聊城大学《固体物理》第一章 1第五节

第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院3）微观对称类型本节重点1）基本的对称操作；2）宏观对称类型；整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院1、对称的概念整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院镜像(面)旋转中心反演整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院对称就是物体相同部分有规律的重复，即物体中相同部分，通过一定对称操作(如旋转、中心反演、镜面)可以发生重复；也就是说相同部分通过一定操作彼此可以重合起来，使图形恢复原来的形象。对称操作是指凭借对称要素能够使对称物体中的各个相同部分，作有规律重复的变换动作。对称要素则是指在进行对称操作时所凭借的几何要素——点、线、面等。即点、线、面等对称要素保持不动。对称定义点：中心点；线：旋转轴线；面：镜面整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院2、晶体对称性的判定由于晶体的自限性，使得晶体内部的原子的规则排列反映在晶体的宏观形态上，晶体表现出宏观对称性。对于外表面具有很多晶面晶体，往往不能直接判别它对称特征，必须经过测角和投影以后，才可对晶体对称规律进行分析研究。晶体的极射赤平投影整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院通过对大量晶体进行测角和投影，归纳成32种典型的宏观对称类型。由于在宏观对称类型，全部对称要素相交于一点(晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，因此称之为点群。该点群中的对称操作中不包括平移。而若对称操作中包括平移，共构成了230中微观的对称类型。所有以上的对称类型都源于以下基本对称操作的组合。3、基本的对称操作1）对称操作的变换--线性变换和刚体一样，晶格中任何两点间的距离，在操作前后应保持不变，在数学上表示，这些操作就是熟知的线性交换。整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院经过某一对称操作，把晶体中任一点变为可以用线性变换来表示。x1x3x2θα（x1’,x2’,x3’)（x1,x2,x3)若采用矩阵表示线性变换：整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院由于操作前后，两点间的距离保持不变，即而同理又其中I是单位矩阵，所以得出A为正交矩阵。整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院如令代表矩阵A的行列式，则又2）简单对称操作的变换关系①转动将某一图形绕X1转过θ角，该图形中任一点（x1,x2,x3)变为另一点（x1’,x2’,x3’)，则变换关系有：(x1’,x2’,x3’)(x1,x2,x3)整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院(x1’,x2’,x3’)(x1,x2,x3)则正交变换整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院正交矩阵A为②中心反演取中心为原点，经过中心反演后，图形中任一点（x1,x2,x3)变为另一点（-x1,-x2,-x3)，则变换关系如下整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院正交矩阵A为③镜像X1X3X2(x1’

,x2’,x3’)(x1,x2,x3)镜像对称操作是将图形的任一点(x1,x2,x3)变为另一点(x1’

,x2’,x3’)，变换关系如下：即以x3=0面作为镜面。整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院则正交变换正交矩阵A为整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院3）基本的对称操作①n度旋转对称轴如果晶体绕某一对称轴旋转θ=2π/n以后自身能重合，则称该轴为n度旋转对称轴。由于晶体的对称操作并不涉及到晶格的平移，在操作时应至少保持一点不同，所以采用双转轴来推导晶体旋转对称轴，存在一定的局限性，应采用单转轴推导方法。A1ABB1由于晶格周期性的限制，晶体可能的转动讨论如下。整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院OBAA1B1θθ如图A、O、B

是某一晶列上相邻的三个格点，周期为a。如果绕过O

点垂直于晶列的转轴顺时针转θ角，A转到A1，晶体自身重合，则A1点必为一格点。再绕过O

点的转轴逆时针转θ角，晶体恢复到未转动时的状态，但此时B处格点转到B1点，则B1处必为一格点。可以知道AB//A1B1，平行晶列具有相同的周期，则有整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院OBAA1B1θθ其中m为正整数或零因为顺时(或逆时)针转动分别等价于逆时(或顺时)针转动，所以晶格转动的独立转角为：整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院晶体中允许的旋转对称轴只能是1，2，3，4，6度轴。对称轴的度数n2346符号▼对称轴度数的符号表晶体中对称轴的度数常用不同的符号代表，如下表所示整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院晶体中不存在5度或6度以上的转轴。上述结果也可以直观的理解为：长方形、正三边形、正方形、正六边形可以在平面内周期性的重复排列，而不留空隙，但正五边形却不能相互紧密排列做重复排列而不留空隙，因此晶体中不存在5度的转轴。整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院②n度旋转-反演轴若绕某一固定轴u旋转2π/n角度以后，再经中心反演(即x→-x，y→-y，z→-z)，晶体能够自身重合，则称u为n度旋转-反演轴。这样的对称轴只有1，2，3，4，6度。为了区别于转轴，在轴的度次上加“-”来表示旋转-反演轴。即。1212125436整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院6=3+m1234566'1234ABDCEFGH正四面体既无四度轴也无对称心，是基本的对称操作。总上所述，晶体的宏观对称性中有以下八种的基本对称操作，即1，2，3，4，6，i，m，。整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院所有点对称操作都可由这8种操作或它们的组合来完成。一个晶体的全部对称操作构成一个群，每个操作都是群的一个元素。对称性不同的晶体属于不同的群。由旋转、中心反演、镜象和旋转-反演点对称操作构成的群，全部对称要素相交于一点(晶体中心)，在进行对称操作时至少有一点不移动，称之为点群。理论证明，所有晶体只有32种点群，即只有32种不同的点对称操作类型。这种对称性在宏观上表现为晶体外形的对称及物理性质在不同方向上的对称性。所以又称宏观对称性。整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院如果考虑晶格平移，多出以下两类微观对称操作类型：n度螺旋轴和滑移反映面。①n度螺旋轴一个n度螺旋轴u表示绕轴每转2π/n角度后，再沿该轴的方向平移T/n

的l倍，则晶体中的原子和相同的原子重合。其中，l为小于n

的整数，T为沿u轴方向上的周期矢量。晶体也只有1，2，3，4，6度螺旋轴。n=4，l=1。如图4度螺旋轴，由A→

A4。1AA12A23A34A4Tu整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院②滑移反映面一个滑移反映面表示经过该面的镜像操作后，再沿平行于该面的某个方向平移T/n

的距离，晶体中的原子和相同的原子重合。其中，T是该方向上的周期矢量，n为2或4。如图表示一滑移反映面MM’。

n=2AA’A1A1’A2A2’MM’整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院32种点群对应于晶体32种宏观的对称性，再加上n度螺旋轴和滑移反映面平移对称操作，经过不同组合就可以导出230种空间群。每种空间群对应于一种特殊的晶体结构。4、空间群空间群分为两类：一类称为简单空间群或点空间群；一类称为复杂空间群或非点空间群。所谓点空间群是由一个点群和一个平移群对称操作而成的。它的一般操作可以写成整理课件第六节晶体的对称性聊城大学物理科学与信息工程学院其中表示点群对称操作，代表平移对称操作。简单晶格所具有的空间群属于点空间群。此外，一些复式晶格的空间群也属于点空间群。共有73种点空间群。复杂空间群：复杂空间群的对称操作可以有更一般的形式：其中表示点群操作，但代表不是整数晶格矢量平移对称操作。整理课件第七节晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院分别为取为晶胞的三个方向基矢，间的夹角。按照基矢和基矢之间夹角的特点，晶体可以分为七大晶系；按照晶胞上格点的分布特点，晶体结构又分为14种布喇菲格子。简单三斜1、三斜晶系：

整理课件第七节晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院2、单斜晶系：3、三角晶系：简单单斜底心单斜三角整理课件第七节晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院4、正交晶系：5、四方晶系简单正交底心正交体心正交面心正交简单四方体心四方整理课件第七节晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院6、六角晶系：7、立方晶系：简单立方体心立方面心立方六角整理课件第七节晶格结构的分类聊城大学物理科学与信息工程学院七个晶系分别属于低、中、高级三个晶族。低级晶族的三斜晶系(无对称轴和对称面)、单斜晶系(二次轴和对称面各不多于一个)和正交晶系(二次轴或对称面多于一个)；属于中级晶族的四方晶系(有一个四次轴)、三角晶系(有一个三次轴)和六角晶系(有一个六次轴)；属于高级晶族的立方晶系(有四个三次轴)。另外，根据是否有高次轴以及有一个或多个高次轴，把32个