高中数学通关系列之“极坐标与参数方程30题”

高中数学通关系列之“坐标系与参数方程”1．在平面直角坐标系，曲线的参数方程为：为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程．解：（1）曲线的参数方程为：为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．（2）直线转换为极坐标方程为与曲线交于，两点，所以，得到，曲线交于，两点，所以，则，所以，当时，取得最大值．此时的极坐标方程为，即直角坐标方程为．2．在直角坐标系：中曲线的参数方程为为参数），是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线．（Ⅰ）求的参数方程；（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，将曲线、的方程转化为极坐标方程后，求．解：（Ⅰ）设由于点满足，所以，由于点在上，所以，整理得的参数方程为参数）．（Ⅱ）曲线的参数方程转换为极坐标方程为，曲线的参数方程转换为极坐标方程为，直线转换为极坐标方程为．所以，解得，同理，解得，故．3．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求证：直线与圆必有两个公共点；（2）已知点的直角坐标为，直线与圆交于，两点，若，求的值．解：（1）圆的极坐标方程为．由，，得曲线的直角坐标方程为．法一：将直线的参数方程为为参数）．代入，得，△，方程有两个不等的实数解．直线与圆必有两个公共点．法二：直线过定点，在圆内，直线与圆必有两个公共点．（2）记，两点对应的参数分别为，，由（1）可知，，，．4．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点满足，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求点的轨迹的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线与曲线交于，两点，若，求的值解：（Ⅰ）曲线的参数方程为为参数），设，由于点满足，所以为参数），转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为（Ⅱ）直线转换为极坐标方程为，设，，，，由于，所以，即，由于，所以，解得．所以，解得．5．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为：为参数），直线，以坐标原点为极点，轴为极轴建立极坐标系（1）求曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，求的取值范围．（1）解：由曲线的参数方程为：为参数），转换为普通方程为：，转换为极坐标方程为：；（2）解：由直线可得其极坐标方程：，代入曲线的极坐标方程得：可得：，故，故．6．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线的普通方程和直线1的直角坐标方程．（2）若直线1与曲线相交于，两点，求的面积．解：（1）曲线的参数方程为，为参数），转换为直角坐标方程为．直线的极坐标方程为转，整理得换为直角坐标方程为．（2）由于圆心到直线的距离，所以，所以．7．在平面直角坐标系中，曲线的方程为．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程，并求出直线与曲线的交点，的极坐标；（2）设是椭圆上的动点，求面积的最大值．解：（1）曲线的方程为．转换为极坐标方程为：．联立，得，．（2）易知，直线．设点，则点到直线的距离．（其中．面积的最大值为．8．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）直线与圆交于，两点，点，求的值．解：（1）直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为．圆的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．（2）把直线的参数方程为为参数），代入圆的直角坐标方程，得到，所以．9．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于、，且，点的直角坐标为，求的面积．解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为，转换为极坐标方程为．曲线的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．（2）直线转换为极坐标方程为，代入，解得．代入，得到，由于，所以，故：，解得，，所以，．则．10．极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以、轴正半轴为极轴．已知曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为，射线，，与曲线分别交于异于极点的四点，，，．（Ⅰ）若曲线关于对称，求的值，并求的参数方程；（Ⅱ）若，当时，求的范围．解：（1）曲线的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为，转换为标准式为．曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．由于曲线关于对称，所以圆心的坐标经过直线的方程，所以．所以的参数方程为为参数）．（2）根据题意整理得，．，，所以，．由于，所以，所以11．已知直线经过点，倾斜角，圆的极坐标方程为．（Ⅰ）写出直线的参数方程及圆的普通方程；（Ⅱ）设与圆相交于两点、，求．解：（Ⅰ）直线经过点，倾斜角，转换为参数方程为：为参数）．圆的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）把直线的参数方程代入，得到，所以，，所以．12．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，已知直线与曲线有且仅有一个公共点．求；（2），为曲线上的两点，且，求的最大值．解：（1）直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，整理得，由于直线与曲线有且仅有一个公共点，所以圆心到直线的距离，解得或（负值舍去）．（2），为曲线上的两点，且，设点为曲线上靠右的点，所以，，，，所以，当时，的最大值为．13．平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的极坐标方程为：，点．（1）求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程．（2）若直线与曲线交于点，曲线与曲线交于点，求的面积．解：（1）曲线消去参数可得：，展开可得：，，，可得，在方程中，同理可得，将展开可得：，同理：．即（2）联立与可得点，同理点，又，易得：，14．已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于，两点，求的值．解：（1）直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为．转换为，转换为直角坐标方程为．（2）直线的参数方程为为参数），转换为标准式为为参数），代入圆的直角坐标方程整理得，所以，．．15．在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．（1）曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线交于，两点，，求的值．解：（1）曲线的参数方程消去参数得，曲线的普通方程为．，，直线的直角坐标方程为．（5分）（2）设直线的参数方程为为参数），将其代入曲线的直角坐标方程并化简得，．点在直线上，．（10分）16．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数），在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，为直线上的任意一点（1）为曲线上任意一点，求、两点间的最小距离；．（2）过点作曲线的两条切线，切点为、，曲线的对称中心为点，求四边形面积的最小值．解：（1）曲线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为．直线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．所以圆心到直线的距离，所以最小距离．（2）由于圆心到直线的最小距离，所以构成的切线长为，所以四边形面积的最小值为．17．在直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）写出曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；（2）若射线与曲线相交于点，将逆时针旋转后，与曲线相交于点，且，求的值．解：（1）由曲线的参数方程为，为参数），可得其直角坐标方程，由，得曲线的极坐标方程，由，得曲线的直角坐标方程．（2）将代入，得．将逆时针旋转，得的极坐标方程为，所以．由，得，．即，解得．因为，所以．18．已知平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，．（1）求曲线的极坐标方程；（2）射线的极方程为，若射线与曲线，分别交于异于原点的，两点，且，求的值．解：（1）曲线的参数方程为为参数，，转换为和直角坐标方程为：，转换为极坐标方程为，整理得．（2）射线的极方程为，若射线与曲线，分别交于异于原点的，两点，所以，故，同理，故，由于，所以，所以，所以或．19．在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为为参数）．直线与曲线分别交于，两点．（Ⅰ）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（Ⅱ）若点的极坐标为，，求的值．解：（Ⅰ）曲线的极坐标方程为，，则，化简得，曲线的直角坐标方程，直线的参数方程为，，即直线的普通方程为；（Ⅱ）将化为直角坐标为，将直线的普通方程为化为参数方程，并代入，化简并整理得，直线与曲线交于，两点，，解得，由根与系数的关系得，在直线上，，．20．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程是是参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，选取相同的单位长度，建立极坐标系，圆的极坐标方程为．由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．解：将直线的参数方程化为普通方程为，将圆的极坐标方程化为普通方程为，即，作图如下，由可知，要使切线长最小，由于为定值，故只需最小，而的最小值为圆心到直线的距离，又圆心，直线，，，即切线长的最小值为．21．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）若，求曲线与的交点坐标；（2）过曲线上任意一点作与夹角为的直线，交于点，且的最大值，求的值．解：（1）曲线的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为．当时，直线的参数方程为为参数），整理得，转换为直角坐标方程为．所以，解得或，所以交点坐标为和．（2）曲线的直角坐标方程为，故曲线上任意一点到直线的距离，则，当时，的最大值为，解得．当时，的最大值为，解得．故或．22．在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为．（1）求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程；（2）设点为曲线上的点，直线经过圆的圆心，且倾斜角为，求点到直线的最大距离．解：（1）曲线的参数方程为为参数）．转换为直角坐标方程为．圆的极坐标方程为．转换为直角坐标方程为．整理得．（2）直线经过圆的圆心，且倾斜角为，求出直线的方程为．由于为曲线的上的一点，设，所以点到直线的距离，当时，故．23．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数）．以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程．（1）直接写出曲线的普通方程；（2）设是曲线上的动点，是曲线上的动点，求的最大值．解：（1）曲线的极坐标方程．整理得：，转换为直角坐标方程为．（2）曲线的参数方程为为参数）．转换为直角坐标方程为，所以该曲线是以为圆心2为半径的圆．是曲线上的动点，是曲线上的动点，设，则，当时．，所以求的最大值为．24．以坐标原点为极点，以轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为为参数）．（1）点在曲线上，且曲线在点处的切线与直线：垂直，求点的直角坐标；（2）设直线与曲线有且只有一个公共点，求直线的斜率的取值范围．解：（1）已知曲线的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为，在曲线上，且曲线在点处的切线与直线：垂直，所以，解得，即．（2）直线的直角坐标方程为与半圆有且只有一个交点，故，整理得，解得或7，由于，，，，所以，，所以直线的斜率的范围为．25．已知点为圆上的动点，为坐标原点，过作直线的垂线（当、重合时，直线约定为轴），垂足为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求点的轨迹的极坐标方程；（2）直线的极坐标方程为，连接并延长交于，求的最大值．解：（1）设点的极坐标为，所以根据题意，在中，有，所以点的极坐标方程为：．（2）设射线，，圆的极坐标方程为．由得到．由得：，所以．由于，所以，当，即，故．26．在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）把曲线向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线（纵坐标不变），设点是曲线上的一个动点，求它到直线的距离的最小值．解：（1）直线的参数方程为为参数），转换为直角坐标方程为．曲线的极坐标方程为转换为直角坐标方程为．（2）曲线向下平移1个单位，然后各点横坐标变为原来的2倍得到曲线（纵坐标不变），即代入，得到，转换为参数方程为为参数），所以点到直线的距离，即当时，．27．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，若直线与曲线交于，两点．（1）若，求；（2）若点是曲线上不同于，的动点，求面积的最大值．解：（1）直线的参数方程为为参数），转换为标准式为为参数）．曲线的极坐标方程为，整理得，转换为直角坐标方程为．把直线的参数