《角的平分线的性质（1）》课件

12.3角的平分线的性质第一课时知识回顾问题探究课堂小结随堂检测（1）三角形的判断方法有哪些?SSS,SAS,AAS,ASA,HL（2）三角形中有哪些重要线段?三角形中有三条重要线段，它们分别是：三角形的高，三角形的中线，三角形的角的平分线．（3）从直线外一点到这条直线的垂线段的长叫做

.点到直线的距离知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动1探究一：角的平分线的作法请同学们拿出准备好的角，用你自己的方法画出它的角平分线，然后与大家交流分享.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2探究一：角的平分线的作法如图是一个平分角的仪器，其中AB=AD，BC=DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，画一条射线AE，AE就是∠DAB的平分线.

你能说明它的道理吗?ADBCEMNA知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动3探究一：角的平分线的作法通过上述探究，你能否总结出尺规作已知角的平分线的一般方法．自己动手做做看．然后与同伴交流操作心得．BDC已知：∠MAN求作：∠MAN的角平分线.作法：（1）以A为圆心，适当长为半径画弧，交AM于B，交AN于D.（2）分别以B、D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠MAN的内部交于点C.（3）画射线AC.∴射线AC即为所求.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动3探究一：角的平分线的作法思考：1．在上面作法的第二步中，去掉“大于

的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠MAN的内部吗？总结：1．去掉“大于

的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以B、D为圆心，大于

的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠MAN的内部，也可能在∠MAN的外部，而我们要找的是∠MAN内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是∠MAN的平分线了．3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．4．这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动3探究一：角的平分线的作法练一练：任意画一角∠AOB，作它的平分线．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动1探究二：角的平分线的性质如图，将∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕为斜边），然后展开.观察两次折叠形成的三条折痕，三条折痕分别表示什么？你能得出什么结论？OC表示∠AOB的角平分线，PD和PE分别表示P到OA和OB的距离，P到角两边的距离相等（PD=PE）知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2探究二：角的平分线的性质作已知∠AOB的平分线，过平分线上一点P，作两边的垂线段.哪个学生的作法正确？同学乙的画法是正确的．同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的垂线，而不是过角平分线上一点作两边的垂线段，所以他的画法不符合要求．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2探究二：角的平分线的性质问题1：如何用文字语言叙述所画图形的性质？角平分线上的点到角的两边的距离相等．问题2：能否用符号语言来翻译“角平分线上的点到角的两边的距离相等”这句话？已知事项：

．由已知事项推出的事项：

．OC平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，D、E为垂足PD=PE知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动3探究二：角的平分线的性质以上结论成立吗？请证明.证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB

(已知)∴∠PDO=∠PEO=90°(垂直的定义)∠PDO=∠PEO（已证）∠AOC=∠BOC

（已知）

OP=OP

（公共边）∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）在

PDO和

PEO中∴

PDO

≌

PEO（AAS）知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动3探究二：角的平分线的性质角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．

符号语言：∵∠AOC=∠BOC,PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D、E.（已知）∴PD=PE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动1探究三：用角的平分线的性质解决简单问题例1(1)下面四个图中,点P都在∠AOB的平分线上,则图形()中PD＝PE.ABCD【思路点拨】利用角平分线的性质时，非常重要的条件是PD和PE是到角两边的距离.D【解答过程】选项A中如果增加一个条件OD＝OE，就能得出PD＝PE；选项B和C中PD不是到OA的距离；选项D中P到OA和OB的距离为PD和PE.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动1探究三：用角的平分线的性质解决简单问题例1(2)下图中,PD⊥OA,PE⊥OB，垂足分别为点D、E，则图中PD＝PE吗?【思路点拨】已知没有告诉OC为∠AOB的平分线，由此PD与PE不相等.不相等例1(3)如图,

ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，CD＝2cm，则点D到AB的距离为

cm．练习：如图,

ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为点E，AC=7cm，则AD+DE=

cm.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动1探究三：用角的平分线的性质解决简单问题【思路点拨】过D作AB的垂线段DE,垂足为E,由BD平分∠ABC，可得DC=DE=2.E2【思路点拨】由BD平分∠ABC，可得DC=DE,

AD+DE=AD+DC=AC.7知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2探究三：用角的平分线的性质解决简单问题例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？【思路点拨】

1．这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分线上，并且要求离角的顶点500米处．2．在纸上画图时，我们经常以厘米为单位，而题中距离又是以米为单位，这就涉及一个单位换算问题了．1m=100cm，所以比例尺为1:20000，其实就是图中1cm表示实际距离200m的意思．知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2探究三：用角的平分线的性质解决简单问题【作图过程】第一步：尺规作图法作出∠AOB的平分线OP．

第二步：在射线OP上截取OC=2.5cm，确定C点，C点就是集贸市场所建地了．例2如图所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500m，这个集贸市场应建于何处（在图上标出它的位置，比例尺为1:20000）？知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动2探究三：用角的平分线的性质解决简单问题练习：在S区有一个贸易市场P，它建在公路与铁路所成角的平分线上，要从P点建两条路，一条到公路，一条到铁路，怎样修才能使路最短？它们有怎样的数量关系呢？S公路铁路P【思路点拨】过P分别作公路和铁路的垂线段，这两条垂线段就是P点到公路和铁路的最短距离.【答案】过P点分别作铁路和公路的垂线段，它们的数量关系为相等.知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动3探究三：用角的平分线的性质解决简单问题【思路点拨】证CF和EA所在的两个三角形全等.证明：例3如图,ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，F在BC上，AD=DF.

求证：CF=EA∵∠C＝90°，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，∴DC=DE又∵AD=DF∴

DCF≌

DEA（HL）∴CF=EA知识回顾问题探究课堂小结随堂检测活动3探究三：用角的平分线的性质解决简单问题练习：如图，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，BE，CD交于点O，且AO平分∠BAC，求证：OB=OC．【思路点拨】利用角平分线的性质可得OD=OE，证明

BOD≌

COE可得OB=OC.证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，AO平分∠BAC，∴OD=OE，∠BDO=∠CEO=90°．∵∠BOD=∠COE，∴BOD≌COE．∴OB=OC．知识梳理知识回顾问