导数在研究函中的应用教学案例

库每个人平等地提升自我“导：高数学内容抽象理严谨，应用广泛，难学，已为横跨在当一部分子面前一道难以逾越“坎”不少学生不免数”色变敬而，乃出数时时“折我们的惊叹者大学毕业直从事学数学课堂教与教学究通几年的索发现要想提高堂效率就必改变传“式教学学生成课堂的人并积极引学生要于从数的基本问题特点出发善于用学的想与方驾驭数学识！理课高本课教从基在解决基本问题的过中学基基本方法基技能的分现“念.通变式“学与想法现数问题的，学生数学与通过生学生发思能.教：知导数、极一法，解极能：通过本节内容的教学数、等要数学思想，学生数能与识，学生的能：通过用研函与数的用学生数学的，极、统，发生“学数”的，学生“学数”的教：能用导数等函、极教：数在研究函中的应用教程

基现知，实“教：、积分，导数为积分的要成部分，，导，们.课我们从个基一面的问问题

已知函数()

f()f)极.学生解f

１１库每个人平等地提升自我3)2令：2或令：32f()单调递增区间为(),(，单调递减间(,2)32（2）由（1）可知，当时，()有极大值，()有极3小值.教师：能根据经解决两个问，画出()大致图吗？学生众能！教师：画出()的大图象（一学生黑板上）教师大家对位同学的图与幕板的图作下比对学生画图的评价略）１O

2

教师：从f()的象看，)在上有无最大值、最小值？学生：由于()的图象无高、低点，所以)在上无最大值、最小值.教师：.如果将定义限制在闭区上呢？学生：()在闭区间上有最大值和最小值教师：什么？学生：()是可导函数在闭区间上连续所以必有最值和最小值教师：错，这位同学的本功很扎实现在请同学解决问题问题求数f()3

2

54，]最大值、最小值.2学生（板演问题的基础上，列表如下：让每个人等地提自我f

04

2（0，）3

0

2（，）3_

20

5（2，）2

52114f()

0

↗

↘

0

↗

58f()

min

f(

max

3227

.学生3：利用f()的图可直接f()的无最大值、最小.教师太了！4从的角解决问，学生3从的角解决问题2.如果把这两同学合起就是把数跟结合来了学生4用了格，不仅单调表示得很清楚，而且最大、最小值也很明显，真可谓是一举两得学生采用图，让我们从直观上看到函数增性很最值可谓是各有千啊！他们的共同点是：简明教师：力求简约，追求卓越，是数学的一大魅力数学实上很，只是们缺少了审美的眼！有人说数学是无声的诗、立的画，而我个人认为数学如同音般美丽，可以“音乐是感性的数，数学乃理性的音乐你听说过吗？学生众：没有！教：要学好数学玩好数学，我们需要一双眼，去努力发掘蕴涵数学之中的美——如图美、结构美、对称美、简洁美和谐美等等，要学会处处体验数学的自然简约与美好！教师问题1与问说明利用导可研究函数的哪些性质？如研？学生众：其一，函数的单调区间；其二，求函的极值；其三，求函数的最值.（方法从略）教师：这三类问题利用导数研究的主问题，刚才同学们归纳得相当不错，表明大家对的应用有了较深刻的教师：学数学如这里就停下来，那肯定称不上是一个数学“高手至少你是一学数学很累的样才能学好数学？——我们仅要掌握学的知识，而且要增强用数学思维去理解、考与解决问题的意识！下面我们将问进行变式首f()的解的一次项系数改为a，f()含参数的函数了，得到如下的变1，请学们思.

库每个人平等地提升自我通变式知函数(在（）为减数，在，）上为增函数，实数.学生：

a，已知，是()的小值点，所以f

，得.教师：这样做有没有缺陷？学生：要检验，不过经过检验室符的教师很好果去（，为增数这一件结论何呢？学生众(过思考讨)由已知，

a

恒成立所以，解得a.f们这问，来函数在上单调性与其导函数的关系.学：

，以数在是函数教：回看面解法无问？学生有点小问题应该是

a对

恒成下同.学生我还有一种解法由前面的解法得a对而当

恒成立，

时，

所以a教师：已知含参数函数在某区间上是增（减）函数，求参数的范围问题，通常利f()非常数函数为可导函()某区I是）函数某区I上恒有()”.转化含有参数的不等式恒成立问题，学生利了二次函数的图象的性质学生用了参数分离法都是常用的方法.再来解决变式变式知函数()()在处极小值求c的值.学生板：f)()令f

c，得或.由知cccc是函数(的极值c教：式问题第（）小题的逆问题知含的函的值2222让每个人等地提自我点，求数问题请同学们归纳解决的策略学生：利用“可函数f()在点处有极值的必要条件是0

0

”得到关于数的方程，出方程的根再检教师：全正确，再解决变式3.变式设数()

3

2

4，否有“对任意

5,[0,不等式2f(

)f(

)

32

恒成立.”请说明由.532学生：由问题3知，f()[]最大值为，最小值0，所以对227任

5,[0,],恒f(2

)f(

3232)2727

.教学生3：从()的图象发教师：讲得很理，函图象是究函数可或缺工具，今后可别忘了它的作用式实际上是证明某间上任两个函值的差的绝对值小某正常数我的策略是转化为证最大值最小值差小于正常数当然有一个前提——学生：在此区间)有最大值与最小值学生1我的想法是将f

)

4

，f

)

4

代入行吗教师同爱动脑筋种方法请课后取探讨现在同学们编道题，就叫式4吧.

编学生4：我编的题目是式4）已函数()

3

4的象与直线有相异三个公共点，实的取值范围.改为有相异两个公共点呢？改有相异的一个共点呢？教师：你觉得这位同学的题目如何？学生：很创意！教师：同学们可以编许多其问题，课后继研究，在请同们解决这个问题（式）学生：由图象可得当

时，函数f(

3

4的象与直线让每个人等地提自我y有相异的三个公共点aaaa时有个共.

时有相的个共教师生编的题目是程根的数问归为数极问题同.现在请同学们谈谈学习这节课的感受.

体学生：题学生许多求单调区间值.学生：今.学生利用导数解决学生提出的类基本问题的一般步骤为导函（列或作图函数的性定义域范围内问题（具体）教师：非好！前几位同学都发表自己的感受，也总结了课的主要内容我想其同也一定有自己的感受，课后大要好节课们就上到这里！

教：、没有用传统的数复习模式识归纳——反馈练习，而一开始呈现了问题和题，在解决题同时唤学生对基础识、基本法、本技能的顾，分体现了学数就是做数”的理念然以已—用求间、一基础出发让学生在新的题情境中，引学生运用作图猜想、归纳、证等方法解决题在问解决过程中获新知，学生逐渐会到数学问题紧密联从而.如我们期坚这样做，生的造潜能定会到充发、识“薄习学应实现“从厚到薄”.本抓住数研究函类基一变式和式为这三逆向思想法与原问承变和式最可以三类正所“万变不离库每个人平等地提升自我其宗”.变式学在学生技能维品方面非常，而且非常用，教中我一定充分.在复习题出发，进而变换问题条件、结论、逆思维、变更设问方，这样复习课就会成为学生数学探究的要阵地、对于基础较好的班级，还可以让学生探究如变式：当k，求证：不等式)(x

对恒立.一面，引导生从形角度去探索，可利用“何画”进行态演，揭示题的几背景另一方，引导学生数的角去探把问转化为数的值