2023年高考数学热点专题解析几何模型通关圆追曲线中的定值问题（原卷版）

圆锥曲线中的定值问题思路引导思路引导处理圆锥曲线中定值问题的方法：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．母题呈现母题呈现考法1证明某些几何量为定值【例1】（2022·广东·模拟预测）已知双曲线的离心率为2，右顶点到一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且为坐标原点，点到直线的距离是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.【解题指导】（1）设渐近线方程→点D到渐近线距离列方程→双曲线线的离心率→求得→双曲线的方程.（2）考虑直线斜率不存在和为0时→点到直线的距离→设直线方程方程→根与系数关系→列方程→点到直线距离公式→求得点到直线的距离.【例2】（2022·湖北省天门中学模拟预测）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：eq\f(x2,4)＋y2＝1，点P(x1，y1)，Q(x2，y2)是椭圆C上两个动点，直线OP，OQ的斜率分别为k1，k2，若m＝，n＝，m·n＝0.(1)求证：k1·k2＝－eq\f(1,4)；(2)试探求△OPQ的面积S是否为定值，并说明理由．【解题指导】【解题技法】参数法解决圆锥曲线中最值问题的一般步骤【跟踪训练】(2020·北京卷)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1过点A(－2，－1)，且a＝2b.(1)求椭圆C的方程；(2)过点B(－4，0)的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线x＝－4于点P，Q，求eq\f(|PB|,|BQ|)的值.考法2证明某些代数式为定值【例3】（2022·山东泰安·三模）已知椭圆（a＞b＞0）的离心率，四个顶点组成的菱形面积为，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)过上任意点P做的切线l与椭圆E交于点M，N，求证为定值．【解题指导】【解后反思】常见处理技巧：(1)在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢；(2)巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符号曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运算.【例4】（2022·湖南怀化·一模）如图.矩形ABCD的长，宽，以A､B为左右焦点的椭圆恰好过C､D两点，点P为椭圆M上的动点.(1)求椭圆M的方程，并求的取值范围；(2)若过点B且斜率为k的直线交椭圆于M､N两点（点C与M､N两点不重合），且直线CM､CN的斜率分别为，试证明为定值.【解题技法】圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)证明代数式为定值:依题意设条件,得出与代数式中参数有关的等式,代入代数式并化简,即可得出定值;(2)证明点到直线的距离为定值:利用点到直线的距离公式得出距离的解析式,再利用题设条件化简、证明。【跟踪训练】(2022·衡水模拟)已知点P在圆O：x2＋y2＝6上运动，点P在x轴上的投影为Q，动点M满足(1－eq\r(3))eq\o(OQ,\s\up6(→))＝eq\o(OP,\s\up6(→))－eq\r(3)eq\o(OM,\s\up6(→)).(1)求动点M的轨迹E的方程；(2)过点(2，0)的动直线l与曲线E交于A，B两点，问：在x轴上是否存在定点D，使得eq\o(DA,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(DA,\s\up6(→))2的值为定值？若存在，求出定点D的坐标及该定值；若不存在，请说明理由.方法总结方法总结圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略1.求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式，化简即可得出定值；2.求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得；3.求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得．模拟训练模拟训练1．（2023·河南·统考模拟预测）设椭圆：的右焦点恰好是抛物线的焦点，椭圆的离心率和双曲线的离心率互为倒数.(1)求椭圆E的标准方程；(2)设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过定点的直线与椭圆E交于C，D两点（与点A，B不重合）.证明：直线AC，BD的交点的横坐标为定值.2．（2023·河北唐山·统考一模）已知双曲线过点，且与的两个顶点连线的斜率之和为4．(1)求的方程；(2)过点的直线与双曲线交于，两点（异于点）．设直线与轴垂直且交直线于点，若线段的中点为，证明：直线的斜率为定值，并求该定值．3．（2023·江苏南通·统考模拟预测）已知，，三个点在椭圆，椭圆外一点满足，，（为坐标原点）.(1)求的值；(2)证明：直线与斜率之积为定值.4．（2023·全国·本溪高中校联考模拟预测）已知一条长为的线段的端点分别在双曲线的两条渐近线上滑动，点是线段的中点．(1)求点的轨迹的方程．(2)直线过点且与交于、两点，交轴于点．设，，求证：为定值．5．（2023·福建泉州·统考三模）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B．直线l与C相切，且与圆交于M，N两点，M在N的左侧．(1)若，求l的斜率；(2)记直线的斜率分别为，证明：为定值．6．（2023·山东临沂·统考一模）已知动点与点的距离和它到直线的距离之比是，点的轨迹为曲线．(1)求的方程；(2)若点在上，且与交于点，点在椭圆上，证明：的面积为定值．7．（2023·山东菏泽联考一模）已知圆：，为圆上一动点，，线段的垂直平分线交于点G.(1)求动点G的轨迹C的方程；(2)已知，轨迹C上关于原点对称的两点M，N，射线AM，AN分别与圆交于P，Q两点，记直线MN和直线PQ的斜率分别为，.①求AM与AN的斜率的乘积；②问是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由.8．（2023·四川南充·四川省南部中学校考模拟预测）已知椭圆的离心率，点在椭圆上.(1)求椭圆的方程；(2)过点的直线交椭圆于两点，试探究在轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值及点坐标；若不存在，请说明理由9．（2023·广东佛山·统考一模）已知椭圆的左焦点为，左、右顶点及上顶点分别记为、、，且.(1)求椭圆的方程；(2)设过的直线交椭圆于P、Q两点，若直线、与直线l：分别交于M、N两点，l与