全国高中数学联合竞赛试题解答(B卷)8

2018年全国高中数学联合比赛一试（B卷）一、填空题：本大题共8个小题，每题8分，共64分。2018B1、设会合A2,0,1,8，会合B2a|aA，则会合AB的全部元素之和是◆答案：31★分析:易知B4,0,2,16，所以AB0,1,2,4,8,16，元素之和为31.2018B2、已知圆锥的极点为P，底面半径长为2，高为1．在圆锥底面上取一点Q，使得直线PQ与底面所成角不大于450，则知足条件的点Q所组成的地区的面积为◆答案：3★分析:记圆锥的极点P在底面的投影为O，则O为底面中心，且tanOQPOP1，即OQ1，OQ故所以地区的面积为22123。2018B3、将1,2,3,4,5,6随机排成一行，记为a,b,c,d,e,f，则abcdef是奇数的概率为◆答案：110★分析：由abcdef为奇数时，abc，def一奇一偶，①若abc为奇数，则a,b,c为1,3,5的摆列，从而d,e,f为2,4,6的摆列，这样共有6636种；②若abc为偶数，由对称性得，也有6636种，从而abc721。def为奇数的概率为106!2018B4、在平面直角坐标系xOy中，直线l经过原点，n(3,1)是l的一个法向量．已知数列an知足：对随意正整数n，点(an1,an)均在l上．若a26，则a1a2a3a4a5的值为◆答案：32★分析:易知直线l的方程为y3x，所以对随意正整数n，有an11an，故an是以1为33|2a（{EMBEDEquation.3|}2(ax0)公比的等比数列.于是a31a22，由等比数列的性质知a1a2a3a4a5a353232018B5、设,知足tan()3，tan(6)5，则tan()的值为73◆答案：4★分析:由两角差的正切公式可知tan364，即可得tan()7742018B6、设抛物线C:y22x的准线与x轴交于点A，过点B(1,0)作向来线l与抛物线C相切于点K,过点A作l的平行线，与抛物线C交于点M,N，则KMN的面积为为1◆答案：2111★分析:设直线l与MN的斜率为k，l:x1，MN:xyyk分别联立抛物线方程获得：2y20（），和y22yk2y210（）kk对（）由0得k2；对（）得yMyN442k22所以SKMNSBMNSBAMSKBAN1AByMyN1222018B7、设f(x)是定义在R上的以2为周期的偶函数，在区间1,2上严格递减，且知足f()1，f(2)0，则不等式组0x1的解集为f(x)10◆答案：26,4★分析：由f(x)为偶函数及在区间1,2上严格递减知，f(x)在2,1上递加，联合周期性知，f(x)在0,1上递加，又f(4)f()1，f(26)f(2)0，所以不等式等价于

f(26)f(x)f(4)，又02641，即不等式的解集为|

2

a}（{EMBEDEquation.3|2(ax0)26,42018B8、已知复数z1,z2,z3知足z1z2z31，z1z2z3r，此中r是给定的实数，则z1z2z2z3

z3z1

的实部是

（用含有r的式子表示）◆答案：

r232★分析:记

w

z1z2

z3，由复数的模的性质可知：z111，z31，z2，所以wz1z2

z2z3z2z3z3z1。

z1z1z2z3于是r2z1z2z3z1z2z3z122z32ww232Rewz2r23解得Rew。2二、解答题：本大题共3小题，共56分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2018B9、（此题满分16分）已知数列an知足：a17，an1an2，n1,2,3,，求知足anan42018的最小正整数n。★分析:由an1an2可知an11an12，所以an1a112n1232n1an即an32n11，明显an单一递加，又a112307212403642018261441a122所以知足条件的最小n为12。2018B10、（此题满分20分）已知定义在R上的函数f(x)为f(x)log3x1,0x94x,x，设9a,b,c是三个互不同样的实数，知足f(a)f(b)f(c)，求abc的取值范围。|2a}（{EMBEDEquation.3|2(ax0)★分析:★分析：不如设abc，因为f(x)在0,3上递减，在3,9上递加，在9,上递减，且f(3)0，f(9)1，联合图像知：a0,3，b3,9，c9,，且f(a)f(b)f(c)0,1。由f(a)f(b)得log3alog3b2，即ab9，此时abc9c，又f(c)4c，由04c1得c9,16，所以abc9c81,144。2018B11、（此题满分20分）如下图，在平面直角坐标系xOy中，A,B与C,D分别是椭圆:x2y21（ab0）的左、右极点与上、下极点．设P,Q是椭圆上且位于第一象限的两a2b2点，知足OQ//AP，M是线段AP的中点，射线OM与椭圆交于点R.证明：线段OQ,OR,BC能组成一个直角三角形。★证明:设点P的坐标为x0,y0，因为OQ//AP，则APOPOA，又OR//OM，所以OM1OPOA，故存在实数,，使得2OQOPOA,OROPOA，此时点Q,R的坐标能够分别表示为x0a,y0，|2a（{EMBEDEquation.3|}2(ax0)x02y021a2b2x0a2y022x0a,y0。因为点Q,R在椭圆上，所以a2b21，化简整理得x0a2y0221a2b2222x0222x01，则2a，2a（）aa2(ax0)2(ax0)2OR22x0a2y022x0a2y02所以，OQ，ax0a2y02ax0a2y022(ax0)2(ax0)ax0aay02aax0ay0222(ax0)22(ax0)a2ay02a1a12x0x0a2ay02a22a2x02a2b22BC线段OQ,OR,BC能组成一个直角三角形。|2a（{EMBEDEquation.3|}2(ax0)2018年全国高中数学联合比赛二试（B卷）2018B一、（此题满分40分）设a,b是实数，函数f(x)axb9x01,9，使。证明：存在x得f(x0)2。★证明用反证法.假定对随意的x1,9，均有f(x)2，则:f(1)2，f(3)2，f(9)2即ab92，3ab32，9ab12注意到f(3)4f(2)3f(1)16又f(3)4f(2)3f(1)16f(1)4f(3)3f(9)16矛盾！所以原命题得证。2018B二、（此题满分40分）如下图，在等腰ABC中，ABAC，边AC上一点D及BC延伸线上一点E知足ADBC，以AB为直径的圆与线段DE交于一点F。DC2CE证明：B,C,F,D四点共圆。（答题时请将图画在答卷纸上）★证明:取BC中点H，则由ABAC知AHBC，故H在圆上.延伸FD至G，使得AG//BC，联合已知条件得，AGADBC，故AG1BHCH，CEDC2CEBC2从而AGBH为矩形，AGHC为平行四边形。|2a}（{EMBEDEquation.3|2(ax0)由AGBH为矩形知，G在圆上，故HGFHBF,又AGHC为平行四边形，由AC//GH，得CDFHGF,所以CBFHBFCDF，所以B,C,F,D四点共圆。2018B三、（此题满分50分）设会合A1,2,,n，X,Y均为A的非空子集（同意XY）．X中的最大元与Y中的最小元分别记为maxX,minY．求知足maxXminY的有序会合对(X,Y)的数量。★分析:先计算知足maxXminY的有序会合对(X,Y)的数量.对给定的mmaxX，会合X是会合1,2,,m1的随意一个子集与m的并，故共有2m1种取法.又mminY，故Y是m,m1,m2,,n的随意一个非空子集，共有2n1m1种取法.所以，知足maxXminY的有序会合对(X,Y)的数量是：n2m12n1mn2nn2m1n12nm11m1m11(X,Y)有2n12n12n2maxXminY的有序会合对因为有序会合对1个，于是知足(X,Y)的数量是2n2n2n2n14n2nn112018B四、（此题满分50分）给定整数a2。证明：对随意正整数n，存在正整数k，使得连续n个数ak1，ak2,,akn均是合数。★证明:设tion.3|ab9}，此时uation.3|abc9c，又quation.3f(c)4c，由.3|04c1得.3|c9,16，所以abc9c81,144。2018B11、（此题满分20分）如下图，在平面直角坐标系n.3|xOy中，|A,B与C,D分别是椭圆）的左、右极点与上、下极点．设uation.3|P,Q是椭圆上且位于第一象限的两点，满|2a}（{EMBEDEquation.3|2(ax0)足EMBEDEquation.3|M}是线段MBEDEquation.3|AP的中点，射线EMBEDEquation.3|OM与椭圆交于点R.线段能组成一个直角三角形。2018年全国高中数学联合比赛二试（B卷）2018B一、（此题满分40分）设是实数，函数。证明：存在，使得。★证明:用反证法.假定对随意的，均有，则，，即，，注意到又矛盾！所以原命题得证。2018B二、（此题满分40分）如下图，在等腰中，，边上一点及延伸线上一点知足，认为直径的圆与线段交于一点。证明：四点共圆。（答题时请将图画在答卷纸上）|2a（{EMBEDEquation.3|}2(ax0)★证明:取中点，则由知，故在圆上.延伸至，使得，联合已知条件得，，故，从而为矩形，为平行四边形。由为矩形知，在圆上，故,又为平行四边形，由，得,所以，所以四点共圆。2018B三、（此题满分50分）设会合，均为的非空子集（同意）．中的最大元与中的最小元分别记为．求知足的有序会合对的数量。★分析:先计算知足的有序会合对的数量.对给定的，会合是会合的随意一个子集与的并，故共有种取法.又，故是的随意一个非空子集，共有种取法.所以，知足的有序会合对的数量是：因为有序会合对有个，于是知足的有序会合对的数量是2018B四、（此题满分50分）给定整数。证明：对随意正整数，存在正整数，使得连续个数，均是合