初中数学知识点整理表格版

1.2.3.4.5.n4n5-47.1.2.3.4.5.n4n5-47.初中数学教材知识梳理·系统复习第单

数式

第实数知点：数概及类（1按定分（）按正负性分正有理数

关点及应例（1）0既不属于正数，也不属于负数.（2理数的几种常见形式判断：①含的式有理数

0

有限小数或

正实数

子；②…（每两个之间个）就是一个实数

实数

负有理数

无限循环小

实数

0

无限不循环小数；③开方开不尽的数：如，；④三角函数型：如，°正无理数

负实数

（3失分点警示：开得尽方的含根号数属于无理数

无限不循环小

有理数，如=2=-3，它们都属于有理数.负无理数知点实的相概数轴相反数

（1三要：原点、正方向、单位度（）特征实数与数轴的点一一应；数轴边的点表的数总比左边点表示的大（1概念只有符号不同的两个数（2代数义：、b互为相反数（）几何义：数轴上示互为相数的两个到原点的离相等

例数轴上2.5表的点到点的距离是2.5.a的反数为，特别的的绝对值0.例的反数是3，的反数是1.（1几何义：数轴上表示的点到点的距离（1）若x|=a≥0，则x=±a.绝对值

（2运算质：|a|=(a≥-a＜0).

|a-b|=≥b)b-a(a＜b)

（）对绝对等于它本身的数是非负数例绝对值；2；对值等于3（3非负：≥，若|a|+b

2

则

的是±;|1-|=.倒数

（1概念乘积为两个数互为数.a倒数为1/a(a≠（2代数义：互为数

例的数是-1/2；倒数等于它本身的数有±知点科记法近数6.

科学记

（）形式×10其中≤＜，整数（）确定n的方法：于数位较的大数，n等于原的整数为减

例21000科学数法表示为2.1×；数法近似数

去1对于数，写成×-，≤＜10，n等于数中左起至一个非零数前所有零个数（含数点前面的一个）（）定义一个与实际数值很接近的数.（2精确：由四舍五到哪一位就说这个似数精确到哪一位.

19万用学记数法表示为1.9×10；0.0007用科学记数表示为×10.例3.14159精确百分位是；精确到0.001是知点实的小较

2..-1010.1.2.3.2..-1010.1.2.3.8.

实数的

（）数轴较法：数轴上的两个数，右边的数比左边的大（）性质比较法：正数＞0＞负数两个负比较大小，绝对值大的反而

例把，，-2.3按从大小的顺序列结果为__1＞0＞-2大小比较

（）作差较法：＞a＞ba-b=0a=b；a-b＜0a＜b.（）平方：a＞b≥＞b知点实的算

9.

乘方零次幂

几个相同因的积;负数的偶（）次方为正（负）a0=_1_(a≠0)

例（）计算：_-7__;(-2)

2

常见运算

负指数幂a=1/apa≠0，p为整数平方根、若x2（a0）,则x=算术平方根立方根若x3=a,则x=3

.其中

是算术平方.

3=_1/3_π的平方根是±算平方根是__8_,立方根是_4__.失点示类似“的算平方根”计先乘方、开，再乘除最后加减同级运算，从左

算错误.

例：相互对填一填：16的混合运算

向右进行；有括号，做括号内运算，按小括号、中括号、大号一次进.计算时可以结合运算律，

算术平方根___2__.

4___,的算术方根是使问题简单第讲

整式与因式解知点：数及关念

关点及应例代数式整式（单项式、多项式）

（1代数式用运算符号（加、减、乘、除、乘方、开方）把数或表示数字母接而成的式子，单独的一个数或一个字母也是代数式．（2求代数式的值：用具体数值代替数式中的字母，计算得出的结果，叫做求代数式的值．（1单项式表示数字与字母积的代数式，单独的一个数或一个字母也叫单项式其中的数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数叫做单项式的次数.（2）项式：个单项式的.多项式中的每一项叫做多项式的项，次数最高的项的次数叫做多项式的次数（3）整式单项式和多项式统称为整式.（4）类项：含字母相同并且相同字母指数也相同的项叫做同类所有的常数项都是同类项

求代数式的值常运用整体代入法计算例：－b，则3b－3a＝－例：（1）下列式子：①-2a;②3a-5b；③x/2;④2/x;⑤7a;⑥7xy；⑦2017.其中属于单项式的是①③⑤⑦；多项式是②⑥；同类项是①和⑤（2）多项式六次三项式，常数项是__1知点：式运整式的加减运算

并同类法则:同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变．括号法则:若括号外都不变号号外则括号里的各项都变号.式的加减运算法则：先去括号，再合并同类项.

失分警示：去括号时，如果括号外面是符号，一定要变号，且与括号内每一项相乘，不要有漏项例：－－2b－＝6a＋4b＋2.4.

幂运

底数幂的乘法：aa；的乘方：(a＝a

其中m,n都在整数

算时，注意观察，善于运用它们的逆运算解决问题例：已知2m+n=2,3算法则

的乘方：(ab＝a；底数幂的除法：aa(

×2×6.（2在解决幂的运时，有时需要先化成同底数例：2·2.

23.22项式单项式：①系数和同底数幂分别相乘；②只有一个字母的照抄．

失分警示计算多项式乘以多项式时，注5.

整式

项式多项式：项式多项式:

ma+mb+na+nb.

意不能漏乘，不能丢项，不能出现变号错例：(2a－1)(b＝＋4a－b－2.的乘除运

项式÷单项式：将系数、同数幂分别相除.项式÷单项式：①多项式的一项除以单项式；②商相加．算

6）

平方差公式：()(a－b)＝a

－b

.

注意乘法公式的逆向运用及其变形公式的乘法

完全平方公式：(±b＝a±2＋.

变形公式：

运用公式

a+b=±b)

?

【-（）】/26.混合运算

注意计算顺序，应先算乘除，后算加减；若为化简求值，一般步骤为：化简、代入替换、计算．

例：（a-1）

-2a__.知点：式解7.

义：把一个多项式化成几个整式的积的形式．用方法：①提公因式法：ma＝(ab)②公式法：ab(a)(a)ab＝(b).般步骤：①若有公因式，必先提公因式；②提公因式后，看是否能用公式法分解；③检查各因式能否继续分解.分式第讲

因式分解要分解到最后结果不能再分解为止，相同因式写成幂的形式；因式分解与整式的乘法互为逆运算．知点：式相概

关点及应例1.

A（1式：如(A是整式且中含有母，B的式B子.（2最简式：分子和分母没有公式的分式.A(1)无义的条件：当＝0时，分无意；B

在判断某个式子是否为分式时，应注意：（1判断化简之间的式子；（2π是常数，不是字2母.例：下列分式：①;②;③;④，其中2是分式是②③④；最简分式③.失点示在解决分式的值为，求值2.

分式

(2)有义的条件：当≠0时，分

AB

有意义；

的问题时，定要注意求得的值足分母不为意义

(3)值零的条件：当＝0，B≠0时，分

AB

＝

例：当

的值为时则x-1.基本质

A(1)基本质：(≠0)．BB（2由基性质可推理出变号法则：AA；BBB

.

由分式的基性质可将式进行化：x例：化简：=x知点分的算

4.5.4.5.x1.2.1分式约分和

(1)约(可化简分)：把分式分子和分中的公因约去，即；b(2)通(可为同分母：根据分式的基本性质，异分母的式

分式通分的键步骤是出分式的简公分母，后根据分的性质通1例：分式和的最简公母2通分

化为同分母分式，即

acbc

为分式加减法

abb(1)同母：分母不变，分子相减即＝；ccaadbc(2)异母：先通分，变为同分的分式，加减即±＝.b

例

x6.

分式

ac(1)；

(2)法

d

例

＝a2

21xxy

＝2y；乘除法

(3)乘：

a＝(为整数.

＝278x

.7.

分式

(1)仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.

失分点警：分式简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的式，再代入求值.代混合运算

(2)含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．第讲二根

入数值时注意要使原分式有意义有时也需运用到整体代入.知点：次式（）二次根的概念：形如a(a的式子（）二次根有意义的条件：被开方数于等有关概念（3）最二次式：被开方数因数是整数，因式是整式（分母中不根号）；被开方数不含能开得尽方的因数或因式

关点及应例失分点警：当判断分式、二次根式组成的复合代数式有意义的条件时，注意确保各部分都有意义，即分母不为0被开方数大于等1于0.例：若数式有意义，则的x取值范围是x＞1.利用二次根式的双重非负性解题：（1）值非负多个非负数的和为0，可得a

各

个

非

负

数

均

为

如二次根式的

+

，则，b=性质

（2）被开方数非:当互为相反数的两个数同时出现在二次根式的被开方数下时，可得

这一对反的数均为如+则a=,b=0

已知

aa34·aa34·51.2.(2)(a＝a；a2|a

例：计算：2＝；(3)(4)

＝ab≥0；(ab0)bb

；；

4499知点二根式运.二次根式的加减法

先将各根式为最简二根式，再并被开方数相同的二次根式．

例计算：

28

＝

2

..二次根式的乘除法

（）乘法：（）除法：

b(≥0，≥0)；aa(a，b＞0)．b

注意：将运结果化为简二次根例计算：2＝；32.2322.二次根式的

运算顺序与数的运算序相同，算乘方，再算乘除，最后

运算时，注观察，有运用乘法式会使运算简混合运算

算加减，有号的先算号里面的或先去括号）．

例：计算：(+1)(

-1)=第单

方(与等(组第讲一方()知点：程其关念(1).＝b则±

关点及应例等式的基本

(2)性质2：等式边同乘（或除）同一个数（除数不为），所

失点示在等式的两边同除以一个数时，这数必须不例：判断正性质

得结果仍是式即＝b则ac＝bc，

b(c．c

(1)若a=b,则a/c=b/c.(×(2)若则a=b.(√)关于方程

(3)性质3：（对性）若b=a.(4)性质4：（传性）若则a=c.(1)一元一方程：含有一个未知数，并未知数的数是1且等式两边是整式的程．(2)1

在运用一元次方程的义解题时注意一次项数不等于0.的基本概念

(3)

例：若a-2)

x

是关于x的(4)二元一方程组解：二元一方程组的个方程的共解．知点：一一方和元一方组

元一次方程则的值为.

3.4.5.3.4.5.6.222.b2ac2222解一元一次方程的步骤二元一次方程组的解

(1)去分母方程两边乘分母的小公倍数，不要漏乘常数项；(2)去括号括号外为负号，去号后括号各项均要号；(3)移项：项要变；(4)合并同项：把程化成≠(5)系数化1方程两同除以系a,得方程的解思路：消元将二元一方程转化一元一次方程方法：(1)代入消法:一个方程求出某一未知数的达式，再把“它”代入一个方程进行求解(2)加消元法：把两个方程的边分别相或相减消一个未知数的方法

失点示方程去分母时，应该将分子用括号起来，然再去括号防止出现变错误.已知方程组求相关代式的值时需注意观察有时不需出方程组利用整体思解决解方组.例：已知则x-y的值为x-y=4.y知点一方)实应(1)审题：清题意分清题中的知量、未量；

（1设未知数时，般求什么设什么，但列方程组)解应用题的般步骤

(2)设未知；(3)列方程组)：找等量关系，方程（组；(4)解方程组)；(5)检验：验所解案是否正确是否满足合题意；(6)作答：范作答注意单位名．

有时为了方便，也可间接设未知数如题目中涉及到比值，可以设每一份为（2）列方程（组），注意抓住题目中的关键词语，如共是、等于、多少、小（少）多少、几倍、几分之几等常见题型及关系式

（）利润问：售价=标价×折扣，销额=价×销量利润售价进价，润率利润进×100%.（）利息问：利息=本金×利率×期，本息和本金+利息（）工程问：工作量=工作效率×工作时.（）行程问：路程=速度×时间①相遇题：全路甲走的程+走的路程；②追及问题同地同时出发：前者走的路程=追者走路程；b.时不地出发：前者走的路程+两地间距离追者走的路程.第讲一二方知点：元次程其解

关点及应例1.

一元二

(1)定义：含有一未知数，且知数的最次数是的整式程．(2)一般形：＋bx＋c＝0(中、bx、分别做二次项、一次

例：方程

是关于x的次方程的相关概念

项、常数项、、c分别称二次项系、一次项数、常数项．

一元二次方程，则方程的根为1.（）直接开方法：形如（xm

2

n(≥方程，直接开平方求解.

解一元二次方程时，注意观一元二次方的解法

(2)因式分法：可化（axm）+的方程，因式分解求解.(3)公式:元二方程＋bx＋＝的求根式为=2a（≥）(4)方法：当元二次方的二次项系数为1，一次项系为偶数时也可以考虑用方法．

察，先特殊一般，即考虑能否用直接平方法和式分解法，不能用这两种方法解时，再用公法例：把方程x+6x+3=0变形为(x+h)=k的形式后，,k=.知点一二方根判别及与数关

2224.n(1)Δ＝

b

ac

>0

例：程

xx

别3.

根的判

(2)Δ2

=

式等于8故该方程有两个不相等别式

(3)当Δ＝b

0时，原程没有实根．

的实数根；方程的判别式等于－故该方程没有（关系：关于x的一元二次方程ax

bx+=0(a≠0)有两个根分别为

实数根.与一元二次方程两根相关代数式的根与系数的系

x、,则=-b/a,=c/a注运用根与数关系的提条件是eq\o\ac(△,≥)eq\o\ac(△,)1121（）解题策略：知一元二次方程，求关于方程两根代数式的时，先把所求代数变形为含+x、xx的式，再运用与系数的关系求122解.

常见变形：(x+1)=xx+(x+x)+1,x=(x+x)-2xx11等.xx失分点警在运用根与系数关系解题时，注意前提条件时△=b≥知点一二方的用（）解题步骤：审题；②设知数；③列一元二方程；④一元二次方程；⑤验根是否意义；⑥答．列一元二次程解用题

（）应用模：一元二次方程经常在增长率问题面积问题方面应用①平均增长（降低率问题：公：＝)，表示基，x表示均增长率（低率），表示变的次数b表示变n次后的；②利润问题利润售价成本；利润率利润成本×；③传播、比问题：④面积问题直接利用相图形的面公式列方；b.将不规则图形过割补或平移成规则图，运用面之间的关系列方程.第讲分方

运用一元二方程解决际问题时，方程一般有两个实数根，则必须根据题意验根是否有意义知点：式程其法

关点及应例例：在下方程中①

；1.定义

分母中含有知数的方叫做分式程．

y

；③

，其中是分方程的是③基本思路：式方程

方程两边同以最简公分母约去分母

整式方程2.解分式程

例：将方程

2转化为式方程可x1(1)(2)(3)检：把所求得的x的代入最简分母中，最简公分母为，则应舍．

得：－22(x－1)

1.2.3.5.6.1.2.3.5.6.3.增根

0.

例：若分式程

增根，则根为1知点分方程应4.列分式方程解应用题的一般步骤

审题；(2)未知数；(3)列式方程；(4)解分式程；(5)检验作答．

在检验这一中，既要验所求未数的值是不是所列分方程的解又要检验求未知数的值是不是合题目的际意义.第讲一一不式组知点：等及基性质

关点及应例不等的相关概念不等的基本性质

（1不等：用不等号＞，≥，＜≤或≠表示不等系的式子.（2）不等式解：使不式成立的知数的值.（3）不等式解集：使等式成立未知数的取值范围性质1若a＞ac±；a性质2若a＞，则ac>，；ca性质3若a＞，则ac<，.c

例：“a与b的差不于1”用不式表示为－≤1牢记不等式质，注意变.如：在不等－＞4中，若将不等式两边时除以－2可得x＜知点一一不式定义

用不等号连，含有一未知数，且含有未知数项的次数都是的，左右两边为整的式子叫一元一次等式.（1步骤去分母；去括号；移项合并同类；系数化

例：mx关于x的一元一次不等式，则m的值为-失点示4.解法（2解集在轴上表示x＞x≤x＜a知点一一不式的定及解

系数化为1时注意系数正负性，若系数负数，则等式改变方向定义解法

由几个含有一个未知的一元一不等式合在一起，就组成一个一元次不等式组先分别求出个不等式解集，再出各个解集的公共部分

（）在表示解集≥”，“≤表示含有，要实心圆点示；“＜，“＞表示包含要用空心圆点表示假设ab

解集

数轴表示

口诀

（）已知不式（组）的解集情况，求字母数时，一先视7.

不等

x

大大取大

字母系数为数，再逆不等式（组）解的定义，推出组集的类型

xa≤b无解

小小取小大小，小大间找大大，小小不了

含字母的方，最后求字母的值.如：已知不式（a-1）＜的解集是x-1则a的取值范围是＜1.知点列等解简的实问

8.–12.3.48.–12.3.4列不式解应用题

（）一般骤：审题；未知数；出不等式系；列不式；解不等式；验检是有意义（2应用等式解决问题的情况：关键词含有“至（≥”“最（≤”、“不低（≥”、“不高≤”、不小”、“超＞、“不＜等；b.隐含不等关：如“更省钱”、“更算”等方决策问题一般还需根据整解，得出佳方案平直坐系函第讲

注意：列不等式解实际问题，设未知数时，不带“至少、“最多”等字眼与方程中未知数一致.知点：面角标

关点及应例1相关概念

（1）定义：在平面有公共原点且互相垂直的两条数轴构成平面直角坐标系．（2）几何意义：坐平面内任意一点与有序实数对(xy)的关系是一一对应．

点的标读横标轴)，再读纵坐标(y轴).(1)各象限内点的坐标的符号特征（如图所示）：点P在第一象限x＞0，y＞点在第二象限?x＜，y＞点（在第三象限?x0y＜0；

二象限，＋)–3–2–1

321O

y

一象限＋，＋12

x

（1标轴上的点不属于任何象限.（2面直角坐标系中图形点的坐标特征

三象限点（在第四象限?x0y＜0.，－)–2–3（2）坐标轴上点的标特征：①在横轴上?y＝0；②在纵轴?＝0；原点?x＝0，＝（3）各象限角平分上点的坐标①第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标相等；②第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反数

四象限＋－)

的平移，图形上所有点的坐标变化情况相同.（3面直角坐标系中求图形面积时，先观察所求图形是否为规则图形，若是，再进一步寻找求这个图形面积（4）点Pb）的对称点的坐标征：①关x轴对称的P的坐标为(a，b；②关y对称的的坐标为(－；③关于原点对称的点的坐标为(－a，－b)．（5）点M（x,y平移的坐标特征：M（x,yM(y)M(y+b（1点M(a,b)到x轴，y轴的距离：到x的距离为b)到轴的距离为

的因素，若找不到，就要借助割补法，割补法的主要秘诀是过点向x轴、y轴作垂线，从而将其割补成可以直接计算面积的图形来解决坐标点的距

（2平行于x，y直线上的两点间的距离：点M(xM(之的距离为－x，点M(x

，y)M(x

，y间的距离为|－x

；

平行于x轴的直线上的点纵坐标相等；平行于y轴的直离问题

点M(0y)，M(0)间的距离|－y，点M(，y)，M(，y)间的距离－．

线上的点的横坐标相等知识点二函

数.函数的相关概念

（1量、变量：在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量．（2）函数：在一个化过程中，有两个变量x和，对于的每一个值，都有唯一确定的值与其对应，那么就称是自变量，是的函数．函数的表示方法有：列表法、图像法、解析法（3数自变量的取值范围：一般原则为：整式为全体实数；分式的分母不为；二次根式的被开方数为非负数；使实际问题有意义．

失分点警函数解析式，同时有几个代数式，函数自变量的取值范围应是各个代数式中自变量的公共部分.例：函数y=x中自变量的取值范x围是x-3且x≠5.

513－，4513－，45.函数的图象

（1）分析实际问题断函数图象的方法：①找起点：结合题干中所给自变量及因变量的取值范围，对应到图象中找对应点；②找特殊点：即交点或转折点，说明图象在此点处将发生变化；③判断图象趋势：判断出函数的增减性，图象的倾斜方向.（2）以几何图形（点）为背景判断函数图象的方法：①设时间为t（或线段长为x，找因变量与t(或x)之存在的函数关系，用含t(或x)的式子表示，再找相应的函数图象要注意是否需要分类讨论自变量的取值范围.一函第10

函数技巧：①当函数图象从左到右呈“上升”（“下降”）状态时，函数随x的增大而增大（减小）；②函数值变化越大，图象越陡峭；③当函数y值始终是同一个常数，那么在这个区间上的函数图象是一条平行x轴的线段.知点一函的念其图、质

关键点拨对应举例.一次函数的相关概念

（）概念：一般来说形如y＝＋b(k≠0)的函数叫做一次函数．特别地，当＝0时，称为正比例函数．（象形状：一次函数y＝kx＋b是一条经过0,b-b/k直线特别地，正比例函数y的象是一条恒经过点（0,的直线

例：k＝1时函数＝＋－1是比例函数,，b符号

K0，b＞0

K0，b＜0

K＞0，b=0

k，b>0

k，b

k，b＝0

（）一次函数y=kx+b中，k确定了倾斜方向和倾斜程度，b确2.

一次函

大致图象

定了与轴交点的位置.（比较两个一次函数函数值的大小：性质法，借助函数的图的性质

经过

一、二、三

一、三、

一、三

一、二、

二、三、

二、四

象，也可以运用数值代入法象限

四

四

四

例：已函数=－2x＋函数图象性质

y随x的增大而增大

y随x的增大而减小

值y随的增大而减小(填“增大”或“减小”．.一次函数与坐点坐标

点坐标：求一次函数与x的交点，只需0,解x即可；求y轴的交点，只需令x=0,求出y即可.故次函数ykxb的图象与轴的交点是，与y的交点是(b)；比例函数y＝(k的图象恒过点(0，．

例：一次函数yx2与x轴交点的坐标（-2,0，与y轴交点的坐标是（0,2.知识点二：确定一次函的表达式（）常用方法：待定数法，其一般步骤为：①设：设函数表达式为y＝kx(k≠0)

确一次函数的表达式需要两组条件，而确定正比例函数的表.确定一次函数的条件.一次函数图象的平移

②代：将已知点的坐标代入函数表达式，解方程或方程组；③解：求出kb的值，得到函数表达式．（）常见类型：①已知两点确定表达式；②已知两对函数对应值确定表达式；③平移转化型：如已知函数是由平移所得到的，且经过点0,1）则可设要求函数的解析式为y=2x+b,再把点（0,1）坐标代入即可规律：①一次函数图象平移前后k不变，或两条直线可以通过平移得到，则可知它们的k值相同.②若向上平移h单位，则值增h；若向平移h单位，则b减小h.

达式，只需一组条件即可只要给出一次数与y轴交点坐标即可得出b的值b值为其纵坐标，可快速解.如:已知一次函数经过点（0,2，则可知例：将一次函数的图象向下平移个单位长度，所得图象的函数关系式为y=-2x+2

679.679.知识点三：一次函数与程（组）不等式的关系.一次函数与方程

一元一次方程kx+b=0的根就是一次函数y=kx+b（k是常数，k0的图象x轴交点的横坐标.

例：.一次函数与方程组

二元一次方程组点坐标.

y=ky=k

的解两个一次函数y=kx+b和y=kx+b图象的交

（）已知关于x的方程ax+b=0的解为x=1,则函数y=ax+b与x轴的交点坐标为（1,0.8.

与

（1函数y=kx+b函数值＞0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＞0的解集

（2次函数y=-3x+12，当x＞4时，y的值为负数．不等式

（2函数y=kx+b函数值＜0时，自变量x的取值范围就是不等式kx+b＜0的解集知识点四：一次函数的际应用（1）设出实际问题的变量；（2）建立一次函数系式；

一次函数本身并没有最值，但在实际问题中，自变量的10.

一般步骤常见题型

（3）利用待定系数求出一次函数关系式；（4）确定自变量的值范围；（5）利用一次函数性质求相应的值，对所求的值进行检验，是否符合实际意义；（6）做答.（1）求一次函数的析式.（2）利用一次函数性质解决方案问题第11反例数图和质

取值往往有一定的限制，其图象为射线或线段.涉及最值问题的一般思路：确定函数表达式→确定函数增减性→根据自变量的取值范围确定最值.知点：比函的念及图、质

关点与应例1.

反比例函

（义：形如＝(≠0)的函数称为反比例函，k叫做比例系数，自变量的取值范围是非零的一切实数．

例：函数y=3x，m=－2时则该函数是反比例函数．数的概念

（）形式：反比例函有以下三种基本形式：①y＝；②y=kx-1;③xy=k.(其中k为常数，且k≠0)k的号

图象

经过象限

随变化的情况（）判断点是在反比例函数图象上的方法：①把点的横、纵坐标代入看k

图象过第

每个象限内，函数的值

是否满足其解析式；②把点的横、纵2.

反比例函

一、三象限（x、同号）

随的增大而减小

坐标相乘，判断其乘积是否等于k.失分点警数的图象和性质

k

图象过第二、四象限

每个象限内，函数的值随的增大而增大

（2）反比例函数值小的比较时，首先要判断自变量的取值是否同号，即（x、异号）

是否在同一个象限内，若不在则不能运用性质进行比较，可以画出草图，直观地判断.3.

反比例函

（1由两条曲线组成，叫做双曲线；（2图象的两个分支都无限接近轴和轴，但都不会与轴和轴相交；

例：若(ab)在反比例函数

y

kx

的数的图象特征

（）图象是中心对称形，原点为对称中心；也是轴对称图形，2条对称轴分别是平面直角坐标系一、三象限和二、四象限的角平分线．

图象上，则，在该函数图象上.填“在"、"在"

5.2225.2224.

待定系数

只需要知道双曲线上任意一点坐标，设函数解析式，代入求出反比例函数系数即可

例：已知反比例函数图象过点（3－1），则它的解析是y=3/x.法知识点二：反比例系数的何意义及一次函数的综合（义：从反比例数y＝(≠0)图象上任意点向轴和轴作垂线，垂线与坐标轴所围成的矩形面积为||,该点、一个垂足和原点为顶点的三角形

失点示已知相关面积，求反比例函数的表达式，注意若函数图象在第二、四象系数的几何意义

的面积为（）常见的面积类型

限，则k＜0.例：已知反比例函数图象上任一点作坐标轴的垂线所围成矩形为3，该反比解式y或x6.

与一次函

（）确定交点坐标：方法一】已知一个交点坐标为，则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为（【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.（确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解（在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，

y.x涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可分割转化为较好求的数的综合

可采用假设法，分k＞0和k0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可也可逐一选项判断、排除（比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确定出解集的范围

三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.例：如图所示，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：=SAOC△＞.OPEeq\o\ac(△,S)知识点三反比例函数的实际应7

般

（题意找出自变量与因变量之间的乘积关系；（设出函数表达式；

（）依题意求解函数达式；（）根据反比例函数表达式或性质解决相关问题.第12

二函的象性知点：次数概及解式

关点与应例

.一次函

形如yax＋＋(，b，是常数的函数，叫做二次函数

例：如果函=(a－是二次函数，那a的值范围是的定义2.解式

（1三种析式：①一般式：+bx+c;顶点式≠，中二次函数的顶坐标（k;③点式：)(x-x),其中x为抛物线与112x轴点的横标.（2系数：巧设二次函数的解析；根据已条件，得关于待定数的方程（组）解方程（），求出定系数的值，从而求出函数的解析

a若已知条件是图象上的三个点或三对对应函数值，可设一般式；若已知顶点坐标或对称轴方程与最值，可设顶点式；若已知抛物线x轴的两个交点坐标，可设交点式知识点二：二次函数的象与性质

b时随x增大而增b时随x增大而增大.2最小2最大3.开口

向

向下

（1）较二次函数函数值大小的方法：①直接代入求值法；②性质法：当自变量在对称轴同侧时，根据函数的性质判断；当自变量在对称3.

二次

对称轴

x

a

轴异侧时，可先利用函数的对称性转化到同侧，再利用性质比较；④图象法：画出数的图象和性质

草图，描点后比较函数值大小.失分点警（2）自变量限定范围求二增减性

x>x增；x时2x减

b当>2当＜

次函数的最值时，首先考虑时y的增大而减小对称轴是否在取值范围内，而不能盲目根据公式求解例：当x≤5时，抛物线y=x+2x+7最小值为7.最值

4acx=＝.，

4acx＝.，a系数、bc

acb2－4

决定抛物线的开口方向及开口大小决定对称轴（x=-b/2a）的位置决定抛物线轴的交点的位置决定抛物线与x轴的交点个数

当a，抛物线开口向上；当a0，抛物线开口向下当a号，＜对称轴在y轴左边；当b，，对称轴为轴；当ab号，＞0，称轴在y右边．当c0，抛物线与轴的交点在正半轴上；当c0，抛物线经过原点；当c＜0，抛物线与轴的交点在负半轴上.b－ac＞0，抛物线与轴有个交点;b－ac＝0，抛物线与轴有个交点;b－ac＜0，抛物线与轴没有交点

殊形符号：①±b+c即为±1时，y的值；②4a±2b+c±2，y的值.③的符号断对称轴-与的大小.若称轴在直线的左边，-b/2a＞，再根据a的符号即可得出结④的符号，需判断对称轴与-1的小.知点二函的移失点示4.

平移与解

注：二函数的平移实质是顶点标的平移因此只要出原函数顶点

抛物线平移规律是“上加下减，左加右减”,左平移易弄反.析式的关系

的平移方式可确定平后的函数析式

例：将抛物线y=x沿轴向右平移单位后所得抛物线的解析式是y=（x2）

．知点二函与元次方以不式

5.6.2222225.6.222222二次函数与一元二次方程二次函数与不等式

y=ax2bx(a与x轴ax2的根.Δ24acΔ24ac当Δ＝－ac＜，无实根抛物线y=ax＋＋＝0在轴上方部分点的坐标都为，所对应x的所有值就不等式＋bx＞的解集；在x轴下方部分点的坐标均为负，所应的值就不等式＋bx＋c＜的集第13讲二函的用

例：已经二函数-3x+m(m为常数)的象与x的一个点（，则关于x一元二方程x-3x+m=0两个实根为.知点：次数应

关点

则需要建立实物抛物线实际问题中求最值结合几何图

④检验x的是否在自量的取值围内，并求相关的值；

在x轴，轴、原点、抛物方便解（最小么”要设横由于面积等两条边的积，所以何问题的面积的最值问题常会通过次函数来决同样需意自变量的值范围.

第单第讲

图的步识三形平面图与相交线、行线知点：线线、线1.（）直线的本事实：经过两点有且有一条直线．基本事实（2）线段的本事实：点之间，段短．知点角角平线（）角：有共端点的两条射线组成的图形．

关点例：在墙壁固定一根放的木条，则至少要2枚钉子，依据是两确一直.例：2.概念3.角的度量4.余角和补角

（）角平分：在角的内部，以角的顶点为端点这个角分两个相等的角的射线1＝′，′＝''，°＝''(1)余角∠1∠＝?与互余角；(2)补角∠1∠＝?∠与互补角.（）性质：角或等角的余角等同角或等角)的补相．

（11525'＝°；37°24'45''＋32°48'49''＝70°13'34''（）32°的角是58°，°的补角是°知点相线平线5.三线八角6.对顶角、邻补角

（位角：形如”F错：形如“”;(3)旁内角形如“U.（）概念：条直线相交后所得的只有一个公共点而没有共边的两个角叫做对角（）性质：顶角等邻补角之为°.（1）念：两条直线互相垂直，其中的一直线叫做一条直线垂

一个角的同位角、内错角或同旁内角可能不止一个，要注意多方位观察例：在平面中，三条直线相交于1点，则图中有6组对顶角.例：如图所示，点线．7.垂线（）性质：过一点有且有一条直与已知直垂直．

A到BC的距离为AB点B到AC的

D②垂线段最．

距离为BDC到

8.平行线

（）点到直的距离：直线外一点到这条直线的线段的长（）平行线性质与判定两两互两直（）平行公及其推论

AB距离为BC（1如果出现两条平行线被其中一条折线所截，那么一般要通过折点作已知直线的平行线.（2在平行线的查考时，通常会结合对顶角、角平分线、三角形的内角和以及三角形的外角性质，解题时注意这些性质的综合运用.

平．知点命与明（1概念：对某一事件作出正确或不正判断的语

(或式子)叫命

例：下列命题是假命题的有(

③

)9.命题与证明

题，正确的题称为真题；错误命题称为假命题.（命的结构：由题设和结论两部分组成命题常写"如果p那么的形，其中是设，q是结.（）证明：一个命题的题设出发，通过推理来断命题是成立的过程.证明一个命是假命题时，只要举出一个反例署名命题不成就可以了一般三角形其性质第15讲

①相等的角不一定是对顶角；②同角的补角相等；③如果某命题是真命题，那么它的逆命题也是真命题；④若某个命题是定理，则该命题一定是真命题.知点：角的类性质

关点与应例1.

三角形的

（1按角关系分类（）按边的系分类

失点示在运用分类讨论思想计算等腰分类

三角形周长时，必须考虑三角形三边关系.

三边关系

三角形任意边之和大第三边，意两边之差小于第三边．

例：等腰三角形两边长分别是3和6，则该三角形的周长为3.

角的关系

（1内角定理：①三角形的角和等180；②推论：直三角形的锐角互余（2外角性质：①三角形的个外角等与它不相的两个内角和.②三角形的意一个外大于任何它不相邻的内角.性质

15.利用三角形的内、外角的性质求角度时，若所给条件含比例，倍分关系等，列方程求解会更简便.有也会结合平行、折叠、等（边三形的性质求解.

三角形中的重线段

平分中线

角平三角将

（1）角平分线、高合求角度时，注意运用三角形的内角和为°这隐含条件.（2）当同一个三角中出现两条高，求长度时，注意运用面积这个中间量来列方才能够求

解.高

锐角三角形三条高相于三角形部；直角三角形的三条高相

中位线

交于直角顶；钝角三形的三条相交于三角形的外部平行于第三，且等于三边的一如图①，AD平分∠BAC，AE⊥BC则∠α

1∠BAC-∠(180°∠B-∠）2

三角形

-（90°∠C）

12

(∠C-∠B）；中内、外角与

如图②，BO、CO分别∠ABC、∠ACB的分线，则有∠O=

12

∠A+90°；

对于解答选、填空题可以直接通过论解题，起角平分线的规

如图③BOCO分别为∠ABC∠ACD∠OCD的平分则∠

11∠A∠O22

到事半功倍效果.律总结∠；如图④，BO、CO分别∠CBD、∠BCE的分线，则∠O=90-知点三形全的质判

12

∠A.全等角形的性质

(1)(2)(3)全三角形的周长等、面积．

失点示运用全等三角形的性质时要注意找对应边与对应一般三角形全

（三边应相等）

（两边和们的夹角对应相等）

ASA（两和它们的夹角对相等）

AAS（两和其中一个角的边对应相等）

失点示如图，和AAA不能定两个三角全等.

三角形全

等等的判定

直角(1)斜边和条直角对应相等（）三角(2)证明两个直角形全等同形全SAS,ASA和AAS.等（1利用全等证角、边相等或求线段长求角度：特征的边角放到两个全等的三角中，通过明全等得结论在寻求等的条件，注意公

例：如图，在△ABC中，已知∠

全等三角

角、公共边对顶角等行条件.（2全等角形中的辅助线的作法

∠BE=CD

，，形的运用

①直接连接：如图①连接公共，构造全等.AB=5，②倍长中线：用于证线段的不关系，如图②，由SAS可△ACD≌△EBD，AE=2，则则AC=BE.在ABE中，AB+BEAE即AB+AC＞2AD.③截长补短：适合证线段的和关系，如图③、④.第讲等、边直三形知点：腰等三形

CE=3.关点与应例

2222

.等腰

（）性∠B＝∠；①等边对等：两腰相，底角相，即＝AC②三线合一顶角的平线、底边的中线和底边上的高互相重合;

三角形中“垂线、角平分线、中线、等腰”四个条件中，只要满足其中两个，其余均成.如：如左图，已知⊥为BC的中点，则三角形的形状是等腰三角形三角形

③对称性：腰三角形轴对称图，直线是对称轴

失点示等腰三角形的（2判

腰和底不明确时，需分类讨论

.2.等边三角形

①定义：有边相等的角形是等三角形；②等角对等：即若∠＝∠，则ABC是等腰角形.（）性①边角关系三边相等三角都相且都等于60°即AB＝BC＝AC∠BAC＝B＝∠＝60；②对称性：边三角形轴对称图，三条高线(或角平分线或中)所的直线是对称轴（）判①定义：三都相等的角形是等三角形；②三个角都等（均为°）的角形是等边三角形；③任一内角°的等腰三形是等边角形.即若＝AC，且∠＝60°，则△ABC等边三形.

如若等腰三角ABC一个内角为30°则另外两个角的度数为30°、120或°、°.（等边三角形是特殊的等腰三角形，所以等边三角形也满足“三线合一”的性质.（等边三角形有一个特殊的角°，所以当等边三角形出现高时，会结合直角三角形30°角的性质，即例：△ABC中∠，，BC=3，△ABC的周长为知点角分和直分线3.角平

（）性：角平分上的点到的两边的离相等．即若∠1＝∠，⊥OA⊥，则＝

中，例：如图，△ABC∠，AB的垂直分线

（）判：角的内到角的两的距离相的点在角的角平

平分线ACD，交AB，4.垂直

分线上．（）性：线的垂直平分上的点到条线段的端点距离

CD=2，平分线图

相等．即若OP垂且平分AB，则PB.（）判：到条线段两端距离相等点在这条段的垂直

则AC=形

平分线上．

知点：角角的定与质(1)两锐角余即∠＋∠B＝°；B＝

（）直积S=1/2ch=1/2ab(中为直角5.直角三角形的性质

；(3)边上的线长等于斜边长的一半即若是线，则CD＝

h是斜边上的高)，可以利用这一公式借助面积这个中间量解决与高相关的求长度问题（已知两边，利用勾股定理求(4)股定：直角边a、b的平方等于斜边c的平方即

a＋b＝.

长度，若斜边不明确，应分类讨

222.?222.?6.直角三角形的判定

(1)有个角是直角的三角形是角三角形.即若＝90°，则△是eq\o\ac(△,Rt)(2)如果三角形条边的中线于这条边一半，那这个三角形是直角三形．即若AD＝，△ABC是Rt△(3)勾定的逆理a＋b＝c，△ABC是Rt.

论（在折叠问题中，求长度，往往需要结合勾股定理来列方程解决第讲

相似三角形知点：例段

关点与应例1.

在四条线段，bcd中，如果与的比等于c与d的，即a，那么这四线段，b，，d叫做成例线段，称比例线b

列比例等式，注意四线段的大顺序，防止出比例混乱.段．(1)

acb

?ad、≠

已知比例式的值，求相关字母代数式的值，常用引入参数法，将所有的量都统一用含同比例

(2)

acb

ab

≠

一个参数的式子表示，再求代数式的值，也可以用给出的字母中的一个表示出其他的的基本性质

am(3)等比性：＝…＝＝(b＋＋…＋?b

字母，再代入求解.如下题可,再代入所求式子，也可以把原式变形得a=代入求解.＝（、d、···n）（条线被一组平行线所截，所得的对应段

l

l

8，则例：若.b5利用平行线截线段成例求线段或成比例即如所示，若l∥l∥，345

ABB

D.EF

ll

线段比时，意根据图列出比例式，灵活运比例基本质求解3.

平行

（）平行于三角一边的直线其他两边(或两边的

l

例：如图，知D，分是的边和AC上的点AE=2，CE=3，使线分段成例定理

延长线)，所得的对应线段成比例OA即如图所示若AB∥CD，则ODO（）平行于三角一边的直线和其他两边相交，所

C

O

D

DE∥，么BC：CD应等

.4.

黄金

构成的三角和原三角相似．如图所示，DE∥BC，则△ADE∽51点C线段AB分成两线段和BC，果＝=≈，那么线段被点金分割．中点C做线黄金割点，

例：把长为的线段进黄金分割，那么较线段长为5(5－1)cm分割与比叫做金比．知点相三角的质判

6.1.6.1.(1)两角

判定三角形相似的思路：①条件中若有平行(AAA).

线，可用平行线找出相等的角而判定；②条5.

相似

如图，若∠＝∠D，∠＝∠E则△ABC∽△DEF.(2)

D

件中若有一对等角，可再找一对等角或再找夹这对等角的两组边对应成比例；③条件中若有两边对应成比例可找夹角相等；④条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证三角形的判定

∠ADDFDE

ABC

F

明直角边和斜边对应成比例；⑤条件中若有等腰关系，可找顶角相等或找一对底角相等或找底、腰对应成比例(3)

D△ABC∽

ABDEDFEF

F相似三角形的性质

(1)相成例(2)相比似的平相似三角形应高的比对应角平线的比和应中线的比等于相比．

例：(1)已知△ABC∽△，△ABC周长为3，△DEF的周长为，则△与△DEF的面积之比为9：如图，BC，AF⊥已知S△ADE:SABC=1:4，则AF:AG=1：2.（1熟悉利用利用相似求解问题的基本图

相似三

形，可以迅速找到解题思路，事半功倍（2明等积式或者比例式的一般方法：经角基型知点：角角数定

常把等积式化为比例式，把比例式的四条线段分别看做两个三角形的对应边然后，通过证明这两个三角形相似，从而得出结果第解角角关点与应例锐角三角函数

∠的对边a正弦:sinA＝斜边c∠的邻边b余弦:cosA＝＝斜边c∠的对边a正切:＝＝∠的邻边

根据定义求角函数值，一定根题目图形来解，严格照三角函的定义求解有时需要过辅助线构造直角三形2.

特殊角

度数三角函数

30°

45°

60°的三角函

sinA

5.（15.（12背式itanα.数值

tanA1知点解角三形3.

解直角

在直角三角中，除直外，一共五个元素，即三条边和两个锐角，由直角角形中除角外的已元素求出所有未知元素的过程

科学选择解角三角形方法口诀已知边直边，正弦、余弦方三角形的概念

叫做解直角角形．

便；已知直边求边，理所然用正切4.

解直角

2b2c(1)a(2)A90°

已知两边求边，勾股理最方便已知两边求角，函数系要记牢已知锐角求角，互余系不能少三角形的常用关系

a(3)边之间的关系：sinA，＝，ccatan＝.b

已知直边求边，用除需正余弦例：在Rt△ABC中，已知a=5,sinA=30°，则10,b=5.知点解角角的用

解直角三角中“双直三角形”基本模型：仰角、俯角、坡度、坡角和方向角

(2)()i坡解题法：这两模型种都一条公α共的直角边解题时，往往通过这条边为中介在个三角形依次求边或通过公共相等，列程求解(3)方角：平面上，通过观察Ο作一条水平向右为东向)和一条铅垂线向上为北向，则从点O出发视线与水线或铅垂线所夹的角，做观测的向角．（图③）(1)6.

解直角

(2)三角形实际应用的一般步骤

(3)得出数学题的答案检验答案是否符合实际意义，从而到问题的解．第单

四形第讲

多形平四形知点：边

关点与应例

.多边形的相

（）定义：平面内，由一些段线首尾顺次相接成的封闭形叫做多形．多边形求度数时，灵形(n3)活选择公式度数，解

nn4.23

关概念.多边形的内角和、外角和.正多边形

(n2)2()n－.1.2nn360°/n.

决多边形内角和问题时，多数列程求解.例：若一个多形的内角和为，这个多边形的边为10．(2)从多边的一个点出发引对线，可以把这个多边分割成个三角形，该多边形为形．()n形对称轴..知点平四边的质

平行四边形的定义5.平行四边形的性质D平行四边形中的几个解题模型

两组对边分平行的四形叫做平四边形，平行四边形用“eq\o\ac(□,”)eq\o\ac(□,)表示.1行等ABCDCDAD且（）角：对等，邻互补即∠＝∠BCD∠ABC＝∠ADC∠ABC∠BCD°，∠BAD＋∠ADC180（）对角线互相平分即＝OC，＝OD（）对称性中心对称但不是轴对称等三≌CDBAODCOB,AOB△OAOECOF.②一.3EAD

四一（行四边中有相等的边、角平行关系，所以经需结合三角形全等来题（平行四形对称中心的任一线等分平行四边形的积及周长.例：如图ABCD中，EF过对角线的交点OAB=4，AD=3，，则四边形的长为

2.2.BEC4据平四的求，可AEBC=AFCD.知点平四形判（）方法一定义法）：两组对边分别行四边形平行四边形即若AB∥CD，AD∥，则四边形ABCD是eq\o\ac(□,.)（）方法二两组对边分别相的四边是平行四形

例：如图四形的对角线相于点7

.平行四边形的判定

即若AB＝，AD＝BC，则四边形ABCD是eq\o\ac(□,.)（）方法三有一组对边平且等四边形平行四边形.即若AB＝CD，AB∥，或AD=BC,AD∥则四边ABCD是eq\o\ac(□,.)eq\o\ac(□,)（）方法四对角线互相平的四边形是行四边形即若OA＝OB＝OD，则四边形ABCD是eq\o\ac(□,.)（）方法五两组对角分别相等的四边形是平行边形

，请你添一个条件BO=DO或AD∥BC或ABCD（只添加一即可），使四边形ABCD为平行四边形若∠ABC＝∠ADC∠BAD＝∠BCD，四边形ABCDeq\o\ac(□,是)第20讲

特殊的平四边形知点：殊行边的性与定

关点及应例矩

形

菱

形

正方形

矩形中,Rt≌△DCA≌CDBRt△_两对全等1.质

（1）四个角都是直（1四边相等（对角线相等且互2对角线互相垂直、平

(1)四条边都相等，四个角都是直角

的等腰三角所以经常结合勾股定理、等腰三角形的性质解题（具有平行四边形的一切性质，对边平行且相等）

相平分即（3）面积=长×宽ABD

分，一条对角线平分一组对角（3）面积=底×高对角线_乘积的一半

角线相等且互相垂直平分积=长×边长AOB

（）菱形中，有两对等的等腰三角形△≌Rt≌△≌Rt△若∠ABC=60°，则ABC和ADC为等边三角形，且四个直角三角形中都有一个30°锐角.（）正方形中有个等腰直角三角形，解题时结合等腰直角三角形的锐角为45°，边=角边判定

（定义法：有一个角是直角的平行四边形（2）有三个角是直

（1义法：有一组邻边相等的平行四边形（2角线互相垂直的平行四边形

定义法：有一个角是直角，且有一组邻边相等的平行四边形（2）一组邻边相等矩形

例：判断正误邻边相等的四边形为菱形（）有三个角是直角的四边形式矩形（）（对角线相等的平

（3条边都相等的四边形（3一个角是直角的菱形

对角线互相垂直平分的四边形是行四边形

（）对线相等且互相垂直、

菱形

（）平分

对边相等的矩形是正方形（）

3.3.包含关系：联系知点：殊行边的拓归（1）任意四边形多到的中点四边形一定是平行四边形

如图，四边形4.

中点

（2）对角线相等的边形所得到的中点四边形是矩形.

ABCD为菱形，四边形

（3）对角线互相垂的四边形所得到的中点四边形是菱形.（4）对角线互相垂且相等的四边形所得到的中点四边形是方形（1）矩形：如图①，AD上任意一点，过矩形中心O，则△AOE≌△COF,S.

则其中点四边形EFGD的形状是形5.

特殊四

（2）正方形如图②，若EF，则EF=MN;如图，为AD边上任意一点，则PE+PF=AO.（变式：如图④，四边形ABCD为矩形，则的求法利用面积法，需连接边形中的解题

图

③

图①图④

图②模型第六单

圆第21圆基性知点：的关念（1圆：面上到定点的距离等于长的所有组成的图形．如所示的圆做⊙（2弦与径：连接圆上任意两点线段叫做，过

关点与应例（经过圆心的直是该圆的对称轴，圆的对称有1.

与圆有

圆心的弦叫直径，直是圆内最的弦.（3弧：上任意两点间的部分叫弧，小于圆的

无数条；（3点确一个圆，经过关的概念和性质

弧叫做劣弧大于半圆弧叫做优.（4圆心：顶点在圆心的角叫做心角.（5圆周：顶点在圆上，并且两都与圆还一个交点的角叫圆周角.（6弦心：圆心到弦的距离.

1点或点圆有无数个（任意三角形的个顶点确定一个圆即该三角的外接圆知点垂定理其论2.

垂径定

定理

垂直于弦的径平分这弦，并且分弦所对的两条弧．(1)(不是的直

关于垂径定理的计算常与勾股定理相结合，解题时往往需要理及其论

推论

(2)弦的垂平分线过圆心，并平分弦所的两条弧

添加辅助线，一般过圆心作弦的垂线，构造直角三角形

4.1.4.1.根据圆的对性，如图示，在以五条结论中：AC=BD延伸AE=BE;④AB⊥CD;⑤是直径.只要满足其两个，另三个结论定成立，即推二知三知点圆角弧弦关系3.

圆心

定理

在同圆或等中，相等圆心角所的弧相等，所对的弦相等．

圆心角、弧弦之间的量角、、弦的关系

推论

在同圆或等中，如果个圆心角两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它所对应的余各组量分别相等．

关系必须在圆等式中成立.知点圆角理其论圆周角定理及其推论

（1定理一条弧所对的圆周角等它所对的心角的一.如图∠∠O.图图b图(2)推论.b∠∠C=90.A+∠C=180ABC+∠ADC=180.与圆有关的置关系第22讲

在圆中求角时，通常要通过一些圆性质进行化.比如圆心与圆周角间的转化；同或等弧的周角间的转化连直径，到直角三角形通过两锐互余进行转化例：如图，是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，∠，则∠的度数为．知点：圆关位关系

关点及应例点与圆的位置关系

d.(1)<r点在＝rO上；(3)d>r⊙．

判断点与圆间的位置系，将该点的圆心距半径作比即可2.

直

线

位置关系图形

相离

相切

相交

由于圆是轴称和中心称图形，所以关于圆位置或计题中常常和圆的位置关系

公共点个数数量关系

0个dr

1个dr

2个d＜

出现分类讨多解的情.例：已知：的半径为，圆心直线l的距离为1，将线沿直于l的方向移，使与O相切，则平移的距是1或3.知点切的质判

3.4.3.4.切线的判定切线的性质切线长

（）与圆有一个公共点的直线是圆的切线（义法）.（）到圆的距离等于半径的直线是圆的切线.（）经过径外端点并且垂直于这条半径的直是圆的切.（）切线圆只有一个公共点.（）切线圆心的距离等于圆的半径.（）切线直于经过切点的半径.（定：从圆外一点作圆的切线，这点与点之间的段长叫做点到圆的切线（切长定理：从圆外一点可以引圆的两切线，两线长相等圆心与这一点连线平分条切线的角.

切线判定常的证明方：①知道直线和圆有共点时，半径，证垂直；②不道直线与有没有公共点时，作直，证垂段等于半径.利用切线的质解决问时，通常连过切点的径，利用角三角形的性质来解问题.例：如图，、AC、DB是⊙的切线，P、、D为切点如果AB=5，AC=3则BD的长为2.知点三形圆图形

相关概念

圆心确定

内、外心的性质

内切圆半径与三角形边的关系：（1任意三角形的内切（如图a，设5.

三

角

经过三角形定点的圆叫做三角形外接圆，

三角三条垂平

到三角形的三个顶点的

三角形的周长为，则S△ABC=1/2Cr.（2直角三角形的内切圆（如图）形的外接圆

外接圆的圆叫做三角形的外心，个三角形

分线交点

距离相等

①若从定导，r=1/2(a+b+c);若从面积推导，则可得r=.6.

三角

叫做圆的内三角形与三角形各都相切的圆叫三形的内切圆，内圆的

到三角形三条角平

到三角形的三条边的距离

这两种结论可在做选择题和填空题时直接应用.例：已知△的三边长，，，则它的外切圆半径是形的内切圆

圆心叫做三形的内心，这个角形叫圆的外切三形

分线的交点

相等第23讲

与圆有关计算知点正边与（）正多边形有关概念：边长(a)、中O)、中心角∠AOB)、半径、边距r),如图所示①

关点与应例1

.正多边形与圆

（）特殊多边形中各中心角、长度比：中心角=°中角90°中心角=60，△BOC为等边△a:r:R=2:1:2a:r:R=2::2a:r:R=2:2

例：(1)如果个正多边形中心角为72°，么这个正多边形的边数5.(2)半径的正四形的边心距为32，中心角等面积为72.

2侧2侧知点：圆关计公式.弧长和扇形面积的计算

rn1扇形的弧长l＝扇形面积S＝＝lr；360（锥面展开图是一个扇形，扇形的半径于圆锥的线，扇形弧长等于圆锥的底周长.（）计算式：

例：已知扇的圆心角45°半径为12，该扇形的弧长为3在求不规则形的面积，注意利用割法与等积化方法归为规图形，再用规则图形的式求解.

.圆锥与侧面展开图

=rl

例：如图，已知一扇形的为3，心为°，则图中阴影部分的积为第七单元

图形与变换第讲平、称旋与似知点：形换（定：①轴对称：把一个图形沿某一条线翻折过，如果它够与另一

关点与应例常见的轴对图形：等三1.

图形

个图形重合那么就称两个图形于这条直线对称．②轴对称图：如果一平面图形着一条直线折叠，直线两旁的部分

角形、菱形矩形、正形、正六边、圆等的轴对称

够重合，那这个图形做轴对称形，这条直线叫做对称轴.（性：如果两个图形关于某直线对称，么对称轴任何一对应点所连线段的垂直分线；反来，成轴称的两个图形中，对应点的连线被称轴垂直平2.

图形

））移

画位似图形一般步骤：①确定位似心，②分连接并延长位中心和能表原图的关键；③根据似比，确定能表所作的似的平移

图形的关键；顺次连上③平移不改图形的形和大小，图形全等．

只改变图形位置，平后新旧两

述各点，得放大或缩的图形．3.

图形

（在面内，将一个图形绕一个定点沿某方向旋转个角度，样的图形运动称为旋，这个定称为旋转心，转动的角度称为旋转角．）的旋转

一对

4.

图形

（一图形绕着某一点旋转，如它能够与另个图形重，那么这两个图形关这个点对或中心对，该点叫做对称中心．的中对称