2015届高考数学（文）二轮黄金考点汇编考点05函数的性质（单调性、奇偶性、周期性）（解析版）

考点05函数性质（单调性、奇偶性、周期性）

【考点分类】

热点一函数的单调性

1.【2014高考安徽卷文第5题】设。=10837,6=2",。=0.83」则（）

A.b<a<cB.c<a<bC.c<b<aD.a<c<b

【答案】3

【解析】

试题分析：由题意，因为a=log",,则二c=TL则，=0.83,，则。<0.8：=1,

所以c<a<b

考点：指致函艮、对数函数、察函数的单用住.

2.12014高考北京卷文第2题】下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）

A.y=e~xB.y=x3C.y=\nxD.y=|x|

【答案】B

【解析】对于选项A,在R上是减函数；选项C的定义域为乙1+x）；选项）在（-匕0）上是减函数，故

比3.

【考点】本小题主要考查函数的单调性，属基.小逾，难度不大.

3.12014高考福建卷文第8题】若函数y=log“x（a>0,且。。1）的图象如右图所示，则下

列

函

数

正

确

的

是（)

【答案】B

【解析】

试题分析：由函数j=10gsiala>(X且m-li的图冢可l二=3,所以，1=才‘，j=(一.\-y=-F及

j=log式一x)均为减函数，只有j=G是昨.我，选

考点：黑函数、指数函数、对数函数的巴家和性脐

4.12014高考陕西卷文第7题】下了函数中，满足“/(x+y)=/(x)/(y)”的单调递增函

数是

2

(A)f(x)=x3(8)f(x)=3Y(C)/(x)=(Z))/(x)

【答案】B

t解析】

试题分析：J选项।由fI-v+yI=I,Y+;,.f\',f\y'\=•?-i'=(xi)',得"x+ji=fI.YIflyl>

所以H错误；

3选项：由fix+ji=3'-,/i.Yiyiyi-3<3?-L,得Jx+ji=fi工⑺jI；又函数fixi=3'

是定义在义上噜函数，所以3正确：

，•；2

C选项：由f।*+ji=ix+j,再f\>：\/1-=**-V3=/得f[x+】iH/7X"Iji,所以C错

、C1

l天；

。选项：函数力XI=:：是定义在我上式函数，所以D错误•

故选3

考点：函数求值；函数的单调性.

5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)文】下列函数中，既是偶函数又在区

间(0,+8)上单调递减的是()

1,

(A)y=—(B)y=ex(C)y=-x2+1(D)y=\g\x\

x

【答案】c

【解析】y=L是奇函数，y=e-：是非奇非笆函数，(C);■，.一既是偶函数又在区间(0,+8)上单调递减,

y=lglK|是偶函数，在9,+8)上单调递理如:•本题也可।上日助图象，利用数形结合解决.

6.12014高考天津卷卷文第12题】函数/(幻=怆/的单调递减区间是.

【答案】(-x.O).

【解析】

试题分析：因为函数定义域为，所以当工"；，u=x：单调减，函数，xl=lg.\：单调减，

:

当x=(0r-x।=x：单调噌，函数/(.vi=lg.<单调噌，上封数/(.VI=lg.v的单调递减区间是I-，。).

考点：复合函数单调区间

【方;频律】

1.对于给出具体解析式的函数，证明其在某区间上的单调性有两种方法：

(1)可以结合定义(基本步骤为取值、作差或作商、变形、判断)求解.

(2)可导函数则可以利用导数解之.但是，对于抽象函数单调性的证明，一般采用定义法进行.

2.求函数的单调区间与确定单调性的方法一致.

(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间.

(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义确定单调区间.

(3)图象法：如果/(x)是以图象形式给出的，或者/(X)的图象易作出，可由图象的直观性写出它

的单调区间.

(4)导数法：利用导数取值的正负确定函数的单调区间.

3.函数单调性的应用：/(x)在定义域上(或某一单调区间上)具有单调性，则人为)勺(冷)=/(X,)

-./(X2)<0,若函数是增函数，则危|)</*2)。为〈必，函数不等式(或方程)的求解，总是想方设

法去掉抽象函数的符号，化为一般不等式(或方程)求解，但无论如何都必须在定义域内或给定

的范围内进行.

【易错点睛】

误区L用定义证明函数的单调性时，错用“自己证明自己”而致错(循环论证).

【例11(2014广州综合测试)证明：函数£仪)=港在［(),+8)上是增函数.

【错证】设0<X］<X2,贝|Jf(Xi)-f(x2)=-\［x］--\［x2,所以<A/X2,所以f(Xt)-f(x2)<0,

即f(X|)<f(X2),故函数f(x)在［0,+8)上是增函数.

【剖析】该证法犯了逻辑上的循环论证的错误，本来要证明qx)在［0,+00)上是增函数，

可在由X1<X2得到病<百时，就用到了［X)在［0,+8)上是增函数的结论，犯下了“自己证

明自己”的错误.

误区2.求复合函数的单调区间时，忽视函数的定义域而致错

【例2】(2014浙江宁波十校联考)求丫=而受二G的单调区间.

【错解】令t=x?-4x-12,则t=x?-4x-12在(-8,2］上递减，在［2,+8)上递增，又

y=4是增函数，所以丫二32二4x^12的单调区间是(-8,2］与［2,+oo),其中在(-oo,2］

上递减，在［2,+8)上递增.

【剖析】上述解答错误的原因是忽视了函数的定义域｛x|xW-2或疟6｝.

【正解】x2-4x-12>0,得xW-2或疟6,令t=x?-4x-12,贝jit=(x-2了-16在(-

oo,2］上是减函数，在［2,+oo)上是增函数.又y=4是增函数，所以y=,x2-4x-12的单

调区间是(-00,-2］与［6,+00),其中在(-00,-2］上递减，在［6,+8)上递增.

【点拨】求解复合函数单调性问题，必须考虑函数的定义域，建立“定义域优先”意识.

误区3.忽视隐含条件致误

3a-lx+4a,x<1,

【例3】已知f(x)=J是(-8,+00)上的减函数，那么a的取值范围

JOgaX,X>1

是()

A.(0,1)B.(0,1)C.［|,|)D.［1,1)

【错解】误选B项的原因只是考虑到了使得各段函数在相应定义域内为减函数的条件，

要知道函数在R上为减函数，还需使得［x)=(3a-l)x+4a在x<l上的最小值不小于［x)=

logax在xNl上的最大值，多数考生易漏掉这一限制条件而造成失误.

f3a-1<0,

【正解】据题意使原函数在定义域R上为减函数，只需满足：｛0<a<l,o

、3a-l.xl+4a>log；,l

1<a<|.故选C.

【点评】一般地，若函数gx)在区间［a,b)上为增函数，在区间［b,c］上为增函数，则不一

定说明函数f(x)在［a,c］为增函数，如图(1),由图像可知函数f(x)在［a,c|上整体不呈上升

趋势，故此时不能说f(x)在［a,c］上为增函数，若图象满足如图(2),即可说明函数在［a,c］

上为增函数，即只需f(x)在［a,b)上的最大值不大于f(x)在［b,c］上的最小值即可，同理减函数

的情况依据上述思路也可推得相应结论.

需注意以下两点：

(1)函数的单调区间是其定义域的子集，如果一个函数在其定义域的几个区间上都是增函

数(或减函数)，不能认为这个函数在其定义域上就是增函数(或减函数)，例如函数f(x)=:在

(-00,0)上是减函数，在(0,+00)上也是减函数，但不能说3)=(在(-co,0)U(0,+8)上是

减函数，因为当X1=-1,X2=1时，有f(X1)=-1<f(x2)=1不满足减函数的定义.

(2)当一个函数的增区间(或减区间)有多个时，一般不能直接用“U”将它们连接起来，例

如：函数

丫=*3-3*的单调增区间有两个：(-8,-1)和(1,+8)不能写成(-8,-l)U(l,+oo).

热点二函数的奇偶性

1.【2014高考广东卷文第5题】下列函数为奇函数的是()

A.2*-----B.x3sinxC.2cosx+l

T

D.x2+2X

【答案】A

【解析Rt于A选项中的函数f(x'l=F-二。函蓼定义域为义，八-x)=尸-2-W=L-2X

=-/l'-vl.故R选项中的函数为奇函数，对于3透项中的瓯数gl"l=Fsinx,由于函数H=F与函数

j：=sinx均为奇函数，则函数名国:丁加》为总函数；对于C选项中的函数UW=2COSK+1,定义域

为五，h(-xl=2cos(-xI+1=2cosxI=〃(x)，"』嘴;〃l：xi=2cosx+l为偶函数；对于

D选项中的函数的5=/+/，311=3,C-li=4,则因此函数0xj=F+2工为

非奇非偶函数，故选A.

【考点定位】本题考查函数的奇偶性的把短，着重毛查利用定工来进行判断，属于中等题.

2.12014高考全国1卷文第5题】设函数/(x),g(x)的定义域为R,且/(x)是奇函数，g(x)

是偶函数，则下列结论中正确的是()

A./(x)g(x)是偶函数B.|/(x)|g(x)是奇函数

C./(x)|g(x)|是奇函数D.|/(x)g(x)|是奇函数

t答案】C

t解析】

试题分析：由函数f(x1g(x)的定义域为P，且f(x)是一-J!检•，g(x)是偶函数，可得：/(.V)和g(.v)

均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数I两偶函举:冶乘为偶函数的规律可知选C.

着点：函数的奇偶性

3.【2014高考重庆卷文第4题】下列函数为偶函数的是()

A.f(x)=x-lB.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2~xD/(x)=2'+2r

【答案】D

【解析】

试题分析：因为/(x'l=x-l不是奇函数也,是偶I那3所以近以A不正确；因为/(xl=x:+x不是奇函

数也不是偶函数，所以选项3不正确；由，3=2工一厂;'(-x)=2-x-2'=-(2^-2-；)=-fix],

所以〃,是奇函数,选项C不正确.由“xj=丁丁2-\/(-<.|=尸+F=2"+尸=,所以"x)

是偶函数，选项。正确.故选工

考点：函数奇偶性的判断.

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)文科】定义域为R的四个函数y=

y=2',y=x2+1,y=2sinx中，奇函数的个数是()

A.4B.3C.2D.1

【答案】C

【解析】奇函数的为y=d」“=2sinx,y=犬+1和y=2、为非奇非偶函数，故选C.

5.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷)文科】已知f(x)是奇函数，g(x)

是偶函数，且f(―1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4,则g(1)等于()

A.4B.3C.2D.1

【答案】B

【解析】因为两式相加可得g⑴=3.

〔./(D+g⑴=4

6.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(辽宁卷)文科】

已知函数=^3x)+1,.则/(lg2)+/，g£|=()

A.-1B.0C.1D.2

【答案】D

【解析】

令成x)=/(.v)-l=lnI>/1+9.C-3M.则M冲»奇函数，

地g2)=/(1g2)—L沏g=

又4g2)+=0故2)-1=c即-Qg2)VQg7)=2.

一■■.

7.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(山东卷)】已知函数/(x)为奇函数，且当x>0

时,y(x)=x2+—,,则/(一1)=()

A.-2B.0C.1D.2

【答案】A

［解析］/(_l)=_/(l)=_(12+；)=_2.

8.12014高考湖南卷文第15题】若/(x)=ln(e3'+l)+av是偶函数，则。=.

【答案】-23

2

【解析】因为函数"W=In：「+11+为偶函额，所以f［-的=f(xi

,、，，、"：+］、',.、

=In(07+1|-ax=In(+11+ox=>In---:一av=In(e:"+11+av

.；_…J33

=>ln(e''+11-3x-ax=ln\e:'+C'c;\=-3x=?_r=a=，故埴.

【考点定位】奇偶性时数运菖

9.【2013年普通高等学校统一考试江苏数学试题】已知/(x)是定义在R上的奇函数.当x〉0

时，/(X)=X2—4X,则不等式/(x)>x的解集用区间表示为.

［答案;(-5,0)U(5s+x)

［解析；当x>0时，f(x)=x:-4x,令x-0,-1,0,二.久一x)=x：+4x,又/'(x)是定义在K上的

奇的数，A/(-x)=-/(x)..---f(x)=x:+4x,即丫.吟，f(x)=-x:-4x.要f(x)>x,则

,x>0,x<0'x=0

-,或",或Vc，舶，-5Vx•=：0或八>5,

Lx*-X4x>x.-x*-4x>.r'0>x

不等式/(x)>X的解集用区间为(-5,0)一0+工).

10.12014高考上海文第20题】设常数aNO,函数/(》)=2史.

2-67

(1)若a=4,求函数y=/(x)的反函数y=/T(x)；

(2)根据a的不同取值，讨论函数y=/(x)的奇偶性，并说明理由.

/v+f'

【答案】⑴/-1(x)=2+log,；—；»xeC-x.-lXJd+x),(二)a=l时J=〃x)为奇函数，当a=0

时J=/(-V)为偶函数，当aM0且aH1时I=/(、)乎非奇非俾工效.

【解析】

试题分析：(1)求反函数，就是把函手-=二「作乎K于X的方程，解出X，得》=尸1(1),

2--4

再把此式中的K.i互换，即得反函数的箕,式，还可任意的是-嫉要求出原函数的值域，即为反函数的定

义域；(二)讨论函数的奇偶性，我们可以相叠奇偶性吟定义求解在a=0,a=1这两种情况下，由奇偶

性的定义可知函数/(x)其仃奇偶性，在a/0且aHl时，函数的定义域是xHlog24，不关

于原点对称，因此函数既不是奇函数也不是偶函数.

试题解析：⑴由v==纪，解得/="色，从而IV-1或V>1,x=log、2辿，

2--4V-1.y-1

1

f-(x)=log、——，xe(-x:-l)^r\+x).

・x-1

(2)且a20,..•①当“=0时，八K)=1RWK,...时任意的xwR都有f(x)=〃T),

2-a

y=/(.v)为偶函数.

+1L•「1+->-

②当a=l时，f(A-)=———.XHO,f(-.v''=----=————对任意的XHO且xwK都有

2--l2--11-2

fix)=-/(-x),.*.y=/(.v)为奇函寥一

③当anO且"1时，定义域为卜］XH!...定义最不关于原定对称，j=/(x)为非奇非偶

函数.

【考点】反函数，函数奇偶性.

【方法规律】

1.判断函数奇偶性的方法

(1)定义法

一般地，对于较简单的函数解析式，可通过定义直接作出判断；对于较复杂的解析式，可先

对其进行化简，再利用定义进行判断.利用定义判断函数奇偶性的步骤：

奇函数的图象关于原点成中心对称，偶函数的图象关于y轴成轴对称.因此要证函数的图象

关于原点对称，只需证明此函数是奇函数即可；要证函数的图象关于y轴对称，只需证明此

函数是偶函数即可.反之，也可利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性.

(3)组合函数奇偶性的判定方法

①两个奇(偶)函数的和、差还是奇(偶)函数，一奇一偶之和为非奇非偶函数.

②奇偶性相同的两函数之积(商)为偶函数，奇偶性不同的两函数之积(商)(分母不为0)为奇函

数.

③复合函数的奇偶性可概括为“同奇则奇，一偶则偶”.

(4)分段函数的奇偶性判定

分段函数应分段讨论，注意奇偶函数的整体性质，要避免分段下结论，如典例1(3)只有得到

当.#0时都有遂-x)=/(x)才能给出偶函数的结论.

2.函数奇偶性的应用技巧

(1)已知函数的奇偶性求函数的解析式

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性得出关于/(x)的方程，从

而可得小)的解析式.

(2)已知带有字母参数的函数表达式及奇偶性求参数

常常采用待定系数法，利用,危闻(-幻=0得到关于x的恒等式，由对应项系数相等可得字母

的值.

(3)奇偶性与单调性的综合问题要注意奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数

在关于原点对称的区间上的单调性相反.

【易错点睛】

函数的奇偶性是函数在整个定义域内的性质，其定义中要求兀0和/(-X)必须同时存在，所以

函数定义域必须关于原点对称，这是函数具有奇偶性的前提.如果某一个函数的定义域不关

于原点对称，它一定是非奇非偶函数.

误区.不明分段函数奇偶性概念致错

x+2x+3,x<0,

[例1](2014北京东城期末)判断电)=<3,x=0,的奇偶性.

2

<-X+2X-3,X>0,

【错解】当x>0时，-x<0,f(-x)=(-x)2+2(-x)+3=-(-x2+2x-3)=-f(x).

当xv0时,-x>0,-x)=-(-x)2+2(-x)-3=-(x2+2x+3)=-f(x).所以*x)是奇函

数.

【剖析】漏x=0情况.

【正解】尽管对于定义域内的每一个不为零的x,都有熊-x)=-f(x)成立，但当x=0时，f(0)

=3+-«0),所以函数f(x)既不是奇函数也不是偶函数.

热点三函数的周期性

1.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)文科】x为实数，[灯表示不超过x的

最大整数，则函数〃x)=x-[x]在R上为()

A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数

【答案】D

【解析】设(X)为工的小数&分，/(.V)=v-[.v]=[x]+(.v)-[x]=(x),

/(.v+Ij=,v+T-[x+T]=[A+7]+(x.]x+T]=(x+乃=(x),

所以/(.v+r1=/(V).故/(.V)为泊期函数.

2.12014高考四川卷文第13题】设/(x)是定义在R上的周期为2的函数，当时,

-4X2+2,-1<x<0,3

/(%)=则%)=

x,0<x<1,

【答案】1

【解析】

读题分析：f(,~)-f(r~)=-4xi-r,=1.

【考点定位】周期函数及分F.、，妁数.

3.【2013年普通高等学校统一考试试题大纲全国文科】设/(x)是以2为周期的函数，且当

xe[l,3)时，/(x)=.

【答案】-1

【解析】••./(g是以]为周期的函数，自二131时，/(x)=x-2,则

/(-1)=/(-1+2)=/(1)=1-2=-；.

【方法规律】

1.(1)对于函数Hx),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时，都有

f(x+T)=f(x),那么函数外)叫做周期函数，非零常数T叫＜x)的周期.如果所有的周期中

存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫/5)的最小正周期.

(2)周期函数不一定有最小正周期，若左0是段)的周期，则47(住Z)(#0)也一定是./(X)的周

期，周期函数的定义域无上、下界.

2.函数周期性的相关结论.

设。是非零常数，若对兀0定义域内的任意x,恒有下列条件之一成立：刨》+。)=-Ax)；②

人x+«)='；®j[x+a)=-*；®J[x+d)=fix-a),则｛r)是周期函数，2同是它的一

/(x)/(x)

个周期.(以上各式中分母均不为零).

【解题技巧】

求函数周期的方法

求一般函数周期常用递推法和换元法，形如y=Zsin(5+9),用公式7二萧计算.递推法：

若危+〃)=-fix),WJ/(x+2a)=f[(x+a)+a]=-J(x+a)=fix),所以周期T=2a.换元法：若

J[x+a)=/(x・。)，令、・。=/,、=/+。，则加)=/(/+2。),所以周期T=2a.

热点四函数性质的综合应用

1.【2014高考湖南卷文第4题】下列函数中，既是偶函数又在区间(-8,0)上单调递增的是()

A/(X)=4S./(X)=X2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-X

X

【答案】A

【解析】根据函数奇偶性的判断可得选项A，3为偶函数，C为奇函数，Z>为非奇非偶函数，所以排除C,

1选项.由二次函数的图像可得选项3在1-二01是单调述激的，根据排除法选A.因为函数j=在

I-60|是单调递减的且>=」在iQ+xI是=:筐噌的，所以根据复合函数单调性的判断同增异减

x

可得选项A在I-£0I是单调递减的.

【考点定位】奇偶性单调性

2.12014高考大纲卷文第12题】奇函数f(x)的定义域为R,若f(x+2)为偶函数，则以)=1，

则f(8)+[9尸()

A.-2B.-1C.0D.1

【答案】D

【解析】

成题分析：因为函数0：立是奇函数，所以fi—x)=-fix),又甲,,fix-二)是偶函数，所以fi—x-二户fix-2)»所

以f5=fi6-E，=fi-6-2)=fiTdfU),ffij.?>-1(0)=0,fiS>0»同理

(5).ffijfl5)=i3-2)=ft-3-2)=ft-!)=-!![1>-1,f.=1.所以fi⑸-fi：9：，=l,故选D.

【考点】函数的奇偶性和周期性，

3.【2013年全国高考统一考试天津数学(文)卷】已知函数“X)是定义在R上的偶函数，且

在区间[0,+oo)单调递增.若实数a满足了(log2a)+/(log/)42/(1),则a的取值范围是

2

()

(A)[1,2](B)(0,g(C)I，2(D)(0,2]

【答案】C

【解析】排除法：令a=3则不等式/(log.-/florj)<2/^.殳为<2/(1),又因为函数/(.V)

是定义在R上的偶函数，所以有,2/dj,成』•以排除3；令a=1，则不等式

/(log：a)-/(log：a)42/⑴变为/(-2)-/*(?]^),^n_/(2j<2/(1),/(2)</Q).而已知函数

了。1在区间a-m单调递噌，所以不讲二，排除士J故选「.

4.【2013年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)理科】设函数/(x)=Je'+x—a

(a€R,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx上存在点(X。,%)使/(/(%))=为，则a

的取值范围是()

(A)[l,e](B)[e-1,1](C)+(D)[e—1,c+1]

【答案】A

[解析]：/(.v)=…a在定义域上单调屋噌,Ey.e；-11],使得

/(/(y：))=y：ry.e；O:l],使得"y：)=j：，即等价,方程〃x)=i•在有解,于是

&=[：+工-1二在_0」]有解，所以a的取值范围就,。「!以£(»=/+:<-1,，：<©_0」的值域，：

/代)=/+17X在：0/恒为正，二函数口、:)在：0』上单调递增，所以g[x)e[l㈤，故。的取值范围

是[1©,选A.

5.12014高考安徽卷文第14题】若函数/(x)(xwR)是周期为4的奇函数，且在[。,21上的解

析式为小)¥一空用,则/停卜姆卜—.

sin7DC,l<x<2[6J

【答案】—

16

【解析】

•Q41141~

试题分析：由题意，/(x-4)==贝IJJ(—)+/(—)=04+—)+八4+一)

4646

131737~7.3733.7

=/(—)+/(-)=/(4--)+/(4--)=/+/(——、-/(-)-~7^-7^-s^n7;

46464(.46446

315

16^2~16

考点：1.函数的奇偶性与周期性；2.分段函数求值.

6.12014高考全国2卷文第15题】偶函数y=/(x)的图像关于直线x=2对称，/(3)=3,

则〃-1)=________

【答案】3

t解析】

试题分析：因为j=，x)的图像关于直线I-2对称，的-/(1)=3,又因为j=〃x)是偶函数，故

/(-1)=/(1)=3.

【考点定位】1、函数图彖的对称性；:、巴或的奇偶性.

【方;颉!律】

1.解这类综合题的一般方法

在解决函数性质有关的问题中，如果结合函数的性质画出函数的简图，根据简图进一步研究

函数的性质，就可以把抽象问题变的直观形象、复杂问题变得简单明了，对问题的解决有很

大的帮助.

(1)一般的解题步骤：利用函数的周期性把大数变小或小数变大，然后利用函数的奇偶性调

整正负号，最后利用函数的单调性判断大小；

(2)画函数草图的步骤：由已知条件确定特殊点的位置，然后利用单调性确定一段区间的图

象，再利用奇偶性确定对称区间的图象，最后利用周期性确定整个定义域内的图象.

2.函数的奇偶性、周期性、对称性之间内在联系

若函数有两条对称轴(或两个对称中心，或一对称轴一对称中心)，则该函数必是周期函

数.特别地，有以下结论(其中：

若./(X)有对称轴x=a,且是偶函数，则＜x)的周期为2a;

若_/(x)有对称轴x=a,且是奇函数，则/(X)的周期为4a；

若有对称中心5，0),且是偶函数，则4x)的周期为4a；

若＜x)有对称中心(。，0),且是奇函数，则/(x)的周期为2a

【易错点睛】

误区1.函数的性质挖掘不全致误

【例1】奇函数Rx)定义在R上，且对常数T＞0,恒有f(x+T)=f(x),则在区间[0,2T]±,

方程f(x)=0根的个数至少有

()

A.3个B.4个C.5个D.6个

【错解】由f1x)是R上的奇函数，得出0)=O=xi=0.再由f(x+T)=f(x)得f(2T)=f(T)=f(0)

=0=X2=T,X3=2T.即在区间[0,2T]±,方程f(x)=0根的个数最小值为3个.

f-X=-fx①

【剖析】本题的抽象函数是奇函数与周期函数的交汇.即彳解时要把抽象性

fx=x+T②

质用足，不仅要充分利用各个函数方程，还要注意方程①和②互动.

【正解】由方程①得f(O)=O=XI=O.再由方程②得H2T)=fl：T)=fi[0)=0=X2=T,x3=2T.

又：f(x-=f(x+,令x=0得f(-y)=f(1-).又[-：)=-崂，心=0,x4=y.再由②得

^+T)=0=>x5=y,故方程f(x)=0至少有5个实数根.故选C.

误区2.忽视隐含条件的挖掘致误

[例2](2014江苏模拟)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上，

fov+1,-l<r<0

7(x)=<bx+2其中q,加R.若/(1)=/1)，则a+3b的值为

--------,0<x<l,

[x+1

【错解】因为危)的周期为2,所以人|)=4-2)=<*)，即短=人"-又因为/([)=-2

.

122b+4ib+4

a+\,怒)=-j----=,所以-/a+1=­j­,：3a+2b=-2.

2+1'

【剖析】

(1)转化能力差，不能把所给区间和周期联系起来；(2)挖掘不出f(-l)=f(l),从而无法求出

a、b的值.

【正解】因为取)的周期为2,所以唠)=f(|-2)=f(-；),即f(；)=f(-g).又因为

b

11i2+22b+4ib+42

-2)=・外+1,f(g)=---=,所以-23+1=・整理，得a=・+1).①

-2+1'

b+2

又因为f(-l)=f(l),所以-a+l=(-,即b=-2a.②

将②代入①，得a=2,b=-4,所以a+3b=2+3x(-4)=-10.

【考点剖析】

一.最新考试说明：

1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性.

2.理解函数的奇偶性，会判断函数的奇偶性.

3.利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值.

二.命题方向预测：

1.利用函数的单调性求单调区间、比较大小、解不等式、求变量的取值是历年高考考查的热

点.

2.函数的奇偶性是高考考查的热点.

3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函

数值及求参数值等问题是重点，也是难点.

3.题型以选择题和填空题为主，函数性质其他知识点交汇命题.

三.课本结论总结：

1.奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对

称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.注意：确定函数的奇偶性，务必先判定函数

定义域是否关于原点对称.确定函数奇偶性的常用方法有：定义法、图像法、性质法等.

2.若奇函数定义域中有0,则必有/(0)=0.gPOe/(x)的定义域时，/(0)=0是/(x)为

奇函数的必要非充分条件.对于偶函数而言有：.f(—x)=/(x)=/(|x|).

3.确定函数的单调性或单调区间，在解答题中常用：定义法(取值、作差、鉴定\导数法;

在选择、填空题中还有：数形结合法(图像法)、特殊值法等等.

4.若函数/(x)的定义域关于原点对称，则/(x)可以表示为

/(x)=/(x)++,该式的特点是：右端为一个奇函数和一个偶函

数的和.

5.既奇又偶函数有无穷多个(/(x)=0,定义域是关于原点对称的任意一个数集).

6.复合函数的单调性特点是r同增异减”;复合函数的奇偶性特点是r内偶则偶，内奇同外”.复

合函数要考虑定义域的变化(即复合有意义).

7.函数夕=/(x)与函数y=/(-x)的图像关于直线x=0(y轴)对称.

推广一：如果函数y=/(x)对于一切xeR，都有/(。+力=/(方一X)成立，那么y=/(x)的

图像关于直线x="2(由"X和的一半X=(“+Q:d)确定，，)对称.

22

推广二：函数了=/(«+%),y=/(b-x)的图像关于直线》=平(由a+x=6—x确定)

对称.

8.函数y=/(x)与函数y=—/(x)的图像关于直线y=0(x轴)对称.

推广：函数y=/(x)与函数y=/—的图像关于直线尸皮对称(由“7和的一半

y=IZ(X)]+孑―/("J确定”).

9.函数y=/(x)与函数》=—/(—X)的图像关于坐标原点中心对称.

推广：函数y=/(x)与函数_y=m--x)的图像关于点华苧中心对称.

10.函数y=a'与函数)，=1。8。》(。＞0,。工1)的图像关于直线y=x对称.

推广曲线/(x/)=0关于直线y=x+6的对称曲线是/(y-8x+6)=0曲线/(x,y)=0

关于直线y=—x+b的对称曲线是f(-y+b,-x+b)=0.

11.曲线/(x/)=0绕原点逆时针旋转90°,所得曲线是/(乂-x)=0(逆时针横变再交

换).特别：y=/(x)绕原点逆时针旋转90°得一%=/3)，若？=/(x)有反函数卜=广(x),

则得y=/i(-x).

曲线/(x,y)=0绕原点顺时针旋转90。，所得曲线是/(-y,x)=0(顺时针纵变再交换).特

别：y=/(x)绕原点顺时针旋转90°,得x=/(—卜)，若y=/(x)有反函数卜=f-'(x),则

得N=-/.%).

12.类比“三角函数图像”得：

若N=/")图像有两条对称轴x=a,x=b(aHb)，则y=/(x)必是周期函数，且一周期为

T^2\a-b\.

若y=/(x)图像有两个对称中心4。,0),8(80)(。力6)，则y=/(x)是周期函数，且一周期

为7=2|。-6|.

如果函数了=〃x)的图像有下一个对称中心Z(a,O)和一条对称轴x=b(4Hb),则函数

y=/(x)必是周期函数，且一周期为7=4|。一6|.

如果y=/(x)是R上的周期函数，且一个周期为T，那么/(x±〃T)=7(x)(〃eZ).

特别:若/(x+a)=—/(x)(a*O)恒成立，则T=2a.

若f(x+a)=—-■—(a70)恒成立，贝ijT=2。.若/(x+。)=----—(。丰0)恒成立，贝U

/(x)/(x)

T=2a.

如果歹=/(x)是周期函数，那么y=/(x)的定义域'无界”.

四、名师二级结论：

一个防范

函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制.例如函数y分别在(-8,

0),(0,+8)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(-8,0)U(0,+8)内单调递

减，只能分开写，即函数的单调减区间为(-8,0)和(0,+8),不能用“U”连接.

一条规律

函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.

注意：分段函数判断奇偶性应分段分别证明火-x)与兀0的关系，只有当对称的两段上都满足

相同的关系时，才能判断其奇偶性.

两个应用

1.已知函数的奇偶性求函数的解析式.

抓住奇偶性讨论函数在各个分区间上的解析式，或充分利用奇偶性产生关于/(X)的方程，从而

可得人旧的解析式.

2.已知带有字母参数的函数的表达式及奇偶性求参数.

常常采用待定系数法：利用/(X)垓-x)=0产生关于字母的恒等式，由系数的对等性可得知字

母的值.

三种方法

判断函数单调性的三种方法方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)导数法.

判断函数的奇偶性的三种方法：(1)定义法；(2)图象法；(3)性质法.

在判断函数是否具有奇偶性时，为了便于判断，有时需要将函数进行化简，或应用定义的变

通形式：

,X-x)=城-x)4x)=Oe需=±1,1x)M.

四条性质

1.若奇函数7(x)在x=0处有定义，则次0)=0.

2.设兀0,g(x)的定义域分别是。।,£>2,那么在它们的公共定义域上：奇+奇=奇，奇、奇=

偶，偶+偶=偶，偶X偶-偶，奇X偶=奇.

3.奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内有相反的单调

性.

4.若危)是偶函数,则有义4)=左)=/()|).

五、课本经典习题：

(1)新课标人数A版必修一第36页练习第1(3)题

判断下列函数的奇偶性：./'(>)=—.

【经典理由】典型的巩固定义题，可以进行多角度变式.

丫2+1

变式题：关于函数f(x)=lg*\x0)，有下列命题：①其图象关于y轴对称；②当x>0时，

/(x)是增函数；当工<0时，/(x)是减函数；③/(x)的最小值是lg2；④/(x)在区间

(-L0),(2,+oo)上是增函数；⑤/。)无最大值，也无最小值.其中所有正确结论的序号

是.

解：f(x)=1gN(x0)为偶函数，故①正确；令"。)=车=,则当x>0时，"G)=x+-

FlWx

在(0,1)上递减，在口,+8)上递增，，②⑤错误，③④正确，故选①③④.

(2)新课标人数A版必修一第44页复习参考题A组第八题

设〃》)=隹，求证：(1