《平方差公式》教学设计(北京市县级优课)-七年级数学教案

《平方差公式（一）》密云三中李燕山●课题§7.4平方差公式(一)●教学目标(一)教学知识点1.平方差公式的推导并能运用平方差公式进行简单的计算和应用。2.平方差公式的几何背景.(二)能力训练要求1经历观察、归纳、猜想，探索平方差公式过程，体会从特殊－—般—特殊的认识规律和“转化”的数学思想，进一步发展符号感和推理能力.2.重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力.(三)情感与价值观要求1.积极参与数学的学习活动，体验数学活动充满探索与创造，对数学有好奇心和求知欲。●教学重点1.平方差公式的推导过程、结构特点、语言表述、几何解释.2.平方差方公式的应用.●教学难点1.平方差公式的推导及其几何解释.2.平方差公式结构特点及其应用.●教学方法讲授法、探究法、讨论法●教具准备多媒体课件●教学过程一.温故知新，引入新课［师］同学们你们在语文课中学习的论学八则中，有这样一句话“温故而知新，可以为师矣”说的是复习旧知识，可以有新的发现。请同学们用已学的知识完成下列各题。（1）（x+5)(x-5)=（2）(m+0.2)(m-0.2)=（3）（5a+b)(5a-（4）(2m+3n)(2m-3n)［师］通过计算，大家是否觉得与一般的多项式乘以多项式有所不同呢？这组计算有没特殊的规律呢？同学们进行组内讨论。［生］（1）等式的左边都是两个两项式相乘，右边都是两个平方项的差。［生］（2）等式的左边都有一项完全相同，右边都是另一项互为相反数，相同项的平方减相反项的平方。［生］（3）等式的左边都是两个数的和与两个数的差的积，右边都是两个平方项的差。［师］很好！同学们同学们观察的仔细、认真，总结概括能力很强。我们用简洁，准确的话，将这一规律写下来。“两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。”［师］谁能用字母表示这一规律的一般性呢？［生］设这两个数为a和b则这一规律表示为:（a+b）（a-b）=a2-b2［师］用什么办法来证明这一规律的正确性呢？［生］用多项式乘以多项式法则。(a+b)(a-b)=a2-ab+ab-b2=a2–b2［师］同学们发现的这一规律是正确的，今后在计算中可以简算。这就是我们今天的新课，特殊的多项式乘以多项式——《平方差公式》二.模拟创新，合作交流。（一）．平方差公式的几何意义。［师］请大家在思考还有没有其他的办法来证明平方差公示的正确性呢？［生］前面我们学习过用几何图形验证等式的正确性，猜想:平方差公式也可以利用图形进行证明。 ［师］借助几何画板，演示平方差公式的几何意义。（二）．模仿平方差公式特点，小组内交流、讨论出题。［师］同学们模仿平方差公式特点，小组内交流、讨论出题，考考其他同学。［生］（1）（a+1）（a-1）提问：我出的题符合平方差公式特点吗？为什么？［生］符合。因为有两个数a和1做了一次和又做了一次差的积，所以符合。［生］（2）（-x+y）(-x-y)提问：我出的题符合平方差公式特点吗？为什么？［生］符合。因为有两个数-x和y做了一次和又做了一次差的积，所以符合。［生］（3）（-x-1）（x-1）提问：我出的题符合平方差公式特点吗？为什么？［生］不符合。［生］出题者提示;可以对这个式子进行等价变形，如提取负号。［生］还可以用加法的交换律，变成符合公式特点的式子。［生］学生在进行讨论，最终得以解答。［师］在这么短的时间里，你是如何出的题呢？［生］我只是将符合平方差公式特点简单的题，做了一些等价变形，表面形式变了，但本质特征没有改变，还是符合平方差公式特点的。（三）．例题讲解，再次观察平方差公式特点。［例1］利用平方差公式计算：［师］同学们观察3道题，能否用平方差公式计算？（1）（3x+2)（3x-2)(2)(3)(-4x-y)(4x-y)［师生共析］分析：（1）（3）题需灵活运用平方差公式。将第一个因式提出负号：-（4x+y）（4x-y） 或者将两个因式的两项分别交换位置：（-y-4x）（-y+4x） ［师］运用平方差公式计算的解题步骤是什么？［生］分为三步。（1）先看是否符合平方差公式（2）确定a和b（3）代入公式。［师］如何判断是否符合平方差公式呢？［生］有两个数做了一次和这两个数又做了一次差的积。［师］还有其他的办法吗？［生］是否有完全相同的一项，和互为相反数的一项。［师］你发现公式中字母、可以代表什么？［生］数，字母，单项式。三．牛刀小试，巩固应用.1.强化认识判断下列结论是否正确，并说明理由。（1）()（2）()（3）()（4）()（5）()（6）(2.学生独立完成。（1）（2）(-a+b)(-b-a)（3）(m+n2)(m-n2)(m2+n4)学生分析：（3）前两个因式用平方差公式计算得（m2-n4）在与第三个因式运用平方差公式计算得（m4-n8）四.各显神通，拓展提高.［师］大家运用知识的能力很强，让我们继续迎接挑战。你能运用平方差公式解决下列问题吗？（1）计算102×98（2）计算（3）计算(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1).分析：(1)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22=9996（2）(a+b+c)(a+b-c)=[(a+b)+c][(a+b)-c]=(a+b)2-c2=a2+2ab+b2-c2（3）(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1).=（2+1)(2-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)÷(2-1)=(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1)(2-1)=232-1［师］请同学们组内讨论。［生］将题目转化为可用平方差公式的形式。五．沙滩拾贝，谈谈收获.［师］我们已经登上了本节课知识的高峰，这时再让我们回想一下在这节课中，你都拣到了哪些贝壳呢？［生］平方差公式的使用条件。平方差公式公式中字母a，b的意义。（渗透换元的思想）证明平方差公式的两种方法。(4)平方差公式与整式乘法之间的关系。（5）证明不规则面积的方法等。［师］大家捡到的贝壳不仅多，而且还散发着奇异的光彩。六．课后作业1、1.教材93页“习题A.4,5B.6,7”2.请你根据公式的特点编制几道利用平方差公式计算的习题。3．利用其它图形，证明平方差公式的正确性。（可以查阅资料）板书设计§1.8.1完全平方公式(一)平方差公式两数的和与这两数的差的积，等于这两个数的平方差。（a+b）（a-b）=a2-b2证明：例题讲解（1）（x+1)（x-1)(3)(-4x-y)(4x-y)方法一（2）（3）(-4x-y)(4x-y)方法二

教案说明《平方差公式》是数学学科里一个非常重要的内容，它是多项式乘法的一个延伸，并为学生学习分解因式、分式，根式运算奠定了良好的基础。同时也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可或缺的数学工具。本节课关注学生对公式的探索过程，有意识地培养学生的推理能力，鼓励学生经历根据特例进行归纳、建立猜想、用符号表示，有条理地表达自己的思考过程，培养学生的数感和符号感，真正理解公式的来源、本质和应用，为今后的学习打下坚实的基础.目标确定：1、知识目标：平方差公式的推导及应用；完全平方公式的几何背景2、能力目标：经历探索平方差公式的过程，进一步发展符号感和推理能力；重视学生对算理的理解，有意识地培养他们有条理的思考和表达能力。3、情感目标：积极参与数学的学习活动，体验数学活动充满探索与创造，对数学有好奇心和求知欲。教材重点：平方差公式的推导过程，结构特点、语言表达、几何解释以及平方差公式的应用，而学生要系统并灵活地掌握重点就恰恰是他们在学习过程中的难点所在。对本节课我是这样构思的：课堂分为：温故知新——模拟创新——牛刀小试——各显神通——沙滩拾贝——布置作业，这六个环节。通过《论学八则》中的“温故而知新，可以为师矣。”引入本节课学生思考的问题。使学生能够带着问题思考，养成了较好的学习品质。学生的“学”体现在：组内讨论→探究发现→归纳结论→检验结论→活用结论。用多项式的乘法，验证平方公差式，再从老师演示公式的几何意义使学生理解公式的几何背景，不仅能够理解、归纳平方差公式的特点，使学生体会数形结合的思想，并充分感受到数学演绎的过程和数学知识的整体性,学会进行有条理的表达。使教法、学法和谐统一，形成由感性到理性认知过程，促进学生全面发展。教学方法我采用了讲授法、探究法、讨论法相结合的教学方法，讲授法——对于公式的结构特点，重点进行归纳总结。探究法--引导学生探究一组等式的左右两边各有哪些特点？讨论法--通过探究讨论得出平方差公式，并领会a、b可以表示什么？通过讨论如何出题这一环节，使学生再次体会平方差公式的结构特点，从而加深对公式的认识。通过各显神通这一环节的讨论，使学生再一次深入的认识平方差公式的结构特点。从而有意识的培养了学生灵活运用知识的能力，渗透了换元，转化思想。这样既调动了学生学习的主动性，又锻炼了思维，整个过程由浅入深，在对所得结论不断观察、讨论、分析中，加深对概念的理解，增强学生应用知识解决问题的能力，从而达到较好的授课效果。为了使学生的三维目标得到真正的实现，能在课堂的进行过程中突出重点，突破难点，我从以下几个活动来体现这堂课的内容：活动一：温故知新，引入新课首先，课件出示4道计算题，让学生自己运用熟知的知识解决这个问题，并在教师的引导和启发下，进行探索，得出规律，使学生体会从特殊－—般—特殊的认识规律，得出平方差公式，从而从旧的知识体系中，自己探索出新的规律和知识点，并用代数方法去验证几何方法得出的结论，体验数形结合的数学思想。设计意图：对于两个多项式相乘，学生们都会，但是感觉这样引入不能够很好的调动学生学习的积极性，过于平淡。所以借助于《论学八则》中的“温故而知新，可以为师矣。”引入新课，可以使学生认识到平淡的知识能够渗透大道理。达到了从心里不敢轻视的目的。这样引导学生多角度去考虑，培养他们的思维灵活性，而又通过对比、观察、发现其中的规律，得出了新的公式，这便满足了他们的成就感，并激发了他们去继续探索的兴趣。活动二：模拟创新，合作交流。（一）在前面已经师生共同得出平方差公式的基础上，再让学生小组内互相交流意见，展开讨论，观察它有什么样的特征，按照公式的结构特征出符合公式的计算题。这时教师再深入到学生中去，去倾听他们的意见，并适当地引导他们讨论的方向，然后由一个学生代表本组到讲台上展现本组的讨论结果。设计意图：对于平方差公式来说，它的重要意义就在于运用。而它应用的灵活性就体现在它的公式结构，也就是公式特征上，所以认识公式便是这节课的重点，所以这个活动，让学生自己通过观察——交流——再次认识它的特征。尤其对于表面形式不符合公式特点的式子，让出题者回顾出题的过程，这无形之中便向其他学生渗透了学习的方法。这对其他同学学习能力的培养起着非常重要的作用。这样不仅记忆深刻，而且学生更能灵活地运用它，并培养了他们的合作精神，而自己得出的结论被肯定，也增强了他们的成就感，提高了学习数学的兴趣。（二）例1、利用平方差公式计算：（1）（3x+2)（3x-2)(2)(3)(-4x-y)(4x-y)对于例题教师着重从以下几个方面来引导学生的思路，让学生先自己观察：（1）是否可以用平方差公式；（2）看公式中的a、b在具体例题中代表谁；（3）依照公式来计算。教师及时地帮助学生解答探索过程中的疑惑，最后教师边讲解边给出解答过程，学生便会及时地发现错误，并得以改正。设计意图：学生对公式既然已经掌握，他们便想知道这些知识点应该如何运用和体现，这时引入例题，并在教师指导下解决问题，使他们在应用和具体操作中发现问题，并鼓励他们自己寻找病因，锻炼了他们在实际应用中的灵活性和具体操作能力，而及时对解题方法和规律进行概括，发展了学生的思维能力。活动三：牛刀小试，巩固、应用。课件显示问题：1、抢答题：老师说“开始”在抢答。2、判断对错，并说明原因。这时学生们兴趣非常浓厚，热情特别高。争先恐后地回答问题。达到了学生们一起来寻找里面的错误并改正的目的。设计意图：以不同形式的练习，对学生内容掌握程度进行了考察，以学生的兴趣和好胜心出发，通过判断真假，从而达到锻炼学生的观察能力和对完全平方公式的熟悉程度，活动四：各显神通，拓展、提高。课件显示问题：各显神通接着便提出能用平方差公式解决下列问题吗？当各显神通这几个字一出现，学生们的眼睛都瞪圆了，都想“神通”一回.就等着问题的出现。设计意图：通过“各显神通”这几个字，激发学生迫切解决问题的愿望。增加学生们的求知欲。这个问题加深了学生对知识的巩固，达到举一反三