《选择性必修三》随机变量及其分布 随机变量及其分布复习与小节第2课时

第2课时复习与小节二（应用巩固，深化理解）（一）教学内容综合运用随机变量及其分布列的知识解决实际问题，归纳研究随机现象规律的思想与方法，提升学生的数学思维能力.（二）教学目标（1）通过解决典型的实际应用问题，能归纳解决随机变量分布列的实际问题的步骤和方法.通过反思用随机变量及其分布的知识解决概率统计问题的过程，体会数学思想的作用，提升对统计思想、概率思想的认识水平、发展数学抽象、数学运算、数学分析素养.（三）教学重点和难点重点：综合运用随机变量及其分布列的知识解决实际问题，归纳研究随机现象规律的思想与方法.难点：灵活运用随机变量及其分布列的知识与思想方法解决实际问题.（四）教学过程设计环节一典例剖析，明确起点例1假设有两箱零件，第一箱内装有10件，其中由2件次品；第二箱内装有20件，其中有3件次品，现在从两箱中随意挑选一箱，然后从该箱中随机取1个零件.求取出的零件是次品的概率已知取出的是次品，求它是从第一箱取出的概率师生活动：请学生先阅读回顾教科书第50页例5，然后独立思考此题，随后随机抽取一名同学上台展示解答结果哦哦，开展师生评价，根据学生的反应对问题进行分析：从箱子中随机抽取一个零件，根据零件的来源，将样本空间表示为“从第一箱中取零件”和“从第二箱中取零件”两个互斥事件的并，即，然后寻找所求事件与的关系，如图最后引导学生得到如下解答：设“取出的零件是次品”，“从第一箱中取出零件”（1）根据题意知，由全概率公式，得（2）追问：解决概率问题我们的出发点是什么？复杂事件的概率问题求解的关键是什么？我们能从该试题的解答中学到什么？师生活动教师引导学生反思例题解答的全过程，意识到解决概率问题的出发点是要在阅读理解题意的基础上明确实验的样本空间是什么，可以怎么拆分为互斥事件之和.对于求解复杂事件的概率问题，则要思考怎么把复杂事件拆分为各个互斥事件的和，正确运用加法公式、乘法公式、条件概率等解决问题，从中领悟到条件概率在概率论中的重要地位，助推化繁为简的思想在概率论中深入渗透.设计意图：通过例题1的分析解答和反思，明确条件概率在解决概率问题中的重要地位和作用，体会扎实的双基在解决问题时起到“化繁为简”的助推作用，意识到审题与认清样本空间是解决好概率问题的出发点.环节二试题解决，归纳套路引导语当今世界上最伟大的统计学家之一劳先生在他的统计学论著《统计与真理——怎样运用偶然性》中指出：“在终极的分析中，一切知识都是历史；在抽象的意义下，一切的科学都是数学；在理性的基础上，所有的判断都是统计学.”学习了解决概率问题的基础知识和基本要求，如何用随机变量及其分布的相关知识进行决策判断呢？例2某商场要在国庆节开展促销活动，促销活动可以在商场内举行，也可以在商场外举行，统计资料表明，每年国庆节商场内的促销活动可获得利润2万元；商场外的促销活动，如果不遇到有雨天气可获得利润8万元，如果遇到有雨天气则会带来经济损失3万元。9月30日气象台预报国庆节当地的降水概率是40%，商场应该选择哪种促销方式？师生活动：学生独立思考，然后开展小组讨论，最后小组代表展示解决方案，教师引导学生开展小组评价.在引导过程中明晰：商场选择哪种促销方式由获利的多少决定，通过审题知在商场内销售的获利是2万元，在商场外销售因为有两种情况，因此需要计算随机变量（利润）的期望，进而在评价中要求学生规范解答过程.设商场内销售获利为，则设商场外销售获利为，则商场外销售获利的分布列如下8-30.60.4因此，场外销售获利的期望为因此，所以选择商场外促销变式1例2中，若在商场外促销遇到有雨天气则会带来经济损失7万元，又该选择哪种促销方式呢？师生活动学生仿照上面的思路仍可以得到商场外销售获利的分布列如下：8-70.60.4商场外销售获利的期望为，可能出现选择在商场内促销和商场外促销都可以的结果.此时教师应引导学生思考，当期望值相等的时候，我们要考虑随机变量的波动性以及随机变量方差的大小.根据计算，得，由于，因此选择在商场内促销.此时，学生可能有争论，例2中随机变量的方差，可不可以选择在商场内销售？其实从稳定性上讲，也可以选择在商场内销售，但从获利大小来讲就需要选择在商场外销售.变式2例2中，若商场是等可能的随机选择在商场内销售还所在商场外销售，其他条件不变，求商场获得销售利润的分布列与期望.师生活动引导学生认识到此时是把商场销售的三种情况获利看成样本空间，则根据条件概率公式得到：所以的分布列如下：28-30.50.30.2的期望追问1：在商场内销售还是在商场外销售，是随机选择好还是有意识的选择好？师生活动根据上面的解答结果，教师引导学生思考回答，很明显，随机选择的利润平均数是1.8万，若有意识选择，则可以达到3.6万的高额平均利润.让学生意识到概率统计中，推断策略是要靠理性支撑而不是主观判断.追问2：通过例题及变式的解答，你认为随机变量及分布的应用问题中，依据什么进行决策推断？形成决策推断的步骤和方法是什么？师生活动学生反思学习过程，教师随机抽取学生回答，并根据情况开展互动评价，在评价中形成共识：决策推断可以依据概率、期望、方差的大小比较并结合实际需求进行，因此需要计算概率、期望与方差，一般的步骤是：弄懂题意建立样本空间，符号表示随机变量，依据概率计算公式计算随机变量的概率及其分布，根据需要计算随机事件的概率、均值、方差等，从而形成决策建议.设计意图：通过例题的解决和追问的思考回答，归纳推断决策问题的一般套路，让学生能用一般观念看问题，其中，例2本身重在体现均值作用，追问1体现方程的意义，追问2则体现决策的重要性.环节三模型应用，创新发展引导语在大数据时代，通过样本估计总体，频率稳定概率的思想，随机变量及其分布的实际应用处处存在，熟悉了统计决策的一般路径，你是否会用这样的路径解决身边的问题？例3某单位有10000名职工，想通过验血的方法筛选乙肝病毒携带者。假设携带病毒的人占5%，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计学家提出一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后讲各组5个人的血样混合再化验。如果混合血样呈阴性，说明这5个人全部阴性；如果混合血样呈阳性，说明其中至少有一人的血样呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.按照这种化验方法能减少化验次数吗？如果携带病毒的人只占2%，按照个人一组，取多大时化验次数最少？师生活动：引导学生先仔细审题，要回答“化验次数”是否减少，就要计算5人一组的化验方法一共测试了多少次.对于（1）问，学生可能出现这样的回答：方法一：10000人分成5人一组，可以分成2000组，每组做1次化验的概率是，因此有组做1次化验，有组做6次化验，则共做次化验.方法二：每个人所在的组可能做一次化验，也可能再次化验，由于是5人一组，平均到每个人，就是每个人可能做次或者次，设随机变量为每个人做的化验次数，则，，10000个人，大约要做4262次化验，大大简化了化验次数.对于第（2）问，有了方法二的铺垫，学生会很快建立相应的模型来解决：若按照个人一组，每个人化验的次数可能是次或者次，，，借助计算器可以发现，当时，最小，，也就是10000人大约需要化验2742次.教师引导学生体会方法一、二的特点，以及解答过程中用到的分布列模型，发现方法一比较原始和代数化，方法二更有层次和一般化，有利于建立模型解决一般化问题.解答过程中用到了两点分布，二项分布，在实际应用中，当样本数量足够大时，可用正态分布模拟二项分布，当实验是“不放回”情况下，分布列可能是超几何分布，在使用模型、建构模型时要分清楚模型特点.设计意图：通过例3的解决，让学生意识到解决概率应用问题建立适当的模型的重要性，再次深刻认识二项分布的重要地位和作用，能够在实际问题中辨别二项分布、超几何分布、正态分布.追问：本章教材中出现的概率应用领域有哪些呢？类似例3这种实际背景在我们身边常常出现，你能根据身边的实际情况提出什么样的问题？师生活动：学生阅读教科书，发现概率应用领域涉及医疗、教育、体育、金融、保险、科技、军事、企业、彩票、艺术等各个方面，体会到概率统计学习的重要性，并根据身边发生的事情提出一些实际的例子.如核酸检测，有时并不是一个人检测一次，而是把样本采集后分组进行检测，若某组检测中有新冠阳性，再对该组进行逐一检测；在学校体育达标检测中，并不是每个人都要检测，而是随机从学校的总体中抽检几人，根据抽检的达标率预测学校整体达标率.设计意图：让学生体会概率应用的重要性，激发学生的学习热情，学会用所学分布列模型分析身边的事情，培养学生的创新意识.环节四绘制结构图，形成知识体系学生活动：对本节课的三个例题进行反思总结，绘制本节课的知识结构思维导图，并开展小组讨论，形成小组的统一结果.师生活动：学生先独立思考，然后小组开展交流活动，分享小组成果.设计意图；通过反思总结，培养学生的良好学习习惯，并在小组交流中促进学生的合作意识，通过师生互动评价，形成解决随机变量及其分布应用问题的一般观念，借助网络平台积淀个人学习资源.环节五目标检测，布置作业1.某班组织知识竞赛，已知题目共有10道，某生只能答对其中6道，现随机抽取3道让该生回答，规定至少要答对其中2道才能通过初试，该生能通过初试的概率为_______.2.某校高二年级数学质量检测成绩，如果规定大于或等于85分为等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为等的概率为多少？3.根据某种疾病的历史资料显示，这种疾病的自然痊愈率为20%。为试验一种新药，在有关部门批准后，某医院把此药给10个病人服从，试验方案为：这10个病人中至少有5人痊愈，则认为这种药有效，提高了治愈率；否则认为这种药无效.如果新药有效，把治愈率提高到70%，求试验认定该药无效的概率；根据值的大小解释试验方案合理吗？设计意图：上面三个检测分别代表三个典型的分布列模型：超几何分布、正态分布、二项分布，通过这三个实际应用的简单问题，让学生强化解决