《选择性必修三》随机变量及其分布 离散型随机变量及其分布列第5课时

第5课时7.4.2超几何分布（一）教学内容超几何分布及其应用.（二）教学目标结合具体实例，理解并掌握超几何分布的概念及其特点，会计算服从超几何分布的随机变量的均值；能判断随机变量是否服从超几何分布，能利用超几何分布解决简单的实际问题.（三）教学重点和难点重点：超几何分布及其应用.难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别超几何分布.（四）教学过程设计问题：已知100件产品中有8件次品，分别采用有放回和不放回的方式随机抽取4件.设抽取的4件产品中次品数为，求随机变量的分布列.师生活动：教师指出，如果采用有放回的抽样，则每次抽到次品的概率为0.08，且各次抽样的结果相互独立，此时服从二项分布，即.教师提出思考：如果采用不放回抽样，那么抽取的4件产品中次品数是否也服从二项分布？如果不服从，那么的分布列什么？学生思考、交流、讨论.教师进行指导.采取不放回抽样，虽然每次抽到的次品的概率都是0.08，但每次抽取不是同一个试验，而且各次抽取的结果也不独立，不符合重伯努利试验的特征，因此不服从二项分布.可以根据古典概型求的分布列.由题意可知，可能的取值为0，1，2，3，4.从100件产品中任取4件，样本空间包含个样本点，且每个样本点都是等可能发生的.其中4件产品中恰有件次品的结果数为.由古典概型的知识，得的分布列为,，1，2，3，4.计算的具体结果（精确到0.00001）如下表1所示表1012340.712570.256210.029890.001310.00002设计意图：通过具体的问题情境，复习二项分布，同时引入本节课所研究的内容，发展学生的数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养.1.概念生成如果把上面的100件产品改成件产品，含有的8件次品改成件次品，抽取4件产品改成抽取件产品（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为，，，…，.其中，,,,,,.如果随机变量的分布列具有上式形式，那么称随机变量服从超几何分布.设计意图：让学生体会从特殊到一般的抽象过程，发展学生的数学抽象核心素养.问题：你知道超几何分布中各个字母所代表的具体含义吗？学生思考、交流，教师进行指导，得出各个字母的含义：表示总体中的个体总数，表示总体中的特殊个体总数，表示样本容量，表示样本中的特殊个体数.典例解析例1从50名学生中随机抽取5名学生代表，求甲被选中的概率.师生活动：由于学生已经学习了古典概型和排列组合的相关知识，对于这道题的解答并不困难，教师可以恰当的进行引导，将50名学生看成总体，甲是总体中的特殊个体，选出的5人是样本总数.这样的话，设为5人中含甲的人数，则服从超几何分布，那么甲被选中即为的情况.教师进一步指出：本题中，每个人被抽到的概率都是.简单随机抽样可以保证每个个体被抽到的概率是相等的，本题相当于给出了严格的指导.设计意图：通过具体的实例，深化学生对概念的理解，发展学生的数学运算和数学建模核心素养.例2一批零件共30个，其中有3个不合格.随机抽取10个零件进行检测，求至少有一个不合格的概率.师生活动：本题学生很容易判断出来是符合超几何分布模型的，可以交给学生自主完成.教师可以找几名学生上黑板作答，然后进行点评，给出本题的完整解题过程.解：设抽取的10个零件中不合格品数为，则服从超几何分布，且,,.的分布列为，，1，2，3.至少有一件合格品的概率为.或者也可以按如下的方法求解：.设计意图：通过具体的实例，深化学生对概念的理解，发展学生的数学运算和数学建模核心素养.问题：通过上面两个例题，我们深化了对超几何分布的理解.那么，服从超几何分布的的随机变量的均值是什么？师生活动：在二项分布的学习中，师生共同推导了二项分布均值的计算公式.类比二项分布的推导和分析过程，学生可以采取先猜后证，从特殊到一般的思路来研究超几何分布.从上述例题出发，设随机变量可以解释为从包含件次品的件产品中，不放回地随机抽取件产品中的次品次品数.令，则是件产品的次品率，而是抽取的产品的次品率，我们猜想，即.实际上，令,，由随机变量均值的定义：当时，.因为,所以.当时，类似可以证明结论依旧成立.设计意图：推导超几何分布的均值的过程，发展了学生逻辑推理和数学运算核心素养.追问:通过上面的推导，我们发现超几何分布和二项分布的均值从最后形式上看好像是一样的，那么二项分布和超几何分布有什么区别和联系呢？师生活动：学生抽象地分析这个问题可能比较困难，可以引入具体实例，先让学生直观感受，最后再让学生总结归纳.例3一个袋中有100个大小相同的球，其中有40个黄球、60个白球，从中随机地摸出20个球作为样本.用表示样本中黄球的个数.分别就有放回摸球和不放回摸球，求的分布列；分别就有放回摸球和不放回摸球，用样本中黄球的比例估计总体中黄球的比例，求误差不超过0.1的概率.师生活动：教师引导学生分析，因为只有两种颜色的球，每次摸球都是一个伯努利试验.摸出20个球，采用有放回摸球，各次试验的结果相互独立，；而采用不放回摸球，各次的试验结果不独立，服从超几何分布.有了上述分析，学生能够较好的完成本题.然后师生一起给出完整解题过程：解：（1）对于又放回的摸球，每次摸到黄球的概率为0.4，且各次实验之间结果是独立的，因此,的分布列为，，1，2，…，20.对于不放回摸球，各次试验的结果不独立，服从超几何分布，的分布列为,，1，2，…，20.利用统计软件计算出两个分布列的概率值（精确到0.00001），如下表2所示.表2样本中黄球的比例是一个随机变量，根据上表计算得:又放回的摸球：.不放回的摸球：.因此，在相同的误差限制下，采用不放回的摸球估计的结果更可靠些.图1教师进一步指出：两种摸球方式下，随机变量分别服从二项分布和超几何分布.虽然这两种分布的均值（都是8），但从两种分布的概率分布图（图1）看，超几何分布更集中在均值附近.图1图1二项分布和超几何分布都可以描述随机抽取的件产品中次品数的分布规律，并且二者均值相同.当远远小于时，每抽取一次后，对的影响很小，此时，超几何分布可以用二项分布近似.教师提出问题：有了上述例题后，你能说说二项分布和超几何分布的区别和联系吗？学生讨论后总结：（1）对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，反映超几何分布取值更集中于均值附近.（2）对于不放回抽样，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的.因此，超几何分布可以用二项分布来近似.两个分布的方差也近似相等.（3）在确定分布列时，超几何分布需同时知道N和M，而二项分布只需知道两者比值p即可.设计意图：通过具体的实例，不仅巩固了学生超几何分布的概念，复习了二项分布，又对超几何分布和二项分布做了区分和联系，发展了学生数学建模、数学运算和数学抽象核心素养.3.总结提升教师引导学生回归本节课的学习过程，并让学生回答一下几个问题：（1）超几何分布的概念是什么？其公式中各个字母的含义是什么？（2）如何确定一个随机变量服从超几何分布？超几何分布的均值公式是什么？（3）超几何分布和二项分布的区别和联系又哪些？设计意图：通过提问的形式，帮助学生梳理本节课学习的主要没人和主要思想方法.通过提问引发学生深度思考，对超几何分布的定义、性质和应用作比较深入的反思.4.布置作业教科书第80-81页，练习1，2，3，4题.（五）目标检测设计1.在高二年纪的元旦晚会上设计了一个摸奖游戏，在一个口