大学物理A1课件0刚体力学基础

大学物理A1课件0刚体力学基础第1页/共67页§3.1刚体运动的描述§3.2刚体定轴转动定律角动量守恒定律§3.3刚体的能量§3.4陀螺的运动

进动内容提要第2页/共67页§3.1刚体运动的描述3.1.1刚体特殊的质点系，形状和体积不变化.——理想化模型质点质点系刚体集合特例

特点：任意两点间的距离始终保持不变.第3页/共67页质心ABA'B'A"B"选哪个点来代表？刚体的平动质心

连接刚体内任意两点的一条直线在运动的各个时刻的位置都彼此平行。刚体的这种运动称为平动。

刚体作平动时，其上各个质点的运动状态完全相同，故可用任意一点的运动代表刚体整体的运动。

通常用质心的运动来代表整体的运动。2第4页/共67页设N个质点m1,m2,,mN，对应的位矢定义：质心的位矢质心几何对称中心质量均匀分布体：3第5页/共67页3.1.2刚体的自由度确定物体的位置所需要的独立坐标数目.sOi=1i=2xyzO(x,y,z)i=3i=3+2+1=6当刚体受到某些限制——自由度减少Cxzy第6页/共67页3.1.3刚体运动的几种形式平动转动(特例:定轴转动)平动＋转动刚体的运动刚体在运动过程中，其上任意两点的连线始终保持平行。刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种条直线称为转轴。自由度为1定轴转动：转轴固定不动的转动。1.平动:2.转动:自由度为3第7页/共67页刚体在运动过程中，其上每一点都在与某固定平面相平行的平面内运动.当刚体上某一点固定时，刚体只能绕该点转动.刚体的一般运动可以看成是随刚体上某一点（如质心）的移动和绕该点的转动的组合．3.平面平行运动:5.一般运动:4.定点转动:自由度为3.自由度为3.自由度为6.第8页/共67页3.1.4

刚体定轴转动的描述转轴刚体转轴上各点都保持静止转动：刚体各点都绕同一直线

(转轴)

作圆周运动。最简单的情况是转轴的位置和方向都固定不变的转动，称为刚体的定轴转动。在同一时间内,各点对轴的转角相等，但线速度不同。用角量来描述转动规律较为方便。5第9页/共67页1.基本物理量角坐标角速度角加速度当径矢r从Ox轴开始沿逆时针方向转动时,角坐标θ为正规定：第10页/共67页角加速度的单位：弧度每二次方秒符号：

rad·s-2角速度的方向角加速度第11页/共67页例已知求w()t()tq任意时刻的b()tkk0恒量且

t

=0时w0wq0q()ttddwb,tddwbwwbw0dw0ttdk0ttd得解法提要t+w0kdqwtd,dqwtd)(t+w0ktd0tdqqq0)(t+w0ktd得qrqq0t+w0kt212或()tqq0+t+w0kt212匀变角速定轴转动的角位移方程匀变角速定轴转动的运动方程第12页/共67页线量与角量的关系bw定轴转动刚体在某时刻t

的瞬时角速度为，瞬时角加速度为，求刚体中一质点P至转轴的距离为r质点P

的大小rPPrOOw

瞬时线速度v瞬时切向加速度atna瞬时法向加速度()batdtdvdtdrwrvdstdqdrtdwrnavr2(wr)2rrw2这是定轴转动中线量与角量的基本关系qdqddsds解法提要dsqdr第13页/共67页OP2.角量与线量的关系点P的线速度和角速度之间的关系为：切向加速度为：法向加速度为：刚体上任意点都绕同一轴作圆周运动,则,α都相同.加速度：矢量式第14页/共67页公式对比质点直线运动或刚体平动

刚体的定轴转动速度角速度加速度角加速度位移角位移vrx1t2x()tx()r1t2()t()qqqwddtwddtqabddtvddt匀速直线运动ssvt匀角速定轴转动qwt匀变速直线运动匀变角速定轴转动s021+vt2atqw0+t21b2t2vv022asw2w022bqvv0+atww0+bt第15页/共67页飞轮30s

内转过的角度

例1

一飞轮半径为0.2m、转速为150r·min-1，因受制动而均匀减速，经30s停止转动.试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开始后t=6s

时飞轮的角速度；（3）t=6s时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解（1）

t=30s

时，设.飞轮做匀减速运动时，

t=0s

第16页/共67页（2）时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数2222nsm6.31sm)π4(2.0--=×.==wra.第17页/共67页

例2

在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动.开始时,它的角速度，经300s后，其转速达到18000r·min-1.已知转子的角加速度与时间成正比.问在这段时间内，转子转过多少转？解由题意，令，即，积分得当t=300s

时所以第18页/共67页转子的角速度由角速度的定义得有在300s内转子转过的转数第19页/共67页§3.2刚体定轴转动定律

角动量守恒定律第20页/共67页3.2.1力矩力改变刚体的转动状态刚体获得角加速度质点获得加速度改变质点的运动状态？F

不在平面内,先正交分解力F为:力矩的方向由右螺旋法则确定第21页/共67页第22页/共67页(1)力对点的力矩O.(2)力对定轴力矩的矢量形式讨论hA(3)几个力同时作用,合力矩为:OZ合力矩的大小等于各力矩的代数和第23页/共67页（4）讨论内力对转轴的力矩考察任意两个质点1、2刚体内力不产生力矩(5)力矩的单位：牛顿米符号：

N·mOZ12第24页/共67页3.2.2定轴转动定律转动惯量把刚体看作一个特殊质点系内力外力合外力矩:合内力矩:1.定轴转动定律转动惯量定轴转动:第25页/共67页故令——转动惯量对于参考点O’(定点),质元Δmi

的角动量为:Li

在z轴上的分量为:总第26页/共67页刚体转动定律：故：又第27页/共67页(1)刚体定轴转动定律：

刚体定轴转动的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。M的符号：使刚体向规定的正方向转动的力矩为正.说明讨论(3)为瞬时关系;(4)转动中与平动中地位相同．(1)与方向相同;(2)对同一轴;

（1）（2）（3）

=常量第28页/共67页(2)转动惯量(1)定义:单位:

刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴距离的平方之积求和.描述物体转动惯性的大小.(3)计算:质量有关质量分布有关转轴位置有关(4)转动惯量与(2)物理意义:第29页/共67页3.转动惯量的计算（1）分立的质量元构成的系统（2）质量连续分布的系统(如:刚体)Mrdm单位：kgm2质量元dm

的计算方法如下：质量为线分布质量为面分布质量为体分布线密度面密度体密度12第30页/共67页例:由长l的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过

A垂直于该平面的轴的转动惯量。思考：A点移至质量为2m的杆中心处J=?解：由定义式:第31页/共67页例:

一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。解:

(1)轴过中点在杆上任取dm(2)轴过一端端点第32页/共67页例:

求质量m,半径R

的圆环对中心垂直轴的转动惯量.解:圆环上取微元dmROdmm1J1

=mR2+m1R2思考1.环上加一质量为m1的质点,J1

=?思考2.

环上有一个x的缺口，J2=?ROxx注意:对同轴的转动惯量才具有可加减性.第33页/共67页例:

求质量m,半径R

的均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量.解:

圆盘上取半径为r宽度dr的圆环作为质量元dm.ROrdrO第34页/共67页

若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc，则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是:mRJzJc垂直轴定理:对平面刚体平行轴定理:第35页/共67页几种常见刚体转动惯量圆环转轴通过中心与盘面垂直r圆环转轴沿直径r

几何形状不规则的刚体的转动惯量，由实验测定。薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直rr2r1圆筒转轴沿几何轴第36页/共67页lr圆柱体转轴沿几何轴lr圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直l细棒转轴通过中心与棒垂直l细棒转轴通过端点与棒垂直2r球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径第37页/共67页解题要点3.刚体定轴转动定律的应用第38页/共67页解：对轮、物受力分析如图mMmmgTMgN由转动定律:由牛顿定律:例:

质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m.

一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体.

设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，求：

(1)由静止开始1秒钟后，物体下降的距离.(2)绳子的张力.第39页/共67页mMm1m2RT1T2m1gm2gm2

>m1MgNm2MT1T2m2gRm1m1gN1N2Mg拓展:第40页/共67页例:

一质量为m，长为l的均质细杆，可绕垂直于平面、穿过O点的转轴转动，转轴距A

端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕O点转动.求：(1)水平位置的角速度和角加速度;(2)垂直位置时的角速度和角加速度.OBAcmg解：已知由平行轴定理(1)由转动定律:第41页/共67页(2)垂直时，力矩为零.故设棒在任意时刻位置如图由转动定律第42页/共67页例:

一半径为R、质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为0，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘才停止.(设摩擦系数为)ORdrr解:考察半径为r宽度为dr的圆环摩擦力矩为:由转动定律:第43页/共67页1.定轴转动刚体的角动量3.2.3刚体定轴转动的角动量和角动量定理转动平面mi对O的角动量：大小：方向：的方向刚体对z轴的总角动量为:第44页/共67页2.刚体定轴转动的角动量定理称为冲量矩之和又称角冲量刚体的角动量定理：刚体在t1t2时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量.刚体定轴转动的角动量定理的微分形式第45页/共67页3.2.4定轴转动刚体的角动量守恒定律

变形体绕某轴转动时，若其上各点(质元)转动的角速度相同，则变形体对该轴的角动量为：说明对定轴转动刚体——角动量守恒定律

如果物体所受的合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，物体的角动量保持不变。当变形体所受合外力矩为零时,变形体的角动量也守恒第46页/共67页如：花样滑冰跳水芭蕾舞等第47页/共67页一演员在台北101大厦(500m高)前表演第48页/共67页第49页/共67页§3.3刚体的能量第50页/共67页1.刚体定轴转动的动能3.3.1刚体定轴转动的动能和动能定理(1)质元动能：(2)刚体的总动能：mizm是物体平动惯性的量度J是物体转动惯性的量度转动动能是刚体上所有质点元的动能之和.第51页/共67页(1)力矩的功和功率zdθ力矩的功：合力矩的功：注：力矩求和只能对同一参考点(或轴)进行.力矩功率：2.刚体定轴转动的动能定理第52页/共67页(2)刚体定轴转动的动能定理

合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于它对该轴的转动动能的增量.第53页/共67页3.3.2刚体的重力势能刚体的重力势能所有质元的重力势能之和:刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能.2.刚体的机械能结论：第54页/共67页3.刚体定轴转动的功能原理由动能定理:重力做功由势能计算4.含刚体系统的机械能守恒定律对于含刚体的系统，机械能守恒定律可表示为:第55页/共67页考虑能否用机械能守恒定律再考虑能否应用动能定理最后再考虑应用刚体定轴转动定律解决实际问题例:

有一根长为l，质量为m

的均匀细直棒，棒可绕上端光滑水平轴在竖直平面内转动．最初棒静止在水平位置，求它由此下摆θ

角时的角加速度和角速度（细棒对转轴的转动惯量为）mg第56页/共67页mg解法一:用刚体转动定律求解第57页/共67页解法二:用刚体定轴转动的动能定理求解解法三:用机械能守恒定律选细棒和地球作为系统只有重力做功,整个系统的机械能守恒选细棒下摆θ角时质心位置作为势能的零点第58页/共67页例:一质量为M、半径R的圆盘，盘上绕有细绳，一端挂有质量为m的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，问物体由静止下落高度h时其速度为多大？mMm解：受力分析如图所示:解得:mgT对圆盘：由动能定理对物体：由动能定理第59页/共67页例:

如图,已知滑轮的质量为m0,半径为R.斜面的倾角为,斜面上物体的质量为m,物体与斜面间光滑;弹簧的劲度系数为k.现将物体从静止释放，释放时弹簧无形变.设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动,忽略轴间摩擦阻力矩，求物体沿斜面下滑x(m)时的速度.(滑轮视作薄圆盘)解：选取m、