秋高中数学第一章三角函数14三角函数图象与性质141正弦函数余弦函数图象学案新人教A

正弦函数、余弦函数的图象学习目标：1.认识正弦函数、余弦函数图象的来历，掌握“五点法”画出正弦函数、余弦函数的图象的方法．(要点)2.正、余弦函数图象的简单应用．(难点)3.正、余弦函数图象的差别与联系．(易混点)[自主预习·探新知]1．正弦曲线正弦函数y＝sinx，x∈R的图象叫正弦曲线．图1-4-12．正弦函数图象的画法几何法：①利用单位圆中正弦线画出y＝sinx，x∈[0,2π]的图象；②将图象向左、右平行挪动(每次2π个单位长度)．(2)五点法：π3π①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个要点点(0,0)，2，1，(π，0)，2，－1，(2π，0)，用圆滑的曲线连结；②将所得图象向左、右平行挪动(每次2π个单位长度)．3．余弦曲线余弦函数y＝cosx，x∈R的图象叫余弦曲线．图1-4-24．余弦函数图象的画法要获得y＝cosx的图象，只要把y＝sinx的图象向左平移π2个单位长度即可．用“五点法”画余弦曲线y＝cosx在[0,2π]上的图象时，所取的五个要点点分别为(0,1)，π，0，(π，－1)，3π，0，(2π，1)，再用圆滑的曲线连结．22思虑：y＝cosx(x∈R)的图象可由y＝sinx(x∈R)的图象平移获得的原由是什么？[提示]由于＝sinx＋π，因此y＝sin∈R)的图象向左平移π个单位可得cosx2x(x2y＝cosx(x∈R)的图象．[基础自测]1．思虑辨析正弦函数y＝sinx的图象在x∈[2kπ，2kπ＋2π](k∈Z)上的图象形状同样，只是地点不一样．( )(2)正弦函数y＝sinx(x∈R)的图象对于x轴对称．()(3)余弦函数y＝cosx(x∈R)的图象对于原点成中心对称．()[分析]由y＝sinx(x∈R)图象可知(1)正确，(2)错误；由y＝cosx(x∈R)图象可知(3)错误．[答案](1)√(2)×(3)×2．请增补完好下边用“五点法”作出y＝－sinx(0≤x≤2π)的图象时的列表．x0π①3π2π22－sinx②－10③0________；②________；③________.π01[用“五点法”作y＝－sinx(0≤≤2π)的图象的五个要点点为(0,0)，xπ，－1，(π，0)，3π，1，(2π，0)故①为π，②为0，③为1.]2213．函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－2的交点有________个．12[由图象可知：函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象与直线y＝－有两个交点．]2[合作研究·攻重难]正弦函数、余弦函数图象的初步认识(1)以下表达正确的选项是()①y＝sinx，x∈[0,2π]的图象对于点P(π，0)成中心对称；②＝cosx，∈[0,2π]的图象对于直线x＝π成轴对称；yx③正、余弦函数的图象不超出直线y＝1和y＝－1所夹的范围.A．0B．1个C．2个D．3个(2)函数y＝sin|x|的图象是()2(1)D(2)B[(1)分别画出函数y＝sinx，x∈[0,2π]和y＝cosx，x∈[0,2π]的图象，由图象(略)察看可知①②③均正确．sinx，x≥0，(2)y＝sin|x|＝sinx，x＜0，联合选项可知选B.][规律方法]1.解决正、余弦函数的图象问题，要点是要正确的画出正、余弦曲线．2．正、余弦曲线的形状同样，不过在座标系中的地点不一样，能够经过互相平移获得．3．正、余弦曲线的对称性对称中心对称轴y＝sinx(x∈R)(kπ，0)，k∈Zx＝π＋π，∈Zkk2y＝cosx(x∈R)πx＝kπ，k∈Zkπ＋，0，k∈Z2提示：对称中心处函数值为0，对称轴处函数值为－1或1.[追踪训练]1．对于三角函数的图象，有以下说法：y＝sinx＋1.1的图象与x轴有无穷多个公共点；②y＝cos(－x)与y＝cos|x|的图象同样；③y＝|sinx|与y＝sin(－x)的图象对于x轴对称；y＝cosx与y＝cos(－x)的图象对于y轴对称．此中正确的序号是________．②④[对②，y＝cos(－x)＝cosx，y＝cos|x|＝cosx，故其图象同样；对④，y＝cos(－x)＝cosx，故其图象对于y轴对称；作图(略)可知①③均不正确．]用“五点法”作三角函数的图象用“五点法”作出以下函数的简图．y＝1－sinx(0≤x≤2π)；y＝－1＋cosx(0≤x≤2π).【导学号：84352075】3[思究]列表：让x的值挨次取0，π3π，2π→路探2，π，2描点→用光滑曲线连结[解](1)①取值列表以下：x0ππ3π2π22sinx010－101－sinx10121②描点连线，以下图.(2)①取值列表以下：x0ππ3π2π22cosx10－101－1＋cosx0－1－2－10②描点连线，以下图．[规律方法]用“五点法”画函数y＝sinx＋(≠0)或y＝cosx＋(≠0)在AbAAbA[0,2π]上简图的步骤(1)列表：x0ππ3π2π22sinx(或cosx)0(或1)1(或0)0(或－1)－1(或0)0(或1)yb(或A＋b(或bb(或－A＋(b)b(或A＋)－＋或b)＋b)b)1π，233π，4(2)描点：在平面直角坐标系中描出五个点(0，y)，2y，(π，y)，2y，(2π，y5)，这里的yi(i＝1,2,3,4,5)值是经过函数分析式计算获得的．4(3)连线：用圆滑的曲线将描出的五个点连结起来，就获得正(余)弦函数y＝Asinx＋b(y＝Acosx＋b)(A≠0)的图象．提示：作图象时，函数自变量要用弧度制，x轴、y轴上尽量一致单位长度．[追踪训练]12．用“五点法”画出函数y＝2＋sinx，x∈[0,2π]的图象．[解]取值列表以下：x0ππ3π2π22sinx010－101＋sinx131－11222222描点，并将它们用圆滑的曲线连结起来．(如图)正弦(余弦)函数图象的应用[研究问题]1．方程sinx＝x的实根个数有多少个？提示：在同一坐标系内分别作出y＝sinx，y＝x图象(略)可知在x∈[0,1]内，sinx<x没有交点，当x>1时不会订交，因此方程只有一个实根为0.2．函数f(x)＝x－cosx在[0，＋∞)内有多少个零点？提示：令f(x)＝0，因此x＝cosx，分别作出y＝x，y＝cosx的图象(略)，可知两函数只有一个交点，因此f(x)在[0，＋∞)内只有一个零点．(1)函数y＝2sinx－1的定义域为________．(2)在同一坐标系中，作函数y＝sinx和y＝lgx的图象，依据图象判断出方程sinx＝lgx的解的个数.【导学号：84352076】[思路研究](1)列出不等式→画出函数图象→写出解集(2)画出y＝sinx和y＝lgx的图象→找准要点点，判断两个函数图象判断方程sinx＝lgx→的公共点个数→的解的个数5π＋2kπ≤x≤5πkπ，k∈Z1(1)x66＋2[(1)由2sinx－1≥0得sinx≥2，1画出y＝sinx的图象和直线y＝2.1π5π可知sinx≥2的解集为x6＋2kπ≤x≤6＋2kπ，k∈Z.成立平面直角坐标系xOy，先用五点法画出函数y＝sinx，x∈R的图象．描出点(1,0)，(10,1)，并用圆滑曲线连结获得y＝lgx的图象，以下图．由图象可知方程sinx＝lgx的解有3个．]母题研究：1.本例(1)中的“sinx”改为“cosx”，应怎样解答？11[解]由2cosx－1≥0得cosx≥2，画出y＝cosx的图象和直线y＝2.察看图象可知cosx≥1的解集是2x2kπ－π≤x≤2kπ＋π33，k∈Z.．本例(1)中函数改为y＝lgsinx－1＋－，应怎样解答？2232sinx[解]要使原函数分析式存心义，13一定知足2＜sinx≤2.第一作出y＝sinx在[0,2π]上的图象，以下图，1y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐作直线y＝，依据特别角的正弦值，可知该直线与26π5π标为6和6；作直线y＝3，该直线与y＝sinx，x∈[0,2π]的交点横坐标为π和2π.233ππ2π5π13察看图象可知，在[0,2π]上，当6＜x≤3或3≤x＜6时，不等式2＜sinx≤2成立，因此13π＋2π＜≤π＋2kπ2＜sinx≤2的解集为x6kx32π5π或3＋2kπ≤x＜6＋2kπ，k∈Z.[规律方法]1.用三角函数的图象解sinx＞a(或cosx＞a)的方法作出y＝a，y＝sinx(或y＝cosx)的图象．确立sinx＝a(或cosx＝a)的x值．确立sinx＞a(或cosx＞a)的解集．2．利用三角函数线解sinx＞a(或cosx＞a)的方法找出使sinx＝a(或cosx＝a)的两个x值的终边所在的地点．依据变化趋向，确立不等式的解集．[当堂达标·固双基]1．用五点法画y＝3sinx，x∈[0,2π]的图象时，以下哪个点不是要点点( )π3πA．6，2B．2，3C．(π，0)D．(2π，0)π3πA[五个要点点的横坐标挨次是0，2，π，2，2π.]2．函数y＝cosx与函数y＝－cosx的图象()A．对于直线x＝1对称B．对于原点对称C．对于x轴对称D．对于y轴对称[由分析式可知y＝cosx的图象过点(a，b)，则y＝－cosx的图象必过点(a，－b)，由此推测两个函数的图象对于x轴对称．]3．函数y＝sinx，x∈[0，π]的图象与直线y＝0.99的交点有( )【导学号：84352077】A．1个B．2个C．3个D．4个B[察看图象(略)易知：有两个交点．]