，00,0，a（0，－，2224422a，0）.44→222|＝－0＋a4

2330－a，∴||＝.442→22→22－，a＝a，0444·OF＝0×a＋aa×0＝－，4448aa·OF1|OE|＝，|OF|＝cos〈，〉＝＝－，22→→2∴∠EOF＝120°.16．如图所示，已知空间四边A的每条边和对角线长都等于1，，，G6/7

22分别是AB、、CD中点，计算：→→→→(1)EF·；(2)EF·DC；(3)EG长；(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．→

→→解析设AB＝，＝b，AD＝c.则|＝|b|＝c|＝，〈a〉＝〈，c〉c，a〉＝60°，→→→→111(1)EF＝BD＝－a，＝－，＝b－c，222→→1111(2)EF·＝c－aa＝2－a·c＝，224→→111EF·＝(c－)·(b－c＝(b·c－a·b－c＋)＝－；224→→→→111111(3)EG＝＋＋CG＝＋b