三年高考数学(文)真题分类解析1解三角形

考纲解读明方向考点内容解读要求高考示例常考题型展望热度正弦定掌握正弦定理、余弦定理,理和余弦并能解决一些简单的三角形胸襟问题定理正、余弦可以运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些定理的应与测量和几何计算相关的用实责问题

2017山东,9;2017浙江,14;2017天津,15;2017北京,15;选择题掌握2016课标全国Ⅱ,13;★★★填空题2016天津,3;2015天津,132017课标全国Ⅱ,17;2017课标全国Ⅲ,17;2017江苏,18;掌握2016课标全国Ⅲ,8;解答题★★★2016山东,16;2016浙江,16;2015湖北,13解析解读1.利用正弦定理、余弦定理解三角形也许求解平面几何图形中相关量的问题,需要综合应用两个定理及三角形相关知识.2.正弦定理和余弦定理的应用比较广泛,也比较灵便,在高考中常与面积或取值范围结合进行观察.3.会利用数学建模思想,结合三角形的知识,解决生产实践中的相关问题.2018年高考全景显现1．【2018年全国卷Ⅲ文】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A.B.C.D.【答案】C点睛：此题主要观察解三角形，观察了三角形的面积公式和余弦定理。2．【2018年全国卷Ⅲ文】若，则A.B.C.D.【答案】B【解析】解析：由公式可得。详解：，故答案为B.点睛：此题主要观察二倍角公式，属于基础题。3．【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a=，b=2，A=60°，则sinB=___________，c=___________．【答案】3【解析】解析:依照正弦定理得sinB,依照余弦定理解出c.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依照正、余弦定理结合已知条件灵便转变为边和角之间的关系，进而达到解决问题的目的.4．【2018年文北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】解析：依照题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转变成求函数的取值范围问题.详解：，，即，，则，为钝角，，，故.点睛：此题观察解三角形的综合应用，余弦定理的公式有三个，可以依照题干给出的信息采用合适的余弦定理公式是解题的第一个要点；依照三角形内角的隐含条件，结合引诱公式及正弦定理，将问题转变成求解含的表达式的最值问题是解题的第二个要点.5．【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的均分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】解析：先依照三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.详解：由题意可知，,由角均分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必定为定值)、“等”(等号获取的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.6．【2018年新课标I卷文】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】点睛：该题观察的是三角形面积的求解问题，在解题的过程中，注意对正余弦定理的熟练应用，以及经过隐含条件确定角为锐角，借助于余弦定理求得，利用面积公式求得结果.7．【2018年天津卷文】在

中，内角

A，B，C所对的边分别为

a，b，c.已知

.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求

b和

的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)，.【解析】解析：（Ⅰ）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得（Ⅱ）在△ABC中，由余弦定理可得b=．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得

，则

B=．点睛：在办理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．2017年高考全景显现1.【2017课标1，文11】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a=2，c=，则C=A．

B．

C．

D．【答案】B【解析】试题解析：由题意

得，即，因此．由正弦定理

得

，即

，得

，应选

B．【考点】解三角形【名师点睛】在解相关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住可以利用某个定理的信息．一般地，若是式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；若是式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特点都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2【.2017课标II，文16】的内角的对边分别为,若,则【答案】【解析】由正弦定理可得【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依照正、余弦定理结合已知条件灵活转变边和角之间的关系，进而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，尔后确定转变的方向.第二步：定工具，即依照条件和所求合理选择转变的工具，推行边角之间的互化.第三步：求结果.【2017浙江，13】已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延伸线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是______，cos∠BDC=_______．【答案】【解析】【考点】解三角形【名师点睛】利用正、余弦定理解决实责问题的一般思路：（1）实责问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实责问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解．【2017课标3，文15】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=_________.【答案】75°【考点】正弦定理【名师点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要依照正、余弦定理结合已知条件灵活转变边和角之间的关系，进而达到解决问题的目的.其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，尔后确定转变的方向.第二步：定工具，即依照条件和所求合理选择转变的工具，推行边角之间的互化.第三步：求结果.5.【2017浙江，11】我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估计圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果当先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．【答案】【解析】试题解析：将正六边形切割为6个等边三角形，则【考点】数学文化【名师点睛】此题大概看起来文字量大，其实质为将正六边形切割为6个等边三角形，确定6个等边三角形的面积，其中对文字信息的读取及提取适用信息方面至关重要，考生面对这方面题目时应多加耐心，仔细解析题目中所描述问题的实质，结合所学进行有目的的求解．6.【2017天津，文15】在中，内角所对的边分别为.已知，.（I）求的值；（II）求的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).【解析】试题解析（Ⅰ）第一依照正弦定理代入获取，再依照余弦定理求得；（Ⅱ）依照（Ⅰ）的结论和条件，依照求，和以及正弦定理求得，再求，以及，最后代入求的值.【考点】1.正余弦定理；2.三角恒等变换.【名师点睛】高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题，若是式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；若是遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理实现边角互化；以上特点都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．而三角变换中主若是“变角、变函数名和变运算形式”，其中的核心是“变角”，即注意角之间的结构差异，填充这种结构差异的依照就是三角公式7.【2017山东，文17】（本小题满分12分）在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.【答案】【解析】试题解析：先由数量积公式及三角形面积公式得,,由此求A,再利用余弦定理求a.【考点】解三角形【名师点睛】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理,它将三角形的边和角有机地联系起来,进而使三角与几何产生联系,为求与三角形相关的量(如面积、外接圆、内切圆半径和面积等)供应了理论依照也是判断三角形形状、证明三角形中相关等式的重要依照．其主要方法有：化角法,化边法,面积法,

,运用初等几何法．注意领悟其中蕴涵的函数与方程思想、等价转变思想及分类谈论思想

．2016年高考全景显现1【.2016高考新课标1文数】△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知,,,则b=（）（A）（B）（C）2（D）3【答案】D【解析】试题解析：由余弦定理得,解得（舍去）,应选D.考点：余弦定理【名师点睛】此题属于基础题,观察内容单调,依照余弦定理整理出关于b的一元二次方程,再经过解方程求b.运算失误是基础题失分的主要原因,请考生切记！2.【2016高考山东文数】中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=（）（A）（B）（C）（D）【答案】C【解析】考点：余弦定理【名师点睛】此题主要观察余弦定理的应用、三角函数的同角公式及引诱公式，是高考常考知识内容.此题难度较小，解答此类问题，侧重边角的互相变换是要点，此题能较好的观察考生解析问题解决问题的能力、基本计算能力等.3．[2016高考新课标Ⅲ文数]在中，，边上的高等于,则（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】试题解析：设边上的高线为，则，因此．由正弦定理，知，即，解得，应选D．考点：正弦定理．【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需搜寻各个三角形之间的联系，交织使用公共条件，经常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，尔后采用正弦定理与余弦定理求解．4.【2016高考上海文科】已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________.【答案】【解析】试题解析：由已知，∴，∴，∴考点：1.正弦定理；2.余弦定理.【名师点睛】此类题目是解三角形问题中的典型题目.解答此题，经常要利用三角公式化简三角恒等式，利用正弦定理实现边角转变，达到解题目的；三角形中的求角问题，经常要利用余弦定理用边表示角的函数.此题较易，主要观察考生的基本运算求解能力等.5【.2016高考新课标2文数】△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，a=1，则b=____________.【答案】【解析】考点：正弦定理，三角函数和差公式.【名师点睛】在解相关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住可以利用某个定理的信息．一般地，若是式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；若是式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特点都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．6.【2016高考北京文数】在△ABC中，，，则=_________.【答案】1【解析】试题解析：由正弦定理知，因此，则，因此，因此，即．考点：解三角形【名师点睛】①依照所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答此题的要点．②熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．【2016高考天津文数】（本小题满分13分）在中，内角所对应的边分别为a,b,c，已知.(Ⅰ)求B；(Ⅱ)若，求sinC的值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】试题解析：（Ⅰ）利用正弦定理，将边化为角：,再依照三角形内角范围化简得，（Ⅱ）问题为“已知两角，求第三角”，先利用三角形内角和为，将所求角化为两已知角的和，再依照两角和的正弦公式求解考点：同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式、两角和的正弦公式以及正弦定理【名师点睛】三角函数是以角为自变量的函数，因此解三角函数题，第一从角进行解析，善于用已知角表示所求角，即侧重角的变换.角的变换涉及引诱公式、同角三角函数关系、两角和与差公式、二倍角公式、配角公式等，采用合适的公式，是解决三角问题的要点，明确角的范围，对开方时正负弃取是解题正确的保证.8.【2016高考浙江文数】（此题满分14分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知b+c=2acosB．（Ⅰ）证明：A=2B；（Ⅱ）若cosB=，求cosC的值．【答案】（I）证明见解析；（II）.【解析】试题解析：（I）先由正弦定理可得，进而由两角和的正弦公式可得，再判断的取值范围，进而可证；（II）先用同角三角函数的基本关系可得，再用二倍角公式可得，进而可得和，最后用两角和的余弦公式可得．考点：三角函数及其变换、正弦和余弦定理.【思路点睛】（I）用正弦定理将边转变成角，进而用两角和的正弦公式转变成含有，的式子，依照角的范围可证；（II）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得．【2016高考四川文科】（此题满分12分）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且.（I）证明：；（II）若，求

.【答案】（Ⅰ）证明详见解析；（Ⅱ）4.【解析】试题解析：（Ⅰ）已知条件式中有边有角，

利用正弦定理，将边角进行转变（本小题是将边转变成角），结合引诱公式进行证明；（Ⅱ）从已知式可以看出第一利用余弦定理解出解出sinA，代入（Ⅰ）中等式sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，解出

cosA=tanB的值.

，再依照平方关系（Ⅱ）由已知，b2+c2–a2=bc，依照余弦定理，有cosA==．因此sinA==．由（Ⅰ），sinAsinB=sinAcosB+cosAsinB，因此sinB=cosB+sinB，故．考点：正弦定理、余弦定理、商数关系、平方关系.【名师点睛】此题观察正弦定理、余弦定理、商数关系等基础知识，观察学生的解析问题的能力和计算能力.在解三角形的应用中，凡是遇到等式中有边又有角时，可用正弦定理进行边角互化，一种是化为三角函数问题，一般是化为代数式变形问题．在角的变化过程中注意三角形的内角和为这个结论，否则难以得出结论．考纲解读明方向展望热考点内容解读要求高考示例常考题型度①能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,认识2017课标全国Ⅰ,9;1.三角函数三角函数的周期性;选择题2016北京,7;②认识函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出掌握填空题★★★的图2016课标全国y=Asin(ωx+φ)的图象,认识参数A,ω,φ对函数解答题象及其变换Ⅲ,14;图象变化的影响2015湖南,92017课标全国2.三角函数理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大Ⅲ,6;选择题的性值和最小值以及与x轴交点等).理解正切函数的理解2016课标全国填空题★★★质及其应用单调性Ⅱ,7;解答题2015课标Ⅰ,8解析解读三角函数的图象和性质素来是高考中的热点,经常结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式观察,其观察内容及形式仍是近几年高考对该部分内容观察的要点.分值为10~12分,属于中低档题.2018年高考全景显现1．【2018年新课标

I卷文】已知函数

，则A.的最小正周期为π，最大值为3C.的最小正周期为，最大值为

B.3

D.

的最小正周期为的最小正周期为

π，最大值为，最大值为

44【答案】B【解析】解析：第一利用余弦的倍角公式，对函数解析式进行化简，将解析式化简为，此后应用余弦型函数的性质获取相关的量，进而获取正确选项.点睛：该题观察的是相关化简三角函数解析式，并且经过余弦型函数的相关性质获取函数的性质，在解题的过程中，要注意应用余弦倍角公式将式子降次升角，获取最简结果.2．【2018年天津卷文】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数A.在区间上单调递加B.在区间上单调递减C.在区间上单调递加D.在区间上单调递减【答案】A【解析】解析：第一确定平移此后的对应函数的解析式，尔后逐一观察所给的选项可否吻合题意即可.点睛：此题主要观察三角函数的平移变换，三角函数的单调区间等知识，意在观察学生的转变能力和计算求解能力.3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．【答案】【解析】解析：由对称轴得，再依照限制范围求结果.详解：由题意可得，因此，因为，因此点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由求增区间;由求减区间.2017年高考全景显现1.【2017课标II，文13】函数的最大值为.【答案】【考点】三角函数有界性【名师点睛】经过配角公式把三角函数化为的形式再借助三角函数图象研究性质，解题时注意观察角、函数名、结构等特点．一般可利用求最值.2.【2017课标II，文3】函数的最小正周期为A.B.C.D.【答案】C【解析】由题意，应选C.【考点】正弦函数周期【名师点睛】函数

的性质(1)

.(2)周期(3)由

求对称轴(4)由

求增区间

;由

求减区间;3.【（A）

2017

天津，文7且（B）

】设函数的最小正周期大于（C）

，则

，其中（D）

.

若【答案】【解析】试题解析：因为条件给出周期大于再依照

，

，因为

，，因此当

时，

，成立，故选A.【考点】三角函数的性质【名师点睛】此题观察了的解析式，和三角函数的图象和性质，此题表达方式新颖,是一道观察能力的好题，此题可以直接求解，也可代入选项，逐一观察所给选项：当时，，满足题意，，不合题意，B选项错误；，不合题意，C选项错误；，满足题意；当时，，满足题意；，不合题意，D选项错误.此题选择A选项.4.【2017山东，文7】函数最小正周期为A.B.C.D.【答案】C【解析】【考点】三角变换及三角函数的性质【名师点睛】求三角函数周期的方法：①利用周期函数的定义．②利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝2ππAcos(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|,y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为|ω|.③关于形如的函数,一般先把其化为的形式再求周期.5.【2017浙江，18】（此题满分14分）已知函数f（x）=sin2x–cos2x–sinxcosx（xR）．（Ⅰ）求的值．（Ⅱ）求的最小正周期及单调递加区间．【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ）最小正周期为，单调递加区间为．【解析】试题解析：（Ⅰ）由函数看法，分别计算可得；（Ⅱ）化简函数关系式得，结合可得周期，利用正弦函数的性质求函数的单调递加区间．【考点】三角函数求值、三角函数的性质【名师点睛】此题主要观察了三角函数的化简，以及函数的性质，属于基础题，重申基础的重要性，是高考中的常考知识点；关于三角函数解答题中，当涉及到周期，单调性，单调区间以及最值等都属于三角函数的性质，第一都应把它化为三角函数的基本形式即，尔后利用三角函数的性质求解．2016年高考全景显现1.【2016高考新课标2文数】函数的部分图像以下列图，则（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】试题解析：由图知，，周期，因此，因此，因为图象过点，因此，因此，因此，令得，，因此，应选A.考点：三角函数图像的性质【名师点睛】依照图像求解析式问题的一般方法是：先依照函数图像的最高点、最低点确定A，h的值，函数的周期确定ω的值，再依照函数图像上的一个特别点确定φ值．2.【2016高考天津文数】已知函数，.若在区间内没有零点，则的取值范围是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】考点：解简单三角方程【名师点睛】关于三角函数来说，经常是先化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，再利用三角函数的性质求解．三角恒等变换要坚持结构同化原则，即尽可能地化为同角函数、同名函数、同次函数等，其中切化弦也是同化思想的表现；降次是一种三角变换的常用技巧，要灵便运用降次公式．3.【2016高考新课标1文数】若将函数π1y=2sin(2x+6)的图像向右平移4个周期后,所得图像对应的函数为（）πA）y=2sin(2x+4)【答案】D【解析】

ππ（B）y=2sin(2x+3)（C）y=2sin(2x–4)

πD）y=2sin(2x–3)试题解析：函数的周期为,将函数的图像向右平移个周期即个单位,所得函数为,应选D.考点：三角函数图像的平移【名师点睛】函数图像的平移问题易错点有两个,一是平移方向,注意“左加右减“,二是平移多少个单位是对x而言的,不用忘记乘以系数.4.[2016高考新课标Ⅲ文数]函数的图像可由函数的图像最少向右平移_____________个单位长度获取．【答案】【解析】考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角差的正弦函数．【误区警示】在进行三角函数图象变换时，倡议“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，因此也必定熟练掌握，无论是哪一种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．5.【2016高考山东文数】（本小题满分12分）设

.（I）求（II）把

得单调递加区间；的图象上全部点的横坐标伸长到原来的

2倍（纵坐标不变），再把获取的图象向左平移个单位，获取函数的图象，求的值.【答案】（）的单调递加区间是（或）（）【解析】试题解析：（）化简

得由即得写出的单调递加区间（）由平移后得进一步可得（）由（）知把的图象上全部点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），获取的图象，再把获取的图象向左平移个单位，获取的图象，即因此考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质；3.三角函数图象的变换.【名师点睛】此题主要观察和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质、三角函数图象的变换.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答此题，要点在于能利用三角公式化简函数、进一步谈论函数的性质，利用“左加右减、上加下减”变换原则，得出新的函数解析式并求值.此题较易，能较好的观察考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.六、词语点将（据意写词）。1．看望；接见。（）2．互相商讨解决互相间相关的问题。（）3．全力保持盛大