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经济数学授课提纲第二学期第三十七次授课授课教师：郭正光.§10.5二阶常系数线性微分方程

上次课内容复习：特征方程:实根特征根通解.二、二阶常系数非齐次线性微分方程(1)是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理2.则是非齐次方程的通解.②①.证:将代入方程①左端,得①是非齐次方程的解,又Y中含有两个独立任意常数,证毕因而②也是通解.②.例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为定理3设和是的两个特解，则是的一个解。.定理4.设分别是方程的特解,则是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理).例1已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解:是对应齐次方程的解,且常数因而相互独立,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三.二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法.一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得(1)若不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为为m次多项式.Q(x)为m次待定系数多项式.(2)若是特征方程的单根,为m次多项式,故特解形式为(3)若是特征方程的重根,是m次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解.例2求微分方程的通解.求微分方程的通解.例3小结：对于方程设特解为（m次完全多项式）当是特征方程的k重根时,可设特解.例4的通解.

解:本题特征方程为其根为对应齐次方程的通解为设非齐次方程特解为比较系数,得因此特解为代入方程得所求通解为.二、则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形..时可设特解为时可设特解为提示:例5(填空)设为特征方程的

k

重根(k=0,1),.例6求方程的通解。本

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