2022-2023学年广东省佛山市南海区西樵镇九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年广东省佛山市南海区西樵镇九年级第一学期期中数学试卷一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣x（x+7）＝0 C．2x2﹣﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣3＝02．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（）A． B．1 C． D．23．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（）A． B． C． D．4．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的面积是（）A．24 B．48 C． D．125．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k+1＝0有一根为﹣1，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．06．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（）A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女）7．下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是（）A． B． C． D．8．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝4．则四边形BDEC的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．169．顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD，AC⊥BD D．AB⊥BC10．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB，类似地，在AB上折出点M使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段是（）A．线段BM B．线段AM C．线段BE D．线段AE二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．若实数a，b是方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则a+b的值是．12．已知，则的值为．13．如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD．若测得AB＝5cm，则四边形ABCD的周长为cm．14．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为．15．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，BC边上的高AB＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1：P1B＝2：3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2：P2H1＝2：3，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为．三．解答题（16-18题每小题8分，19-21题每小题8分，22，23题每小题8分，共75分）16．解一元二次方程：x2+2x﹣2＝0（用配方法）．17．小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是；（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．18．如图所示，小明站在B处想借助平面镜测量D处一棵大树的高度CD．他把平面镜平放在地面上，调整平面镜的位置到P处，让自己通过平面镜刚好能看见大树的顶端C．（1）若小明眼睛离地面的高度AB＝1.6m，BP＝2m，则还需测量哪条线段的长度可求得大树的高度；（用字母a表示）（2）在（1）的条件下，求CD的长（用含a的代数式表示）19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1．（1）求证：△DMN∽△BCN；（2）求BD的长．20．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b＝c，恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．21．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，2、3月销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．（1）求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率；（2）若“冰墩墩”每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”价格在3月的基础上，每个降价1元，销售量可增加5个，当“冰墩墩”每个降价多少元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元？22．如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t＝时，BP长为cm，AQ长为cm；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）当0＜t＜时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．23．已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别为边DC、BC上两点．（1）如图1，若BF＝CE，求证：AF＝BE．（2）如图2，若BF＝DE，作EH⊥AF于H，连接DH，求证：DH＝AB．（3）如图3，若DE＝CE，BF＝，点G在边AB上满足EG＝AF，则AG长度为.（直接写出答案）

参考答案一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）1．下列关于x的方程中一定是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2﹣x（x+7）＝0 C．2x2﹣﹣1＝0 D．x2﹣2x﹣3＝0【分析】利用一元二次方程定义进行解答即可．解：A、当a＝0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；B、由已知方程得到：﹣7x＝0，属于一元一次方程，故此选项不合题意；C、是分式方程，不是整式方程，故此选项不合题意；D、是一元二次方程，故此选项符合题意．故选：D．2．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AB＝3，则线段BC的长是（）A． B．1 C． D．2【分析】过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可．解：过点A作平行横线的垂线，交点B所在的平行横线于D，交点C所在的平行横线于E，则＝，即＝2，解得：BC＝，故选：C．3．在同一副扑克牌中抽取2张“方块”，3张“梅花”，1张“红桃”，将这6张牌背面朝上，从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为（）A． B． C． D．【分析】直接利用概率公式计算可得．解：从中任意抽取1张，是“梅花”的概率为＝，故选：C．4．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC＝6，BD＝4，则菱形ABCD的面积是（）A．24 B．48 C． D．12【分析】根据菱形的性质得出面积＝，代入求出即可．解：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∵AC＝6，BD＝4，∴菱形ABCD的面积为，故选：D．5．已知关于x的一元二次方程x2+3x+k+1＝0有一根为﹣1，则k的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【分析】把方程的根代入方程可以求出字母系数的值．解：把﹣1代入方程有：1﹣3+k+1＝0解得：k＝1．故选：A．6．一个家庭有两个小孩，则所有可能的基本事件有（）A．（男，女），（男，男），（女，女） B．（男，女），（女，男） C．（男，男），（男，女），（女，男），（女，女） D．（男，男），（女，女）【分析】首先确定第一个孩子的性别，然后确定第二个孩子的性别，利用列举的方法即可确定．解：把第一个孩子的性别写在前边，第二个孩子的性别写在后边，则所有的情况是：（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）．故选：C．7．下面四个选项中的一般三角形、等边三角形、正方形、矩形的各边分别等距向外扩张1个单位，那么扩张后的几何图形与原几何图形不一定相似的是（）A． B． C． D．【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合要求答案．解：A：形状相同，符合相似形的定义，对应角相等，所以三角形相似，故A选项不符合要求；B：形状相同，符合相似形的定义，故B选项不符合要求；C：形状相同，符合相似形的定义，故C选项不符合要求；D：两个矩形，虽然四个角对应相等，但对应边不成比例，故D选项符合要求；故选：D．8．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，若S△ADE＝4．则四边形BDEC的面积为（）A．4 B．8 C．12 D．16【分析】由三角形的中位线定理可得DE＝BC，DE∥BC，可证△ADE∽△ABC，可得＝（）2＝，即可求解．解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝，∴S△ABC＝16，∴四边形BDEC的面积＝16﹣4＝12，故选：C．9．顺次连接四边形ABCD四边的中点所得的四边形为矩形，则四边形ABCD一定满足（）A．AC＝BD B．AC⊥BD C．AC＝BD，AC⊥BD D．AB⊥BC【分析】首先根据三角形中位线定理知：所得四边形的对边都平行且相等，那么其必为平行四边形，若所得四边形是矩形，那么邻边互相垂直，故原四边形的对角线必互相垂直，由此得解．解：已知：如右图，四边形EFGH是矩形，且E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，求证：四边形ABCD是对角线垂直的四边形．证明：由于E、F、G、H分别是AB、BC、CD、AD的中点，根据三角形中位线定理得：EH∥FG∥BD，EF∥AC∥HG；∵四边形EFGH是矩形，即EF⊥FG，∴AC⊥BD，故选：B．10．欧几里得在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax＝b2的方法，类似地可以用折纸的方法求方程x2+x﹣1＝0的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF＝EB，类似地，在AB上折出点M使AM＝AF，表示方程x2+x﹣1＝0的一个正根的线段是（）A．线段BM B．线段AM C．线段BE D．线段AE【分析】设正方形的边长为1，AF＝AM＝x，根据勾股定理即可求出答案．解：设正方形的边长为1，AF＝AM＝x，则BE＝EF＝，AE＝x+，在Rt△ABE中，∴AE2＝AB2+BE2，∴（x+）2＝1+（）2，∴x2+x﹣1＝0，∴AM的长为x2+x﹣1＝0的一个正根，故选：B．二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分）11．若实数a，b是方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，则a+b的值是4．【分析】根据根与系数的关系得到a+b＝4即可求解．解：∵实数a，b是方程x2﹣4x+3＝0的两个实数根，∴a+b＝4．故答案为：4．12．已知，则的值为0．【分析】利用内项之积等于外项之积得到x＝y，然后把x＝y代入所求的代数式中进行分式的运算即可．解：∵＝1，∴x＝y，∴＝＝0．故答案为：0．13．如图，两张宽均为3cm的矩形纸条交叉重叠在一起，重叠的部分为四边形ABCD．若测得AB＝5cm，则四边形ABCD的周长为20cm．【分析】作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，根据题意先证出四边形ABCD是平行四边形，再由AR＝AS推出BC＝CD得平行四边形ABCD是菱形，再根据勾股定理求出AD即可．解：作AR⊥BC于R，AS⊥CD于S，连接AC、BD交于点O．由题意知：AD∥BC，AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∵两个矩形等宽，∴AR＝AS，∵AR•BC＝AS•CD，∴BC＝CD，∴平行四边形ABCD是菱形，∴AD＝AB＝5cm，∴四边形ABCD的周长为20cm，故答案为：2014．圆周率π是无限不循环小数．历史上，祖冲之、刘徽、韦达、欧拉等数学家都对π有过深入的研究．目前，超级计算机已计算出π的小数部分超过31.4万亿位．有学者发现，随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，从π的小数部分随机取出一个数字，估计数字是6的概率为．【分析】从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字6的只有1种结果，利用概率公式求解即可．解：∵随着π小数部分位数的增加，0～9这10个数字出现的频率趋于稳定接近相同，∴从π的小数部分随机取出一个数字共有10种等可能的结果，其中出现数字6的只有1种结果，∴P（数字是6）＝．故答案为：．15．如图，△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，BC边上的高AB＝1，点P1、Q1、H1分别在边AD、AC、CD上，且四边形P1Q1H1B为矩形，P1Q1：P1B＝2：3，点P2、Q2、H2分别在边Q1H1、CQ1、CH1上，且四边形P2Q2H2H1为矩形，P2Q2：P2H1＝2：3，…按此规律操作下去，则线段CQ2022的长度为（）2022．【分析】设P1B＝3x，P1Q1＝2x，根据正方形的性质可得AD∥Q1H1，所以△ADC∽△CH1Q1，然后求得其相似比，同理求得△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，△ABC和△CH2Q2的相似比是（）2，依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，进而可得结果．解：∵∠B＝90°，∴AC＝＝，设P1B＝3x，则AP1＝AD﹣P1B＝1﹣3x，P1Q1＝2x，∵四边形P1Q1H1B为矩形，∴AB∥Q1H1，∴△ABC∽△CH1Q1，∴＝，解得：x＝，∴P1Q1＝H1B＝，H1Q1＝P1B＝，∴＝，∴△ABC和△CH1Q1的相似比是，同理：△CH1Q1和△CH2Q2的相似比是，∴△ABC和△CH2Q2的相似比是（）2，依此类推：△ADC和△CH2022Q2022的相似比是（）2022，∴Q2022C＝（）2022．故答案为：（）2022．三．解答题（16-18题每小题8分，19-21题每小题8分，22，23题每小题8分，共75分）16．解一元二次方程：x2+2x﹣2＝0（用配方法）．【分析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．解：x2+2x﹣2＝0，x2+2x＝2，x2+2x+1＝2+1，（x+1）2＝3，x+1＝±，x+1＝或x+1＝﹣，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1．17．小丽的爸爸积极参加社区志愿服务，根据社区安排，志愿者将被随机分配到以下小组中的一个：A组（交通疏导）、B组（环境消杀）、C组（便民代购），开展服务工作．（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是；（2）若小丽的班主任刘老师也参加了该社区的志愿者队伍，那么刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率是多少？请用画树状图或列表的方法写出分析过程．【分析】（1）直接由概率公式求解即可；（2）画树状图，共有9种等可能的结果，刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的结果有3种，再由概率公式求解即可．解：（1）小丽的爸爸被分配到C组的概率是，故答案为：；（2）画树状图如下：共有9种等可能的结果，刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的结果有3种，∴刘老师和小丽的爸爸被分到同一组的概率为＝．18．如图所示，小明站在B处想借助平面镜测量D处一棵大树的高度CD．他把平面镜平放在地面上，调整平面镜的位置到P处，让自己通过平面镜刚好能看见大树的顶端C．（1）若小明眼睛离地面的高度AB＝1.6m，BP＝2m，则还需测量哪条线段的长度可求得大树的高度；（用字母a表示）（2）在（1）的条件下，求CD的长（用含a的代数式表示）【分析】因为小明和树均与地面垂直，且光线的入射角等于反射角，因此构成一组相似三角形，利用对应边成比例即可解答．解：（1）∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP．∵∠APB＝∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴．∵AB＝1.6米，BP＝2米，∴还需测量PD的长度；（2）若测量PD的长度为am，由光的反射知∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP＝90°，得：△APB∽△CPD，即，即，CD＝0.8am．19．如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．M为AD中点，连接CM交BD于点N，且ON＝1．（1）求证：△DMN∽△BCN；（2）求BD的长．【分析】（1）由四边形ABCD是平行四边形，得AD∥BC，则DM∥BC，即可根据“平行于三角形一边的直线和其它两边或两边的延长线相交所构成的三角形与原三角形相似”证明△DMN∽△BCN；（2）先由M为AD中点，BC＝AD，推导出＝，再由△MND∽△CNB，得＝＝，则DN＝BD，而OD＝BD，所以ON＝BD，即可由ON＝1求得BD＝6．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴DM∥BC，∴△DMN∽△BCN．（2）解：∵M为AD中点，BC＝AD，∴DM＝AM＝AD＝BC，∴＝，∵△MND∽△CNB，∴＝＝，∴DN＝BD，∵OD＝OB＝BD，∴ON＝OD﹣DN＝BD﹣BD＝BD，∵ON＝1，∴BD＝1，∴BD＝6，∴BD的长为6．20．已知：关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k＝0．（1）求证：无论取任何实数值，方程总有实数根；（2）若等腰三角形ABC的一边长a＝1，另两边长b＝c，恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．【分析】（1）根据方程的各项系数结合根的判别式得出Δ＝（k﹣2）2≥0，此题得证．（2）当Δ＝0时，求出k值，进而找出方程的根，从而得出三角形的周长．【解答】（1）证明：∵在方程x2﹣（k+2）x+2k＝0中，Δ＝[﹣（k+2）]2﹣4×1×2k＝k2﹣4k+4＝（k﹣2）2≥0，∴无论k取何值，方程总有两个实数根．（2）解：当Δ＝（k﹣2）2＝0，即k＝2时，原方程为x2﹣4x+4＝0，解得：x1＝x2＝2，所以△ABC的周长为1+2+2＝5．21．2022年2月4日至20日，第24届冬奥会在北京和张家口举办，这是中国历史上第一次举办冬奥会，吉祥物“冰墩墩”深受大家的喜爱．某超市在今年1月份销售“冰墩墩”256个，“冰墩墩”十分畅销，2、3月销售量持续走高，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到400个．（1）求“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率；（2）若“冰墩墩”每个进价25元，原售价为每个40元，该超市在今年4月进行降价促销，经调查发现，若“冰墩墩”价格在3月的基础上，每个降价1元，销售量可增加5个，当“冰墩墩”每个降价多少元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元？【分析】（1）由3月份的销售量＝1月份的销售量×（1+月平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可；（2）设“冰墩墩”每个降价m元，则每个“冰墩墩”的销售利润为（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）个，利用总利润＝每包的销售利润×月销售量，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其正值即可．解：（1）设“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为x，依题意得：256（1+x）2＝400，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．答：“冰墩墩”2、3这两个月销售量的月平均增长率为25%；（2）设“冰墩墩”每个降价m元，则每个“冰墩墩”的销售利润为（40﹣m﹣25）元，月销售量为（400+5m）个，依题意得：（40﹣m﹣25）（400+5m）＝4620，解得：m1＝4，m2＝﹣69（不符合题意，舍去）．答：当“冰墩墩”每个降价4元时，出售“冰墩墩”在4月份可获利4620元．22．如图，已知：在矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，点P从点B出发，沿BC方向匀速运动，速度为2cm/s；与点P同时，点Q从D点出发，沿DA方向匀速运动，速度为1cm/s；过点Q作QE∥AC，交DC于点E．设运动时间为t（s），（0＜t＜4），解答下列问题：（1）当t＝时，BP长为cm，AQ长为cm；（2）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使PQ平分∠APC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由；（3）当0＜t＜时，是否存在某一时刻t，使△PQE是直角三角形？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据路程，速度，时间的关系求解即可；（2）根据角平分线性质，得出AP＝AQ，运用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三种情况讨论：①当∠QEP＝90°时，先证明△QDE∽△ECP，根据相似三角形性质建立方程求解即可；②当∠PQE＝90°时，如图4，过点P作线段PI⊥AD于点I，根据△QDE∽△PIQ，建立方程求解即可；③当∠QPE＝90°，不满足题意．解：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝8（cm），当t＝时，BP＝2×＝（cm），AQ＝AD﹣DQ＝8﹣1×＝（cm）．故答案为：，．（2）存在．理由：如图1，当PQ平分∠APC，则有∠APQ＝∠CPQ，∵矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AD∥BC，AD＝BC＝8cm，AB＝CD＝6cm，∠B＝90°，∴∠CPQ＝∠AQP，∴∠APQ＝∠AQP＝∠CPQ，∴AP＝AQ，∴AP2＝AQ2，由题意知：vP＝2cm/s，vQ＝1cm/s且P、Q运动时间均为ts，∴BP＝2tcm，DQ＝tcm，∴AQ＝AD﹣DQ＝8﹣t，∵∠B＝90°，∴AP2＝AB2+BP2＝62+（2t）2，∴62+（2t）2＝（8﹣t）2，解得：t1＝，t2＝，∵0＜t＜4，∴t＝，即：当t＝秒时，PQ平分∠APC．（3）存在．理由：①当∠QEP＝90°，如图3，∵∠QED+∠EQD＝90°，∠QED+∠EQD＝90°，∴∠CEP＝∠DQE，又∵∠QDE＝∠ECP＝90°，∴△QDE∽△ECP，当运动时间为ts时，QD＝tcm，由（2）可知，DE＝tcm，EC＝DC﹣DE＝（6﹣t）cm，AP＝2tcm，CP＝（8﹣2t）cm，∴＝，即＝，解得：t＝或t＝0（∵0＜t＜，故t＝0舍去），②当∠PQE＝9