西藏拉萨中学届高三数学上学期第三次月考试题文含解析

PAGE西藏拉萨中学2021届高三数学上学期第三次月考试题文（含解析）（满分：150分，考试时间：120分钟.请将答案填写在答题卡上）一、单选题（共12题；共60分）1.已知集合，集合，则子集个数为（）A.2 B.4 C.8 D.————C试题分析：由，解得，所以，所以，所以的子集个数为，故选C．考点：1、不等式的解法；2、集合的交集运算；3、集合的子集．2.若，则（）A. B.0 C.1 D.2————D分析：整理可得：，问题得解解答：因为，所以，所以，所以，故选：D.点拨：本题主要考查了复数除法运算及复数相等知识，属于基础题.3.函数的图象大致为（）A. B.C. D.————A分析：由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.解答：由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.点拨：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．4.给出下列四个结论：①命题“，”的否定是“，”；②命题“若，则且”的否定是“若，则”；③命题“若，则或”的否命题是“若，则或”；④若“是假命题，是真命题”，则命题一真一假.其中正确结论的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4————B分析：①写出命题“，”的否定，可判断①的正误；②写出命题“若，则且”的否定，可判断②的正误；写出命题“若，则或”的否命题，可判断③的正误；④结合复合命题的真值表，可判断④的正误，从而求得结果.解答：①命题“，”的否定是：“，”，所以①正确；②命题“若，则且”的否定是“若，则或”，所以②不正确；③命题“若，则或”的否命题是“若，则且”，所以③不正确；④“是假命题，是真命题”，则命题，一真一假，所以④正确；故正确命题的个数为2，故选B.点拨：该题考查的是有关判断正确命题的个数的问题，涉及到的知识点有命题的否定，否命题，复合命题真值表，属于简单题目.5.函数的零点所在区间（）A. B. C. D.，————A分析：根据函数零点存在性定理即可得到结论.解答：函数的定义域为，且函数单调递增，（1），（2），在内函数存在零点，故选：.点拨：本题主要考查函数零点存在区间的判断，根据函数的单调性以及函数零点的判断条件是解决本题的关键.6.的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A. B. C. D.————C分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得．详解：由题可知所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理．7.已知，且，则（）A. B.C. D.————A分析：用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论.解答：，得，即，解得或（舍去），又.

故选：A.点拨：本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题.8.函数的部分图象如图所示，则下列叙述正确的是()A.函数的图象可由的图象向左平移个单位得到B.函数的图象关于直线对称C.函数在区间上是单调递增的D.函数图象的对称中心为————D分析：根据题意求出解析式，利用正弦函数的对称性及单调性依次判断选项.解答：由图象可知A＝2，f（0）＝1，∵f（0）＝2sinφ＝1，且，∴，∴f（x）＝2sin（ωx），∵f（）＝0且为单调递减时的零点，∴，k∈Z，∴，k∈Z，由图象知，∴ω，又∵ω＞0，∴ω＝2，∴f（x）＝2sin（2x），∵函数f（x）的图象可由y＝Asinωx的图象向左平移个单位得，∴A错，令2x，k∈Z，对称轴为x，则B错，令2x,则x，则C错，令2xkπ，k∈Z，则x＝，则D对，故选：D．点拨：本题考查三角函数图象及其性质，考查了正弦函数的对称性及单调性，属于中档题．9.若直线l与曲线相切于点O(0,0),并且直线l和曲线也相切，则a的值是（）A.1 B.-1 C.2————A分析：先求出直线的方程，再将该方程与方程联立，利用判别式为零可求a的值.解答：，故，故切线的方程为即，由可得，因为直线和曲线也相切，故，故.故选：A.点拨：本题考查导数的几何意义以及抛物线的切线的求法，注意函数在某点横坐标处的导数就是函数图象在该点处切线的斜率，而直线和抛物线相切可利用判别式来处理，关注两者的区别，本题属于基础题.10.在长方体中，，，，分别是，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.————A分析：分别以，，为，，轴正方向建系，则可求出的坐标，进而可求出，的坐标，代入公式即可求解.解答：分别以，，为，，轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，则，.设直线与所成角的大小为，则，所以.故选：A.点拨：本题考查空间向量中异面直线夹角的求法，关键在于建立适当的坐标系，属基础题.11.已知椭圆的左、右焦点分别为，.也是抛物线的焦点，点为与的一个交点，且直线的倾斜角为，则的离心率为（）A. B. C. D.————B分析：先根据椭圆和抛物线的性质得到，再由直线与椭圆方程联立求出点坐标，求出和，根据椭圆定义得到关于和的方程，进而求出离心率.解答：因为椭圆的左、右焦点分别为，，也是抛物线的焦点，所以，则，所以.因为，直线的倾斜角为，所以直线的方程为：.由得，所以.因为，所以.在中，，.由椭圆的定义得：，即，解得：.故选：B.点拨：方法点睛：离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出；②构造的齐次式，求出；③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解；④根据圆锥曲线的统一定义求解．12.已知函数，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.————B分析：解答：该题属于已知函数零点个数求参数范围的问题，解决该题的思路是转化为方程解的个数来完成，需要明确函数图象的走向，找出函数的极值，从而结合图象完成任务.详解：，即，结合函数解析式，可以求得方程的根为或，从而得到和一共有三个根，即共有三个根，当时，，，从而可以确定函数在上是减函数，在上是增函数，在上是减函数，且，此时两个值的差距小于2，所以该题等价于或或或或，解得或或，所以所求a的范围是，故选B.点睛：解决该题的关键是明确函数图象的走向，利用数形结合，对参数进行分类讨论，最后求得结果，利用导数研究函数的单调性显得尤为重要.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.————9.分析：作出可行域，平移找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.解答：画出不等式组表示的可行域，如图所示，阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．点拨：本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．14.已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.————分析：首先求得向量的数量积，然后结合向量垂直的充分必要条件即可求得实数k的值.解答：由题意可得：，由向量垂直的充分必要条件可得：，即：，解得：.故答案为：．点拨：本题主要考查平面向量的数量积定义与运算法则，向量垂直的充分必要条件等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．————分析：首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果.解答：因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，数列是以1首项，以3为公差的等差数列，所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，所以的前项和为，故答案为：.点拨：该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征，等差数列求和公式，属于简单题目.16.已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．————2.分析：通过向量关系得到和，得到，结合双曲线的渐近线可得从而由可求离心率.解答：如图，由得又得OA是三角形的中位线，即由，得则有，又OA与OB都是渐近线，得又，得．又渐近线OB的斜率为，所以该双曲线的离心率为．点拨：本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.已知点，点，且函数（为坐标原点），（1）求函数的解析式及值域；（2）求函数的最小正周期及单调递增区间.————（1）；值域为；（2）最小正周期为；单调递增区间为.分析：（1）由向量数量积的坐标运算得和辅助角公式化简得，再根据函数性质即可得函数值域；（2）结合正弦函数的性质，根据整体代换思想求解即可.解答：解（1）由，所以，所以的值域为.（2）由，所以最小正周期为由，得，所以的单调递增区间为点拨：本题考查三角函数的化简，三角函数的性质，考查运算能力，是中档题.18.在四棱锥中中，是边长为2的等边三角形，底面为直角梯形，，，，.（1）证明：；（2）求四棱锥的体积.————（1）证明见解析；（2）.分析：（1）取的中点为，由等边三角形性质可得，再由直角梯形，结合已知的边长可证得，于是得平面，从而证得结果；（2）连接，由几何关系得，再结合（1）可得平面.进而求体积即可得答案.解答：（1）证明：取的中点为，连接，因为是等边三角形，所以.因在直角梯形中，，，，所以所以为等腰三角形，所以因为，所以平面因为平面，所以.（2）由（1）得，因为在直角梯形中，，所以，因，，所以，即因为，所以平面.所以点拨：方法点睛：常见的线面垂直的方法有：①通过面面垂直的性质得线面垂直；②利用线面垂直的判定定理证明，再证明线线垂直时，又通常通过线面垂直得线线垂直，或由几何关系结合勾股定理得线线垂直.19.大学就业指导中心对该校毕业生就业情况进行跟踪调查，发现不同的学历对就业专业是否为毕业所学专业有影响，就业指导中心从届的毕业生中，抽取了本科和研究生毕业生各名，得到下表中的数据.就业专业毕业学历就业为所学专业就业非所学专业本科研究生（1）根据表中的数据，能否在犯错概率不超过的前提下认为就业专业是否为毕业所学专业与毕业生学历有关；（2）为了进一步分析和了解本科毕业生就业的问题，按分层抽样的原则从本科毕业生中抽取一个容量为的样本，要从人中任取人参加座谈，求被选取的人中至少有人就业非毕业所学专业的概率.附：,————（1）能在犯错概率不超过的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关，详见解析（2）分析：（1）计算，与临界值表作比较，得到答案.（2）所取样本中，就业为所学专业为人，设为，，，非所学专业为人，设为，，排列出所有情况共10种，满足条件的7种，得到答案.解答：（1）由题知：，故能在犯错概率不超过的前提下认为就业专业是否为毕业生所学专业与毕业生学历有关.（2）由题知，所取样本中，就业为所学专业为人，设为，，，非所学专业为人，设为，.从人中任取人，其结果有，，，，，，，，，共种情形.其中事件至少有人就业非所学专业为时事件，共有种情形，，即所求概率为.点拨：本题考查了独立性检验，分层抽样，概率的计算，意在考查学生的应用能力.20.已知椭圆：的右焦点为，上顶点为，直线的斜率为，且原点到直线的距离为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若不经过点的直线：与椭圆交于两点，且与圆相切.试探究的周长是否为定值，若是，求出定值；若不是，请说明理由.————（1）；（2）是，.分析：（1）由题意设、，由斜率公式、点到直线的距离公式列方程即可得解；（2）由直线与圆相切可得，设，，由韦达定理及弦长公式可得，由焦半径公式可得、，进而可得的周长，化简即可得解.解答：（1）设，，则，直线的方程为，即，所以原点到直线的距离为，解得，（负值舍去），又，所以椭圆的标准方程为；（2）因为直线与圆相切，所以，即，设，，联立，得，所以，，，所以，又，所以，因为，同理，所以，所以的周长是，则的周长为定值.点拨：本题考查了椭圆方程的确定及直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆中的定值问题及运算求解能力，合理转化条件、细心计算是解题关键，属于中档题.21.已知函数.（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：.————（1）；（2）证明见解析.分析：（1）根据导数的几何意义求出斜率，即可写出切线的方程；（2）由原不等式可转化为，构造函数，，利用导数分别求最大值与最小值即可求解.解答：（1）由，得，所以切线的斜率，又因为当时，，所以切线方程为，即.（2）欲证，即证，即证，设，则，，当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以在处取得极大值，即为最大值，所以，所以.设，则，所以在上单调递增，所以，所以在时成立，所以，所以，所以，即成立.点拨：本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，利用导数求函数的最值，不等式的证明，属于中档题