高中立体几何测试题及答案(理科)

立体几何测试题1．如图，直二面角D——E中，四边形是边长为2的正方形，，F为上的点，且⊥平面.（Ⅰ）求证⊥平面；（Ⅱ）求二面角B——E的大小的余弦值； 2．已知直四棱柱—A1B1C1D1的底面是菱形，且，F为棱1的中点，M为线段1的中点.（1）求证：直线平面；（2）求证：平面1⊥平面1A1；（3）求平面1与平面所成二面角的大小.3、在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，点E在线段上，⊥平面．证明：⊥平面；（2）若1，2，求二面角的正切值；4、如图，直三棱柱中，，是棱的中点，（1）证明：（2）求二面角的大小.5.如图，是正四棱锥,是正方体，其中．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求平面与平面所成的锐二面角的大小；（Ⅲ）求到平面的距离．6.已知多面体中，⊥平面，⊥平面，====2a，=a，F（Ⅰ）求证：⊥平面；（Ⅱ）求异面直线，所成角余弦值；（Ⅲ）求面和面所成二面角的大小.7.已知斜三棱柱，，，在底面上的射影恰为的中点，又知。（I）求证：平面；（）求到平面的距离；（）求二面角的大小8.如图，正三棱柱—A1B1C1中，D是的中点，11.（I）求证：1C平面1D（）求二面角B—1—D的大小；（）求点c到平面1D的距离.参考答案1、解：（Ⅰ）平面.∵二面角D——E为直二面角，且，平面.（Ⅱ）连结交于C，连结，∵正方形边长为2，∴⊥，，平面，由三垂线定理的逆定理得⊥.是二面角B——E的平面角由（Ⅰ）⊥平面，又，∴在等腰直角三角形中，.又直角，，∴二面角B——E大小的余弦值等于2、解（Ⅰ）延长C1F交的延长线于点N，连结.因为F是1的中点，所以F为C1N的中点，B为的中点.又M是线段1的中点，故.（Ⅱ）证明：连，由直四棱柱—A1B1C1D1可知：平面,又∵平面，四边形为菱形，在四边形中，∥且，所以四边形为平行四边形.故∥，平面1A1.1A1.（Ⅲ）由（Ⅱ）知⊥1A1，又11A1，∴⊥1，∵，∴1⊥.又由⊥可知⊥，∴∠C1就是平面1与平面所成二面角的平面角或补角.在△C1中，，故∠C130°.∴平面1与平面所成二面角的大小为30°或150°3.4.【答案】（1）在中，得：同理：得：面（2）面取的中点，过点作于点，连接，面面面得：点与点重合且是二面角的平面角设，则，既二面角的大小为5.解：(Ⅰ)连结,交于点O,连结,则⊥面,又∵,∴,∵,∴．（Ⅱ）∵⊥,⊥,∴⊥面,过点O作⊥于点M，连结,则⊥,∴∠就是二面角的平面角,又∵,∴,∴,即二面角的大小为．(Ⅲ)用体积法求解：解得，即到平面的距离为6.解：（Ⅰ）∵⊥平面，平面∴⊥。又∵，F为中点∴⊥，∴⊥面∴⊥平面。（Ⅱ）∵取中点M，连结、，则四边形为平行四边形，则∠为与所成的角。在△中，2a由余弦定理得：∴异面直线、所成的角的余弦值为。（Ⅲ）延长。交于点G，连结。因为，，所以A为中点。又因为F为中点，所以。因为⊥平面，所以⊥平面。故∠为面和面所成二面角的平面角易求∠45°7.解：（I）因为平面，所以平面平面，又，所以平面，得，又所以平面；（）因为，所以四边形为菱形，故，又为中点，知。取中点，则平面，从而面面， 过作于，则面， 在中，，故， 即到平面的距离为。 （）过作于，连，则， 从而为二面角的平面角， 在中，，所以，在中，， 故二面角的大小为。8.（I）证明：连接A1B，设A1B∩1=E，连接.∵—A1B1C1是正三棱柱，且1=，∴四边形A11是正方形，∴E是A1B的中点，又D是的中点，∴∥A1C.∵平面1D，A1C平面1D，∴A1C∥平面1D.（）解：在面内作⊥于点F，在面A11内作⊥1于点G，连接.∵平面A11⊥平面，∴⊥平面A11，∴是在平面A11上的射影，∵⊥1，∴⊥1∴∠是二面角B—1—D的平面角设A1A==1，在正△中，在△中，，在△中，，所以，二面角B—1—D的大小为（）