2023浙江高考模拟数列试题(部分较难题含答案)

(2023年嘉兴一模)4．已知等比数列的前项和为，则下列一定成立的是A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则9．离心率为的椭圆与双曲线有相同的焦点，且椭圆长轴的端点、短轴的端点、焦点到双曲线的一条渐近线的距离依次构成等差数列，则双曲线的离心率等于A．B．C．D．19．设数列的前n项和为，，且成等比数列，当时，．（Ⅰ）求证：当时，成等差数列；（Ⅱ）求的前n项和．（2023年嘉兴二模）10．在等差数列中，，，则公差，．（第19题）19．（本题满分15分）如图，在平面直角坐标系中，设，有一组圆心在x轴正半轴上的圆（）与x轴的交点分别为和．过圆心作垂直于x轴的直线，在第一象限与圆交于点．（第19题）（Ⅰ）试求数列的通项公式；（Ⅱ）设曲边形（阴影所示）的面积为，若对任意，恒成立，试求实数m的取值范围．2023年浙江高考模拟试卷数学卷（理科）2.在等差数列中，首项公差，若，则（）A、11 B、12C、10 D、1310.已知数列{an}的前n项和为Sn，对任意n∈N*都有Sn＝eq\f(2,3)an－eq\f(1,3)，且1<Sk<9(k∈N*)，则a1的值为________，k的值为________．13.设是按先后顺序排列的一列向量，若，且，则其中模最小的一个向量的序号19、（本小题满分15分）在数列中，，前项和满足(1)求的值（2）令，数列的前项和为，求证：。（2023嘉兴一模）12．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a4+a9=24，则S9=72，•的最大值为64．20．（15分）（2023•嘉兴一模）在数列{an}中，a1=3，an=，bn=an﹣2，n=2，3，（Ⅰ）求a2，a3，判断数列{an}的单调性并证明；（Ⅱ）求证：|an﹣2|＜|an﹣1﹣2|（n=2，3，…）；（Ⅲ）是否存在常数M，对任意n≥2，有b2b3…bn≤M？若存在，求出M的值；若不存在，请说明理由．【解析】：（Ⅰ）解：由a1=3，an=，得，，且可知an＞0．由an=，得（1），则有（2），由（2）﹣（1）得：，（an+1+an）（an+1﹣an）=an﹣an﹣1，∵an＞0，∴an+1﹣an与an﹣an﹣1同号．由＜0，易知，an﹣an﹣1＜0，即an＜an﹣1，可知数列{an}单调递减；（Ⅱ）证明：由，可得，，（an﹣2）（an+2）=an﹣1﹣2，∴．由（an﹣2）（an+2）=an﹣1﹣2，易知，an﹣2与an﹣1﹣2同号，由于a1﹣2=3﹣2＞0，可知，an﹣2＞0，即an＞2，∴an+2＞4，∴，∴|an﹣2|＜|an﹣1﹣2|，得证；（Ⅲ）解：∵（an﹣2）（an+2）=an﹣1﹣2，∴，即，则=．由|an﹣2|＜|an﹣1﹣2|，可知，|an﹣2|＜|an﹣1﹣2|=，∴，∵an＞2，∴．当n→∞时，4n﹣1→∞，故不存在常数M，对任意n≥2，有b2b3…bn≤M成立．（2023宁波二模）12.设为数列的前项和，，对任意正整数成立，则▲，▲．19．（本题满分15分）已知为实数，且，数列的前项和满足.（Ⅰ）求证：数列为等比数列，并求出公比；（Ⅱ）若对任意正整数成立，求证：当取到最小整数时，对于，都有（Ⅰ）证明：当时，所以，………………3分可得，又，所以，……………4分从而，即数列为等比数列，公比为4.………………6分（Ⅱ）解:，从而令，则所以，所以，即，从而取到最小整数为.………………9分此时………10分当时，，则有；当时，又，即有，则有，则有………………13分.………………15分（2023•杭州一模）13．设实数a1，d为等差数列{an}的首项和公差．若a6=﹣，则d的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．19．设数列{an}的前n项和为Sn，若Sn+an=n（n∈N+）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求证：+++…+＜2．【解析】：（1）解：当n=1时，a1+a1=1，解得．Sn+an=n，当n≥2时，Sn﹣1+an﹣1=n﹣1，可得an+an﹣an﹣1=1，∴，．∴数列{an﹣1}是等比数列，，∴．（2）证明：∵=，∴+++…+≤+…+==＜2．∴+++…+＜2．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式及前n项和公式、“放缩法”、递推式的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．（2023•丽水一模）7．设数列{an}是等差数列，公差d＞0，Sn为其前n项和，若正整数i，j，k，l满足i＜k＜l＜j，且i+j=k+l，则（）A．Si+Sj＜Sk+SlB．Si+Sj＞Sk+SlC．SiSj＜SkSlD．SiSj＞SkSl9．设数列{an}是公差为d的等差数列，a1+a3+a5=105，a2+a4+a6=99．则d=﹣2；an=41﹣2n；数列{an}的前n项和Sn取得最大值时，n=20．19．（15分）（2023•丽水一模）已知数列{an}，a1=，a2=，若数列{an+1﹣2an}，{2an+1﹣an}都是等比数列，公比分别是q1，q2（q1≠q2）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设Sn是数列{}的前n项和，求证：Sn＜．【解析】：（Ⅰ）解：∵数列{an+1﹣2an}、{2an+1﹣an}的公比分别为q1、q2，∴，2×（2）﹣（1）得：，（2）﹣2×（1）得：，∵，由（4）得：，∴，又分别由（3）、（4）得：，∴，解得或（不合题意，舍去）．由（4）得：；（2）证明：∵，∴．【点评】：本题考查了等比数列的通项公式，考查了等比数列的性质，考查了计算能力，训练了利用放缩法证明数列不等式，是中档题．(2023宁波十校模拟)3.已知等差数列的公差为,项数为偶数,所有奇数项的和为,所有偶数项的和为,则这个数列的项数为A.10B.20C.30D.407．设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围是A.B.C.D.19.(本小题满分15分)已知数列满足，点在直线上．数列满足,（且）．(=1\*ROMANI)(=1\*romani)求的通项公式;(=2\*romanii)证明（且）；(=2\*ROMANII)求证：.19.(=1\*ROMANI)因为点在直线上，所以，所以，所以所以----------------------4分(=2\*ROMANII)因为所以，，所以有，所以成立．-----8分（=3\*ROMANIII）由(=1\*ROMANI)、(=2\*ROMANII)可知，，，时，-------------10分又因为所以（其中）---------------13分所以所以有成立．-------------15分．(2023温州2模)12．设数列是公差为的等差数列，若，则▲；▲．20．（本小题14分）已知数列满足：，且．（I）设，求证是等比数列；（II）（=1\*romani）求数列的通项公式；（=2\*romanii）求证：对于任意都有成立．解：（I）由已知得，……2分则，………………3分又，则是以3为首项、3为公比的等比数列………………4分（II）（=1\*romani）解法1：由（I）得，即，则，相减得，…5分则，，，，相加得，则，……7分当时上式也成立由得，………8分故………9分解法2：由得，………6分则，，，相加得………9分解法3：由得，………5分设，则，可得，又，故，………8分则………9分（=2\*romanii）证法1：易证则………11分同理可得则………13分故………14分证法2：………11分故………13分………14分证法3：